廣東省揭陽市第一中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

廣東省揭陽市第一中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個端點(diǎn)為P，直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).若，點(diǎn)P到直線l的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍為A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)橢圓對稱性可證得四邊形為平行四邊形，根據(jù)橢圓定義可求得；利用點(diǎn)到直線距離構(gòu)造不等式可求得，根據(jù)可求得的范圍，進(jìn)而得到離心率的范圍.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，為短軸的上端點(diǎn)，連接，如下圖所示：由橢圓的對稱性可知，關(guān)于原點(diǎn)對稱，則又

四邊形為平行四邊形又，解得：點(diǎn)到直線距離：，解得：，即

本題正確選項：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，重點(diǎn)考查橢圓幾何性質(zhì)，涉及到橢圓的對稱性、橢圓的定義、點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用等知識.2.函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，2)

B．(0,3)C．(1,4)

D．(2，＋∞)參考答案：D略3.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣3，0），（3，0） B．（0，﹣3），（0，3） C．（﹣，0），（，0） D．（0，﹣），（0，）參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得該橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且a2=10，b2=1，計算可得c的值，進(jìn)而由焦點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其焦點(diǎn)在y軸上，且a2=10，b2=1，則c2=a2﹣b2=9，即c=3，故其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），（0，﹣3）；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是掌握由標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置的方法．4.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則（）A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差參考答案：C【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；分布的意義和作用；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】根據(jù)平均數(shù)公式分別求出甲與乙的平均數(shù)，然后利用方差公式求出甲與乙的方差，從而可得到結(jié)論．【解答】解：=×（4+5+6+7+8）=6，=×（5+5+5+6+9）=6，甲的成績的方差為×（22×2+12×2）=2，以的成績的方差為×（12×3+32×1）=2.4．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了平均數(shù)及其方差公式，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日二馬相逢，則長安至齊（）A．1120里 B．2250里 C．3375里 D．1125里參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項公式．【分析】由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1=103，d=13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；設(shè)長安至齊為x里，則a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103×9++97×9+=2x，解得x=1125．故選：D．6.下列運(yùn)算不屬于我們所討論算法范疇的是（）A．已知圓的半徑求圓的面積B．隨意抽４張撲克牌算到二十四點(diǎn)的可能性C．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)求直線方程D．加減乘除法運(yùn)算法則參考答案：B7.已知是空間中兩條不同直線,是兩個不同平面,且,給出下列命題：①若，則；

②若，則;③若，則；

④若，則其中正確命題的個數(shù)是

（

）A.1

B.2

C．3

D．4參考答案：B8.已知點(diǎn)P（，）在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動，則的取值范圍是（

）A．[－1，－1]

B．[－1，1]

C．[1，－1]

D．[1，1]

參考答案：B略9.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為（）A．π B．4π C．4π D．6π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】利用平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，求出球的半徑，然后求解球的體積．【解答】解：因為平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，所以球的半徑為：=．所以球的體積為：=4π．故選B．10.執(zhí)行如圖的程序框圖，已知輸出的s∈[0，4]．若輸入的t∈[0，m]，則實數(shù)m的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】根據(jù)流程圖所示的順序知：該程序的作用是計算一個分段函數(shù)的函數(shù)值，由條件t的取值范圍得分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，由分支結(jié)構(gòu)中是否兩條分支上對應(yīng)的語句行，易得函數(shù)的解析式，從而得解．【解答】解：由s=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4，對稱軸是t=2，t∈[0，m]，s∈[0，4]，故s=4t﹣t2在[0，2）遞增，在（2，m]遞減，故s（t）max=s（2）=4，s（t）min=s（0）=s（4）=0，故m的最大值是4，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，對角線AC⊥BD于P點(diǎn)，已知AD∶BC=1∶2，則BD∶AC的值是__________.參考答案：12.一只螞蟻從棱長為1的正方體的表面上某一點(diǎn)P處出發(fā)，走遍正方體的每個面的中心的最短距離d=f（P），那么d的最大值是

．參考答案：【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題．【分析】欲求d的最大值，先將起始點(diǎn)定在正方體的一個頂點(diǎn)A點(diǎn)，再將正方體展開，找到6個面的中心點(diǎn)，經(jīng)觀察可知螞蟻爬行最短程為6個正方體的棱長+展開圖形中半個正方形對角線的長．【解答】解：欲求d的最大值，先將起始點(diǎn)定在正方體的一個頂點(diǎn)A點(diǎn)，正方體展開圖形為：則螞蟻爬行最短程的最大值S=5+=．故答案為：．．【點(diǎn)評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，解題關(guān)鍵是找到A點(diǎn)在正方體展開圖形中的對應(yīng)點(diǎn)及6個面的中心點(diǎn)，有一定的難度．13.三個學(xué)習(xí)小組分別對不同的變量組（每組為兩個變量）進(jìn)行該組兩變量間的線性相關(guān)作實驗，并用回歸分析的方法分別求得相關(guān)系數(shù)與方差如下表所示，其中第

小組所研究的對象（組內(nèi)兩變量）的線性相關(guān)性更強(qiáng)。參考答案：二略14.已知橢圓的對稱軸是兩坐標(biāo)軸，離心率e=，長軸長為6，則橢圓方程為

