廣東省梅州市大埔田家炳實驗中學2022-2023學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

廣東省梅州市大埔田家炳實驗中學2022-2023學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在棱長為1的正方體的對角線上取一點，以為球心，為半徑作一個球，設，記該球面與正方體表面的交線的長度和為，則函數(shù)的圖像最有可能的是（

）參考答案：B試題分析：球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個特殊情形：（1）當；（2）當；（3）當.考點：函數(shù)圖象.【思路點晴】球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個特殊情形：（1）當；（2）當；（3）當.其中（1）（3）兩種情形所得弧長相等且為函數(shù)的最大值，根據(jù)圖形的相似，（2）中的弧長為（1）中弧長的一半，對照選項，即可得出答案.本題考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查特殊值、小題小作的小題技巧.2.復數(shù)=（）A.

B.-

C.i

D.-i參考答案：C3.已知球O表面上的四點A，B，C，P滿足AC＝BC＝，AB＝2，若四面體PABC體積的最大值為，則球O的表面積為A.

B.

C.

D.參考答案：A4.已知點關于直線的對稱點為,則圓關于直線對稱的圓的方程為

A.

B.C.

D.參考答案：A5.某校現(xiàn)有高一學生210人，高二學生270人，高三學生240人，用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中隨機抽取n名學生進行問卷調查，如果已知從高一學生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學生中抽取的人數(shù)應為（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：B考點：簡單隨機抽樣．專題：計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．分析：本題是一個分層抽樣問題，根據(jù)所給的高一學生的總數(shù)和高一學生抽到的人數(shù)，可以做出每個個體被抽到的概率，根據(jù)這個概率值做出高三學生被抽到的人數(shù)．解答：解：∵由題意知高一學生210人，從高一學生中抽取的人數(shù)為7，∴可以做出每=30人抽取一個人，∴從高三學生中抽取的人數(shù)應為=8．故選：B．點評：抽樣選用哪一種抽樣形式，要根據(jù)題目所給的總體情況來決定，若總體個數(shù)較少，可采用抽簽法，若總體個數(shù)較多且個體各部分差異不大，可采用系統(tǒng)抽樣，若總體的個體差異較大，可采用分層抽樣6.設非零向量、、滿足，則向量與向量的夾角為（）A．150° B．120° C．60° D．30°參考答案：C【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】平面向量及應用．【分析】由+=可得﹣=，兩邊平方，結合向量的數(shù)量積的性質和定義，即可得到所求夾角．【解答】解：設||=||=||=t，由+=可得﹣=，平方可得，（﹣）2=2，即有||2+||2﹣2?=||2，即為2?=||2=t2，即有2t2cos＜，＞=t2，即為cos＜，＞=，則向量與向量的夾角為60°．故選：C．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．7.已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個命題：（1）α∥β?l⊥m，（2）α⊥β?l∥m，（3）l∥m?α⊥β，（4）l⊥m?α∥β，其中正確命題是（）A．（1）與（2） B．（1）與（3） C．（2）與（4） D．（3）與（4）參考答案：B【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【專題】綜合題．【分析】根據(jù)已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，結合α∥β結合線面垂直的定義及判定，易判斷（1）的真假；結合α⊥β，結合空間直線與直線關系的定義，我們易判斷（2）的對錯；結合l∥m，根據(jù)線面垂直的判定方法及面面平行的判定定理，易判斷（3）的正誤；再根據(jù)l⊥m結合空間兩個平面之間的位置關系，易得到（4）的真假，進而得到答案．【解答】解：∵直線l⊥平面α，α∥β，∴l(xiāng)⊥平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m，故（1）正確；∵直線l⊥平面α，α⊥β，∴l(xiāng)∥平面β，或l?平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交，還可以異面，故（2）錯誤；∵直線l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直線m?平面β，∴α⊥β，故（3）正確；∵直線l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m?α，又∵直線m?平面β，則α與β可能平行也可能相交，故（4）錯誤；故選B．【點評】本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關系，其中熟練掌握空間中直線與平面位置關系的判定及性質定理，建立良好的空間想像能力是解答本題的關鍵．8.在復平面內復數(shù)、對應的點分別為、，若復數(shù)對應的點為線段的中點，則的值為（）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C9.設，，若對于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.給出如下四個命題：①若向量滿足，則與的夾角為鈍角；②命題“若”的否命題為“若”；③“”的否定是“”；④向量的充要條件：存在實數(shù).其中正確的命題的序號是

