08春經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分部分

PAGE639PAGE1008春經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分部分第一部微分學(xué)第1章函數(shù)1．理解函數(shù)概念。理解函數(shù)概念時(shí)，要掌握函數(shù)的兩要素定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，這要解決下面四個(gè)方面的問(wèn)題：（1）掌握求函數(shù)定義域的方法，會(huì)求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值。要掌握常見函數(shù)的自變量的變化范圍，如分式的分母不為0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下表達(dá)式大于0。例1求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，的定義域是，但由于在分母上，因此。故函數(shù)的定義域就是上述函數(shù)定義域的公共部分，即1<x<2。（2）理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的含義：表示當(dāng)自變量取值為時(shí)，因變量的取值為。例如，對(duì)于函數(shù)，表示運(yùn)算：設(shè)，求。解：由于，說(shuō)明表示運(yùn)算：，因此＝再將代入，得=2．掌握函數(shù)奇偶性的判別，知道它的幾何特點(diǎn)；判斷函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，可以用定義去判斷，即（1）若，則偶函數(shù)；（2）若，則奇函數(shù)。也可以根據(jù)一些已知的函數(shù)的奇偶性，再利用“奇函數(shù)±奇函數(shù)、奇函數(shù)×偶函數(shù)仍為奇函數(shù)；偶函數(shù)±偶函數(shù)、偶函數(shù)×偶函數(shù)、奇函數(shù)×奇函數(shù)仍為偶函數(shù)”的性質(zhì)來(lái)判斷。例3下列函數(shù)中，（ ）是偶函數(shù)。A. B.C. D.解：根據(jù)偶函數(shù)的定義以及奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù)的原則，可以驗(yàn)證A中和都是奇函數(shù)，故它們的乘積是偶函數(shù)，因此A正確。既然是單選題，A已經(jīng)正確，那么其它的選項(xiàng)一定是錯(cuò)誤的。故正確選項(xiàng)是A。第2章極限，導(dǎo)數(shù)與微分1．掌握求簡(jiǎn)單極限的常用方法。求極限的常用方法有：（1）利用極限的四則運(yùn)算法則；（2）利用兩個(gè)重要極限；（3）利用無(wú)窮小量的性質(zhì)（有界變量乘以無(wú)窮小量還是無(wú)窮小量）；2．知道一些與極限有關(guān)的概念（1）知道函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充分必要條件是該點(diǎn)左右極限都存在且相等；（2）了解無(wú)窮小量的概念，知道無(wú)窮小量的性質(zhì)；（3）會(huì)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。例1下列變量中，是無(wú)窮小量的為（）A.B.C. D.解：A中：因?yàn)闀r(shí)，是無(wú)窮小量，是有界變量，由定理，是無(wú)窮小量；B中：因?yàn)闀r(shí)，，故不是無(wú)窮小量；C中：因?yàn)闀r(shí)，，故；但是時(shí)，，故，因此當(dāng)時(shí)不是無(wú)窮小量。D中：因?yàn)?，故時(shí)，，不是無(wú)窮小量。因此正確的選項(xiàng)是B。例2當(dāng)（）時(shí)，在處連續(xù)。A.0 B.－1 C.2 D.1解：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足既是左連續(xù)又是右連續(xù)。因?yàn)椋筮B續(xù)。故當(dāng)1時(shí)，在處連續(xù)。正確的選項(xiàng)是D。3．理解導(dǎo)數(shù)定義。理解導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，要解決下面幾個(gè)問(wèn)題：（1）牢記導(dǎo)數(shù)定義的極限表達(dá)式；（2）會(huì)求曲線的切線方程；（3）知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系(可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo))。例3曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線是（）A. B.C. D.解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，是曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率，故切線方程是，即；故正確的選項(xiàng)是A。例4求曲線在點(diǎn)處的切線方程。解：因?yàn)?，所以，在點(diǎn)處的切線方程為，即。4．熟練掌握求導(dǎo)數(shù)或微分的方法。具體方法有：（1）利用導(dǎo)數(shù)（或微分）的基本公式（2）利用導(dǎo)數(shù)（或微分）的四則運(yùn)算法則（3）利用復(fù)合函數(shù)微分法例5求下列導(dǎo)數(shù)或微分：（1）設(shè)，求；（2）設(shè),求y；（3）設(shè),求。解：（1）這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)（2）==（3）；5．