廣東省梅州市梅林中學2021年高三數學文期末試題含解析

廣東省梅州市梅林中學2021年高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.《九章算術》有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十一尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問第十日所織尺數為（）A．6 B．9 C．12 D．15參考答案：D【考點】等差數列的前n項和．【分析】設此數列為{an}，由題意可知為等差數列，公差為d．利用等差數列的前n項和公式和通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出結果．【解答】解：設此數列為{an}，由題意可知為等差數列，公差為d．則S7=21，a2+a5+a8=15，則7a1+d=21，3a1+12d=15，解得a1=﹣3，d=2．∴a10=﹣3+9×2=15．故選：D．2.若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合,則的值為A． B． C． D．參考答案：C3.若，則的值為（

）A

-2

B

-1

C

0

D

2參考答案：B4.對于任意兩個正整數m，n，定義某種運算“”如下：當m，n都為正偶數或正奇數時，mn=m+n；當m，n中一個為正偶數，另一個為正奇數時，mn=mn。則在此定義下，集合中的元素個數是

A．10個

B．15個

C．16個

D．18個參考答案：5.已知命題，命題，且是的充分而不必要條件,則的取值范圍是 A.

B.

C.

D.參考答案：A6.設向量，且，則x的值為A.2

B.1

C.－1

D.0參考答案：D7.《張丘建算經》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現有一月（按30天計），共織390尺布”，則該女最后一天織多少尺布？（）A．18 B．20 C．21 D．25參考答案：C【考點】等比數列的通項公式．【分析】設出等差數列的公差，由題意列式求得公差，再由等差數列的通項公式求解．【解答】解：設公差為d，由題意可得：前30項和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天織的布的尺數等于5+29d=5+29×=21．故選：C．【點評】本題考查了等差數列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．8.已知，則（

）A． B．-1 C．1 D．參考答案：A9.

變量、滿足條件，則的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：D10.設定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2π的偶函數，是f(x)的導函數，當時，0＜f(x)＜1；當x∈（0，π）且x≠時，，則函數y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零點個數為A.2

B.4

C.5

D.8參考答案：Ｂ由當x∈（0，π）且x≠時，，知又時，0＜f(x)＜1，在R上的函數f(x)是最小正周期為2π的偶函數，在同一坐標系中作出和草圖像如下，由圖知y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零點個數為4個.【點評】本題考查函數的周期性、奇偶性、圖像及兩個圖像的交點問題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=3，若點D、E都在邊BC上，且∠BAD=∠CAE=30°，則=．參考答案：【考點】三角形中的幾何計算．【分析】根據條件便可由正弦定理分別得到，=①BE=②=③CD=④，而sin∠BDA=sin∠ADC，sin∠BEA=sin∠AEC，從而得：的值．【解答】解：如圖，由正弦定理得，=①BE=②=③CD=④∴得：=．故答案為．12.已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的離心率為，實軸長為4，則雙曲線的方程是

參考答案：由題意知，所以，即，所以雙曲線的方程為?！敬鸢浮柯?3.古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數。如三角形數1,3,6,10，…，第個三角形數為。記第個邊形數為，以下列出了部分邊形數中第個數的表達式：三角形數

