廣東省梅州市大埔田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

廣東省梅州市大埔田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上取一點(diǎn)，以為球心，為半徑作一個(gè)球，設(shè)，記該球面與正方體表面的交線的長(zhǎng)度和為，則函數(shù)的圖像最有可能的是（

）參考答案：B試題分析：球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個(gè)特殊情形：（1）當(dāng)；（2）當(dāng)；（3）當(dāng).考點(diǎn)：函數(shù)圖象.【思路點(diǎn)晴】球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個(gè)特殊情形：（1）當(dāng)；（2）當(dāng)；（3）當(dāng).其中（1）（3）兩種情形所得弧長(zhǎng)相等且為函數(shù)的最大值，根據(jù)圖形的相似，（2）中的弧長(zhǎng)為（1）中弧長(zhǎng)的一半，對(duì)照選項(xiàng)，即可得出答案.本題考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查特殊值、小題小作的小題技巧.2.復(fù)數(shù)=（）A.

B.-

C.i

D.-i參考答案：C3.已知球O表面上的四點(diǎn)A，B，C，P滿足AC＝BC＝，AB＝2，若四面體PABC體積的最大值為，則球O的表面積為A.

B.

C.

D.參考答案：A4.已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為

A.

B.C.

D.參考答案：A5.某?，F(xiàn)有高一學(xué)生210人，高二學(xué)生270人，高三學(xué)生240人，用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：B考點(diǎn)：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．專題：計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：本題是一個(gè)分層抽樣問(wèn)題，根據(jù)所給的高一學(xué)生的總數(shù)和高一學(xué)生抽到的人數(shù)，可以做出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，根據(jù)這個(gè)概率值做出高三學(xué)生被抽到的人數(shù)．解答：解：∵由題意知高一學(xué)生210人，從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7，∴可以做出每=30人抽取一個(gè)人，∴從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為=8．故選：B．點(diǎn)評(píng)：抽樣選用哪一種抽樣形式，要根據(jù)題目所給的總體情況來(lái)決定，若總體個(gè)數(shù)較少，可采用抽簽法，若總體個(gè)數(shù)較多且個(gè)體各部分差異不大，可采用系統(tǒng)抽樣，若總體的個(gè)體差異較大，可采用分層抽樣6.設(shè)非零向量、、滿足，則向量與向量的夾角為（）A．150° B．120° C．60° D．30°參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由+=可得﹣=，兩邊平方，結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)和定義，即可得到所求夾角．【解答】解：設(shè)||=||=||=t，由+=可得﹣=，平方可得，（﹣）2=2，即有||2+||2﹣2?=||2，即為2?=||2=t2，即有2t2cos＜，＞=t2，即為cos＜，＞=，則向量與向量的夾角為60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．7.已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個(gè)命題：（1）α∥β?l⊥m，（2）α⊥β?l∥m，（3）l∥m?α⊥β，（4）l⊥m?α∥β，其中正確命題是（）A．（1）與（2） B．（1）與（3） C．（2）與（4） D．（3）與（4）參考答案：B【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】綜合題．【分析】根據(jù)已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，結(jié)合α∥β結(jié)合線面垂直的定義及判定，易判斷（1）的真假；結(jié)合α⊥β，結(jié)合空間直線與直線關(guān)系的定義，我們易判斷（2）的對(duì)錯(cuò)；結(jié)合l∥m，根據(jù)線面垂直的判定方法及面面平行的判定定理，易判斷（3）的正誤；再根據(jù)l⊥m結(jié)合空間兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系，易得到（4）的真假，進(jìn)而得到答案．【解答】解：∵直線l⊥平面α，α∥β，∴l(xiāng)⊥平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m，故（1）正確；∵直線l⊥平面α，α⊥β，∴l(xiāng)∥平面β，或l?平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交，還可以異面，故（2）錯(cuò)誤；∵直線l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直線m?平面β，∴α⊥β，故（3）正確；∵直線l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m?α，又∵直線m?平面β，則α與β可能平行也可能相交，故（4）錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，其中熟練掌握空間中直線與平面位置關(guān)系的判定及性質(zhì)定理，建立良好的空間想像能力是解答本題的關(guān)鍵．8.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則的值為（）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C9.設(shè)，，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.給出如下四個(gè)命題：①若向量滿足，則與的夾角為鈍角；②命題“若”的否命題為“若”；③“”的否定是“”；④向量的充要條件：存在實(shí)數(shù).其中正確的命題的序號(hào)是