A．①②④

B．②④

C．②③

D．②參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是

___.參考答案：【知識點】向量在幾何中的應用；平面向量數(shù)量積的運算．F3

【答案解析】22解析：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，故?=22，故答案為：22．【思路點撥】由=3，可得=+，=﹣，進而由AB=8，AD=5，=3，?=2，構造方程，進而可得答案．12.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像在處的切線方程是

．參考答案：13.計算：________．參考答案：0略14.△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為，重心為G，若，則∠A=

.參考答案：略15.如圖,已知內接于圓O，點在的延長線上，是⊙O的切線，若,,則的長為

.參考答案：616.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折疊，其正視圖和俯視圖如圖所示，此時連接頂點B、D形成三棱錐B-ACD，則其側視圖的面積為______．參考答案：

解：由題意可知幾何體是三棱錐，底面是直角三角形，直角邊長為4，3，一個側面是直角三角形與底面垂直，AB=4，BC=3，B到AC的距離為：側視圖如圖：是等腰直角三角形，直角邊長為：．所以側視圖的面積為：．故答案為：．17.正四面體ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足為，設是線段上一點，且是直角，則的值為

.參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直二面角中，四邊形是矩形，，，是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是線段上的一點，.（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

試題解析：（Ⅰ）證明：由題意知：，，.∵,∴.∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知、、兩兩互相垂直，以為原點，方向為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，.

設二面角的平面角為，由題中條件可知，則，∴二面角的余弦值為.………………12分考點：線面垂直的判斷，二面角．【名師點睛】求二面角，通常是用空間向量法，即建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出二面角兩個面的法向量，由法向量的夾角求得二面角．在用這種方法求解時，有一個易錯的地方就是不判斷二面角是銳角不是鈍角，就想當然地認為法向量的夾角就是等于二面角．當然如果圖形中已經(jīng)有棱的垂面了，二面角的平面角已經(jīng)出現(xiàn)了，因此直接用定義求二面角即可，沒必要再用向量法求解．19.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{}的公差，它的前n項和為，若，且成等比數(shù)列，（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{}的前n項和為，求證：。參考答案：解：（Ⅰ）由已知，，又成等比數(shù)列，由且可解得，，故數(shù)列{}的通項公式為；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ），，顯然，。略20.如圖，AB是圓O的直徑，C是半徑OB的中點，D是OB延長線上一點，且BD=OB，直線MD與圓O相交于點M、T（不與A、B重合），DN與圓O相切于點N，連結MC，MB，OT．(1)求證：；(2)若，試求的大?。畢⒖即鸢福海?）證明：因MD與圓O相交于點T，由切割線定理，，得，設半徑OB=，因BD=OB，且BC=OC=，則，，所以（2）由（1）可知，，且，故∽，所以；根據(jù)圓周角定理得，，則

略21.已知.（1）當時，求在處的切線方程；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）時，，，，所以在處的切線方程為（2）存在，，即：在時有解；設，令，所以在上單調遞增，所以1°當時，，∴在單調增，所以，所以2°當時，設，令，所以在單調遞減，在單調遞增所以，所以所以設，，令，所以在上單調遞增，所以所以在單調遞增，∴，所以，所以所以，當時，恒成立，不合題意綜上，實數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）在區(qū)間內存在實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：(1)；