。參考答案：15.有下列四個命題： ①、命題“若，則，互為倒數(shù)”的逆命題； ②、命題“面積相等的三角形全等”的否命題； ③、命題“若，則有實根”的逆否命題； ④、命題“若，則”的逆否命題

其中是真命題的是

（填上你認(rèn)為正確的命題的序號）參考答案：①，②，③16.若x＞0，y＞0，且+=1，則x+3y的最小值為

；則xy的最小值為

．參考答案：16，12

【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質(zhì)和“乘1法”即可得出．【解答】解：∵x，y＞0，且+=1，∴x+3y=（x+3y）（+）=10++≥10+6=16，當(dāng)且僅當(dāng)=即x==y取等號．因此x+3y的最小值為16．∵x＞0，y＞0，且+=1，∴1≥2，化為xy≥12，當(dāng)且僅當(dāng)y=3x時取等號．則xy的最小值為12．故答案為：16，1217.如圖，在圓x2+y2=16上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，則線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為

．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】設(shè)出M的坐標(biāo)為（x，y），利用中點(diǎn)坐標(biāo)得出P的坐標(biāo)為（x，2y），P點(diǎn)在圓上，帶入可以M的軌跡方程．【解答】解：由題意，設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），x軸的垂線段PD，M是線段PD的中點(diǎn)，∴P的坐標(biāo)為（x，2y）點(diǎn)P在圓x2+y2=16上，∴x2+4y2=16即．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了軌跡方程方程的求法，利用到了中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某企業(yè)為解決困難職工的住房問題，決定分批建設(shè)保障性住房供給困難職工，首批計劃用100萬元購買一塊土地，該土地可以建造每層1000平方米的樓房一幢，樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元，已知建筑5層樓房時，每平方米的建筑費(fèi)用為1000元．（1）若建筑樓房為x層，該樓房的綜合費(fèi)用為y萬元（綜合費(fèi)用為建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和），求y=f（x）的表達(dá)式．（2）為了使該幢樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)把樓房建成幾層？此時平均綜合費(fèi)用為每平方米多少元？參考答案：考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．專題：應(yīng)用題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：1）第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為920元，第1層樓房建筑費(fèi)用為920×1000=920000（元）=92（萬元）；樓房每升高一層，整層樓建筑費(fèi)用提高20×1000=20000（元）=2（萬元）；第x層樓房建筑費(fèi)用為92+（x﹣1）×2=2x+90（萬元）；建筑第x層樓時，樓房綜合費(fèi)用=建筑總費(fèi)用（等差數(shù)列前n項和）+購地費(fèi)用，由此可得y=f（x）；（2）樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為g（x），則g（x）=（元），代入（1）中f（x）整理，求出最小值即可．解答：解：（1）由題意知，建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為：920元．建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為：920×1000=920000（元）=92（萬元）樓房每升高一層，整層樓建筑費(fèi)用提高：20×1000=20000（元）=2（萬元）建筑第x層樓房建筑費(fèi)用為：92+（x﹣1）×2=2x+90（萬元）建筑第x層樓時，該樓房綜合費(fèi)用為y=f（x）=x2+91x+100（x≥1，x∈Z）（2）設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為g（x），則：g（x）==10x++910≥1110，當(dāng)且僅當(dāng)10x=，即x=10時，等號成立；所以，學(xué)校應(yīng)把樓層建成10層．此時平均綜合費(fèi)用為每平方米1110元．點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列前n項和的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用；應(yīng)用基本不等式求最值時，要注意“=”成立的條件．19.（本小題滿分12分）已知是實數(shù)，函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間上的最小值。（i）寫出的表達(dá)式；（ii）求的取值范圍，使得。參考答案：（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為，（）．若，則，有單調(diào)遞增區(qū)間．若，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，．有單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間．（Ⅱ）解：（i）若，在上單調(diào)遞增，所以．若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．若，在上單調(diào)遞減，所以．綜上所述，

（ii）令．若，無解．若，解得．若，解得．故的取值范圍為．20.已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另

一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．參考答案：解：（1）求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

（Ⅱ）設(shè)：，

設(shè),，則，，．所以，：，令，則，所以，

．

因為，，所以

所以，直線與軸相交于定點(diǎn)．略21.已知M是由所有滿足下述條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：①方程f（x）﹣x=0有實數(shù)根；②設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），且對f（x）定義域內(nèi)任意的x，都有f′（x）＞1．（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=2x+sinx是否是集合M中的元素，并說明理由；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=lnx+ax是集合M中的元素，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到當(dāng)cosx=﹣1時，f′（x）=1，不符合條件②，從而得出結(jié)論；（Ⅱ）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合新定義從而求出a的范圍．解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2+cosx，當(dāng)cosx=﹣1時，f′（x）=1，不符合條件②，∴函數(shù)f（x）不是集合M中的元素；（Ⅱ）∵g（x）是集合M中的元素，∴g′（x）=+a＞1對于任意x＞0均成立，即a＞1﹣（x＞0）恒成立，即a≥1，令G（x）=g（