A．①②④

B．②④

C．②③

D．②參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是

___.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．F3

【答案解析】22解析：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，故?=22，故答案為：22．【思路點(diǎn)撥】由=3，可得=+，=﹣，進(jìn)而由AB=8，AD=5，=3，?=2，構(gòu)造方程，進(jìn)而可得答案．12.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像在處的切線方程是

．參考答案：13.計(jì)算：________．參考答案：0略14.△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為，重心為G，若，則∠A=

.參考答案：略15.如圖,已知內(nèi)接于圓O，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，是⊙O的切線，若,,則的長(zhǎng)為

.參考答案：616.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折疊，其正視圖和俯視圖如圖所示，此時(shí)連接頂點(diǎn)B、D形成三棱錐B-ACD，則其側(cè)視圖的面積為_(kāi)_____．參考答案：

解：由題意可知幾何體是三棱錐，底面是直角三角形，直角邊長(zhǎng)為4，3，一個(gè)側(cè)面是直角三角形與底面垂直，AB=4，BC=3，B到AC的距離為：側(cè)視圖如圖：是等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為：．所以側(cè)視圖的面積為：．故答案為：．17.正四面體ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足為，設(shè)是線段上一點(diǎn)，且是直角，則的值為

.參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在直二面角中，四邊形是矩形，，，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，.（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

試題解析：（Ⅰ）證明：由題意知：，，.∵,∴.∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知、、兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

設(shè)二面角的平面角為，由題中條件可知，則，∴二面角的余弦值為.………………12分考點(diǎn)：線面垂直的判斷，二面角．【名師點(diǎn)睛】求二面角，通常是用空間向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出二面角兩個(gè)面的法向量，由法向量的夾角求得二面角．在用這種方法求解時(shí)，有一個(gè)易錯(cuò)的地方就是不判斷二面角是銳角不是鈍角，就想當(dāng)然地認(rèn)為法向量的夾角就是等于二面角．當(dāng)然如果圖形中已經(jīng)有棱的垂面了，二面角的平面角已經(jīng)出現(xiàn)了，因此直接用定義求二面角即可，沒(méi)必要再用向量法求解．19.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{}的公差，它的前n項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列，（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，求證：。參考答案：解：（Ⅰ）由已知，，又成等比數(shù)列，由且可解得，，故數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ），，顯然，。略20.如圖，AB是圓O的直徑，C是半徑OB的中點(diǎn)，D是OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=OB，直線MD與圓O相交于點(diǎn)M、T（不與A、B重合），DN與圓O相切于點(diǎn)N，連結(jié)MC，MB，OT．(1)求證：；(2)若，試求的大小．參考答案：（1）證明：因MD與圓O相交于點(diǎn)T，由切割線定理，，得，設(shè)半徑OB=，因BD=OB，且BC=OC=，則，，所以（2）由（1）可知，，且，故∽，所以；根據(jù)圓周角定理得，，則

略21.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）時(shí)，，，，所以在處的切線方程為（2）存在，，即：在時(shí)有解；設(shè)，令，所以在上單調(diào)遞增，所以1°當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)增，所以，所以2°當(dāng)時(shí)，設(shè)，令，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以，所以所以設(shè)，，令，所以在上單調(diào)遞增，所以所以在單調(diào)遞增，∴，所以，所以所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，不合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）在區(qū)間內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：(1)；