廣東省揭陽(yáng)市錫中學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省揭陽(yáng)市錫中學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于方程為的曲線C給出以下三個(gè)命題：（1）曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；（2）曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱，且x軸和y軸是曲線C僅有的兩條對(duì)稱軸；（3）若分別在第一、第二、第三、第四象限的點(diǎn)M，N，P，Q，都在曲線C上，則四邊形MNPQ每一條邊的邊長(zhǎng)都大于2；其中正確的命題是(

) A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）；參考答案：B考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；曲線與方程．專題：作圖題；簡(jiǎn)易邏輯．分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四類討論，作出的圖象，再分別對(duì)選項(xiàng)（1）（2）（3）判斷即可．解答： 解：∵，∴當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，?+=1，解得y==1+；同理可得，當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，?﹣+=1，整理得：y=1﹣；當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，?﹣﹣=1，整理得：y=﹣1+；x＞0，y＜0時(shí)，?﹣=1，整理得：y=﹣1﹣；作出圖象如下：由圖可知，曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故（1）正確；曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱，也關(guān)于直線y=x與y=﹣x對(duì)稱，故（2）錯(cuò)誤；由于在第一、第二、第三、第四象限的點(diǎn)M，N，P，Q，都在曲線C上，由圖可知，四邊形MNPQ每一條邊的邊長(zhǎng)都大于2，故（3）正確；綜上所述，（1）（3）正確．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查曲線與方程的理解與應(yīng)用，考查分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．2.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．16

B．12

C.11

D．參考答案：C3.已知變量滿足則的最大值是（

）A．

B．3

C．

D．參考答案：A令，則表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖形可知，聯(lián)立方程可以求出，所以，故的最大值為.選A.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.4.甲.乙兩店出售同一商品所得利潤(rùn)相同,甲店售價(jià)比市場(chǎng)最高限價(jià)低10元,獲利為售價(jià)的10%,而乙店售價(jià)比限價(jià)低20元,獲利為售價(jià)的20%,那么商品的最高限價(jià)是()(A)30元(B)40元(C)70元(D)100元參考答案：A5.如圖，是定義在[0,1]上的四個(gè)函數(shù)，其中滿足性質(zhì)“，且，恒成立”的為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】設(shè)，根據(jù)恒成立可得與點(diǎn)的位置關(guān)系，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，表示線段上的點(diǎn)（除端點(diǎn)外），因?yàn)楹愠闪ⅲ渣c(diǎn)始終在下方，所以函數(shù)的圖像是下凸的，故選A.【點(diǎn)睛】在坐標(biāo)平面中，對(duì)于上的可導(dǎo)函數(shù)，若，時(shí)，總有成立，則函數(shù)的圖像是向下凸的（即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是增函數(shù)）.6.已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為()A．3

B．6

C．8

D．10參考答案：D7.直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D集合A為，集合B為所以并集所以選D

9.已知集合，則（

）

參考答案：A略10.17世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割。如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦?！秉S金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形)。例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金△ABC中，。根據(jù)這些信息，可得sin234°＝A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知N，且，CC，則可推出CCCCCCCCC，由此，可推出CCCCC

.參考答案：12.在內(nèi)隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線與圓有公共點(diǎn)”發(fā)生的概率為

.參考答案：由直線與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離小于等于半徑，，解得，所以根據(jù)幾何概型及其概率公式可得.

13.已知正四棱錐O-ABCD的體積為,底面邊長(zhǎng)為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_________參考答案：略14.方程組的解是參考答案：15.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

。參考答案：16.將函數(shù)的圖像按向量（）平移，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為

.參考答案：由題意知，按平移，得到函數(shù)，即，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，所以,所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為。17.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則

。參考答案：27三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知{an}中，a1=1，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an=．（Ⅰ）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：S1+S2+S3+…+Sn＜．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定．專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{}是等差數(shù)列；（Ⅱ）求出Sn的通項(xiàng)公式，利用放縮法進(jìn)行證明不等式．解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=，…即Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1，則﹣，…從而{}構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．…（Ⅱ）∵{}構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，即Sn=，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn===（﹣）．…從而S1+S2+S3+…+Sn＜1+（1﹣）＜﹣．…點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和以及，等差數(shù)列的判斷，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．19.現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)，其中．記，，作函數(shù)，使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，判斷的大小關(guān)系；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，．參考答案：（Ⅰ）解：，

………………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因?yàn)椋裕?/p>

………………8分（Ⅲ）證：由于的圖象是連接各點(diǎn)的折線，要證明，只需證明．

…………9分事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，．下面證明．法一：對(duì)任何，………………10分……11分

…………12分所以．…………13分法二：對(duì)任何，當(dāng)時(shí)，；………10分當(dāng)時(shí)，綜上，．

………13分略20.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸．已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，﹣5），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（4，）．若直線l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑．（Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；直線的參數(shù)方程；圓的參數(shù)方程．【專題】壓軸題．【分析】（I）根據(jù)題意直接求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．（II）先化直線l的參數(shù)方程為普通方程，求出圓心坐標(biāo)，用圓心的直線距離和半徑比較可知位置關(guān)系．【解答】解（I）直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ．（II）因?yàn)閷?duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為（0，4）直線l化為普通方程為圓心到，所以直線l與圓C相離．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的參數(shù)方程，圓的極坐標(biāo)方程，和普通方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）若，求直線l的極坐標(biāo)方程以及曲線C的直角坐標(biāo)方程：（2）若直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率．參考答案：（1）直線的極坐標(biāo)方程為，曲線C的直角坐標(biāo)方程為（2）【分析】（1）根據(jù)，，，求出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求出，，根據(jù)，求出直線的斜率即可．【詳解】（1）由題意，直線，可得直線是過(guò)原點(diǎn)的直線，故其極坐標(biāo)方程為，又，故；（2）由題意，直線l的極坐標(biāo)為，設(shè)、對(duì)應(yīng)的極徑分別為，，將代入曲線的極坐標(biāo)可得：，故，，，故，則，即，，所以故直線的斜率是．【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查直線的斜率，是一道中檔題．22.已知數(shù)列{an}滿足，，．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）是否存在互不相等的正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的，，；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解：（1）因?yàn)?，所以．………………?分所以．……………ks5u……3分因?yàn)?，則．…………4分所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．…………5分（2）由（1）知，，所以．……7分假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)，，滿足