知道高階導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。例6已知y=，則（）A.B.C.D.解：,。故正確的選項(xiàng)是D。第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1．掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，掌握極值點(diǎn)的判別方法，會(huì)求函數(shù)的極值。通常的方法是利用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，也可以利用已知的基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷。例1在指定區(qū)間[－10，10]內(nèi)，函數(shù)（）是單調(diào)增加的。A. B. C. D.解：這個(gè)題目主要考察同學(xué)們對(duì)基本初等函數(shù)圖形的掌握情況。因它們都是比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，從圖形上就比較容易看出它們的單調(diào)性。A中是正弦函數(shù)，它的圖形在指定區(qū)間[－10，10]內(nèi)是波浪形的，因此不是單調(diào)增加函數(shù)。B中是指數(shù)函數(shù)，(=－<0，故它是單調(diào)減少函數(shù)。C中是冪函數(shù)，它在指定區(qū)間[－10，10]內(nèi)的圖形是拋物線，因此不是單調(diào)增加函數(shù)。根據(jù)排除法可知正確答案應(yīng)是D。也可以用求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證：因?yàn)樵谥付▍^(qū)間[－10，10]內(nèi)，有故是單調(diào)增加函數(shù)。正確的選項(xiàng)是D。例2函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是_________。解：用求導(dǎo)數(shù)的方法，因?yàn)榱顒t，則函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間應(yīng)該填寫。2．了解一些基本概念。（1）了解函數(shù)極值的概念，知道函數(shù)極值存在的必要條件，知道函數(shù)的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系；例3函數(shù)的駐點(diǎn)是.解：根據(jù)駐點(diǎn)定義，令，得。應(yīng)該填寫（2）了解邊際概念和需求價(jià)格彈性概念；例4已知需求函數(shù)為，則需求彈性=.解：因?yàn)?，?所以應(yīng)該填寫例5已知需求函數(shù)，當(dāng)時(shí)，需求彈性為（）．A．B．C．D．解：因?yàn)?，?;故正確選項(xiàng)是C3．熟練掌握求經(jīng)濟(jì)分析中的問(wèn)題（如平均成本最低、收入最大和利潤(rùn)最大等）。掌握求邊際函數(shù)的方法，會(huì)計(jì)算需求彈性。例6設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品臺(tái)時(shí)的成本（萬(wàn)元），試求（1）當(dāng)時(shí)的總成本，平均成本和邊際成本；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，平均成本最小。解：（1）當(dāng)時(shí)的總成本（萬(wàn)元）當(dāng)時(shí)的平均成本（萬(wàn)元/臺(tái)）當(dāng)時(shí)的邊際成本;（2）,令，求得。因?yàn)橛幸饬x的駐點(diǎn)唯一，且平均成本存在著最小大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為20臺(tái)時(shí)，可使平均成本達(dá)到最小大。例7設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為（元）,其中q是產(chǎn)量，單位：件。單位銷售價(jià)格為（元/件）問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大。最大利潤(rùn)是多少？解：因?yàn)?，且所?令，解得（件）因唯一駐點(diǎn)唯一，故q=250件是所求的最大值點(diǎn)。當(dāng)產(chǎn)量為250件時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為（元）例8生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定費(fèi)用是1000萬(wàn)元,每多生產(chǎn)1臺(tái)該種產(chǎn)品，其成本增加10萬(wàn)元，又知對(duì)該產(chǎn)品的需求為q=120-2p(其中q是產(chǎn)銷量，單位：臺(tái);p是價(jià)格,單位:萬(wàn)元).求(1)使該產(chǎn)品利潤(rùn)最大的產(chǎn)量;(2)該產(chǎn)品的邊際收入.解：（1）設(shè)總成本函數(shù)為C(q)，收入函數(shù)為R(q)，利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)，于是C(q)=10q+1000(萬(wàn)元),R(q)=qp=(萬(wàn)元),L(q)＝R(q)-C(q)=(萬(wàn)元)，得到q=50(臺(tái)),因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，故q＝50臺(tái)是所求最小值點(diǎn)。即生產(chǎn)50臺(tái)的該種產(chǎn)品能獲最大利潤(rùn)。(2)因R(q)=，故邊際收入R(q)=60－q(萬(wàn)元/臺(tái))。