正方形數

五邊形數

六邊形數

……可以推測的表達式，由此計算

。參考答案：觀察和前面的系數，可知一個成遞增的等差數列另一個成遞減的等差數列，故，【相關知識點】歸納推理，等差數列

14.曲線y＝x3－2x＋3在x＝1處的切線方程為

.參考答案：x-y+1=015.有下列命題：①若存在導函數，則；②若函數,則；③若函數，則；④若三次函數，則“”是“有極值點”的充要條件．其中真命題的序號是

參考答案：③16.平行四邊形兩條鄰邊的長分別是和，它們的夾角是，則平行四邊形中較長的對角線的長是

參考答案：17.已知|+|=|﹣|，那么向量與向量的關系是

．參考答案：垂直【考點】平面向量數量積的運算．【分析】根據平面向量的模長公式與數量積運算，得出?=0時⊥．【解答】解：|+|=|﹣|，∴=，+2?+=﹣2?+，∴?=0，∴⊥，∴向量與向量的關系是垂直．故答案為：垂直．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分）已知向量,函數．（1）求函數的最小正周期;（2）已知、、分別為內角、、的對邊,其中A為銳角,且,求，和的面積．參考答案：19.（本小題滿分12分）已知函數．（Ⅰ）求函數的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值．（Ⅱ）若，．求的值．參考答案：（Ⅰ）由得．所以函數的最小正周期為．因為，所以．所以，即時，函數為增函數，而在時，函數為減函數，所以為最大值，為最小值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又由已知，則．因為，則，因此，所以，于是，．20.已知函數f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線的方程；（Ⅱ）若f（x）在（）上存在單調遞增區(qū)間，求m的取值范圍（Ⅲ）已知函數f（x）有三個互不相同的零點0，x1，x2且x1＜x2，若對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）當m=2時，f（x）=x3+x2+3x，通過求導得出斜率k的值，從而求出切線方程；（Ⅱ）只需f′（）＞0即可，解不等式求出即可；（Ⅲ）由題設可得，由判別式△＞0，求出m的范圍，對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是，從而綜合得出m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當m=2時，f（x）=x3+x2+3x，∴f′（x）=﹣x2+2x+3，故k=f′（3）=0，又∵f（3）=9，∴曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為：y=9，（Ⅱ）若f（x）在（）上存在單調遞增區(qū)間，即存在某個子區(qū)間（a，b）?（，+∞）使得f′（x）＞0，∴只需f′（）＞0即可，f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞，由于m＞0，∴m＞．（Ⅲ）由題設可得，∴方程有兩個相異的實根x1，x2，故x1+x2=3，且解得：（舍去）或，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴，若x1≤1＜x2，則，而f（x1）=0，不合題意．若1＜x1＜x2，對任意的x∈[x1，x2]，有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，則，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值為0，于是對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是，解得；

綜上，m的取值范圍是．21.已知等比數列是遞增數列，，數列滿足，且（）（1）證明：數列是等差數列；（2）若對任意，不等式總成立，求實數的最大值．參考答案：解（1）因為，，且是遞增數列，所以，所以，所以

......3分因為，所以，所以數列是等差數列

......6分（2）由（1），所以最小值總成立，

......9分因為，所以或2時最小值為12，所以最大值為12．

略22.（12分）橢圓C：+=1（a＞b＞0）的短軸兩端點為B1（0，﹣1）、B2（0，1），離心率e=，點P是橢圓C上不在坐標軸上的任意一點，直線B1P和B2P分別與x軸相交于M，N兩點，（Ⅰ）求橢圓C的方程和|OM|?|ON|的值；（Ⅱ）若點M坐標為（1，0），過M點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試求△ABN面積的最大值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（Ⅰ）由b=1，離心率e==，則c2=a2，由a2﹣b2=c2，代入即可求得a和b的值，求得橢圓方程，設點P（x0，y0），則直線B1P方程為y=x﹣1，y=0，得xM=，同理可得xN=，∴|OM|?|ON|=丨xM丨?丨xN丨==4；（Ⅱ）設直線AB的方程為x=ty+1，代入橢圓方程，由韋達定理求得丨y1﹣y2丨==，S=丨MN丨?丨y1﹣y2丨=，由函數的單調性即可求得△ABN面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）橢圓C：+=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，由B1（0，﹣1）、B2（0，1），知b=1，…（1分）由橢圓的離心率e==，則c2=a2，由a2﹣b2=c2，a2﹣1=a2，解得：a2=4，∴橢圓C的方程為：；…（3分）設點P（x0，y0），則直線B1P方程為y=x﹣1，令y=0，得xM=，同理可得xN=，∴|OM|?|ON|=丨xM丨?丨xN丨=丨丨?丨丨==4，|OM|?|ON|=4；…（Ⅱ）當點M坐標為（1，0）時，點N（4，0），丨MN丨=3，…設直線AB的方程為x