第二部一元函數(shù)積分學(xué)第1章不定積分1．理解原函數(shù)與不定積分概念。（1）什么是原函數(shù)？若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于，即，則稱函數(shù)是的原函數(shù)。（2）什么是不定積分？原函數(shù)的全體（其中是任意常數(shù)）稱為的不定積分，記為=。（3）知道不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分）之間的關(guān)系。不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分）之間互為逆運(yùn)算，即先積分，再求導(dǎo)，等于它本身；先求導(dǎo)，再積分，等于函數(shù)加上一個(gè)任意常數(shù)，即=,=,，例1如果F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，c為任意常數(shù)，則下式成立的是（）。 A． B． C． D．解：如果F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則F（x）＋c都是f（x）的原函數(shù)，故有，即正確的選項(xiàng)是C。例2如果，則f（x）=（） A．2sin2x B．－2cos2x C．－2sin2x D．2cos2x解：f（x）=.正確的選項(xiàng)是D。例3設(shè)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，則＝（ ）。 A． B． C． D．解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)原函數(shù)，即有=，故＝=故正確的選項(xiàng)C。例4設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是，則（ ）。 A． B． C． D．解：因?yàn)榈囊粋€(gè)原函數(shù)是，故（＝故正確的選項(xiàng)B。例5已知=sinx+c，則f（x）=() A．B．xsinxC．D．xcosx解：對(duì)=sinx+c兩端求導(dǎo)，得，故f（x）=，正確的選項(xiàng)是C。2．熟練掌握不定積分的計(jì)算方法。常用的積分方法有（1）運(yùn)用積分基本公式直接進(jìn)行積分；（2）第一換元積分法（湊微分法）；（3）分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定積分：①冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘；②冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)相乘；③冪函數(shù)與正（余）弦函數(shù)相乘；例6．（ ）。A． B． C． D．解：兩種方法，其一是湊微分直接計(jì)算：其二是求導(dǎo)計(jì)算：四個(gè)備選答案中都含有項(xiàng)，對(duì)它求導(dǎo)與被積函數(shù)比較可知，是的原函數(shù)。正確的選項(xiàng)是B。例7計(jì)算下列積分（1） （2） （3）解：（1）因?yàn)樗?（2）設(shè)，利用分部積分公式，（3）設(shè)，利用分部積分公式，==第2章定積分1．了解定積分的概念，知道奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分結(jié)果．奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分有以下結(jié)果：若是奇函數(shù)，則有若是偶函數(shù)，則有例1若是的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是()．A．B．C．D．解：可知，正確的選項(xiàng)是B。例2=( )。 A．－ln(x2+1) B．ln(x2+1)C．ln(x2+1)2x D．.－ln(x2+1)2x解：＝－ln(x2+1)。故正確的選項(xiàng)是A。例3。解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故0。應(yīng)該填寫：02．熟練掌握定積分的計(jì)算方法。例4計(jì)算下列定積分（1）（2） （2）（4）解：（1）利用，于是==注意，（2）利用=，可知＝＝ （3）用分部積分法＝=（4）用分部積分法=-==3．知道無(wú)窮限積分的收斂概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的無(wú)窮限積分。例5廣義積分=。解：因?yàn)?。應(yīng)該填寫：例6下列無(wú)窮積分中收斂的是（）．A．B．C．D．解：因?yàn)?=1；所以正確的選項(xiàng)是B。第3章積分應(yīng)用1．熟練掌握用不定積分和定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)或其增量的方法。例1生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為（萬(wàn)元/百臺(tái)），其中x為產(chǎn)量，若固定成本為10萬(wàn)元，問(wèn)（1）產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？（2）從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？解：（1）邊際利潤(rùn) 令，得（百臺(tái)）又是的唯一駐點(diǎn)，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義可知存在最大值，故是的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大。（2）利潤(rùn)的變化即從利