廣東省揭陽市埔田中學2021年高三數學理月考試題含解析

廣東省揭陽市埔田中學2021年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，則（

）A．(0,3]

B．[3,π)

C．[－1,π)

D．[－1,0)參考答案：A2.已知函數f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函數f（x）的一條對稱軸，且tanx0=2，則點（a，b）所在的直線為(

) A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0參考答案：A考點：兩角和與差的正弦函數．專題：三角函數的圖像與性質．分析：利用輔助角公式將函數進行化簡，求出函數的對稱軸即可得到結論．解答： 解：f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx），令sinα=，則cosα=，即tanα=，則f（x）=cos（x﹣α），由x﹣α=kπ，得x=α+kπ，k∈Z，即函數的對稱軸為x=α+kπ，k∈Z，∵x=x0是函數f（x）的一條對稱軸，∴x0=α+kπ，則tanx0=tanα==2，即a=2b，即a﹣2b=0，則點（a，b）所在的直線為x﹣2y=0，故選：A點評：本題主要考查三角函數的化簡，以及三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．3.已知，滿足約束條件，若的最小值為，則A. B. C. D.參考答案：A4.設，則對于任意的實數a和b，a+b0是的A．充分且必要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分又不必要條件

參考答案：A5.若（為虛數單位），則使的值可能是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案:A6.已知函數在上是增函數，，若，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

參考答案：B因為，所以函數為偶函數，因為函數在上是增函數，所以當時，，此時為減函數，所以當，函數單調遞增。因為，所以有，解得，即，選B.7.設a，b均為實數，則“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分條件，反之，不成立，比如a=1，b=﹣2，不是必要條件，故選：A．8.如圖，已知等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】向量在幾何中的應用．【分析】將向量轉化成，向量轉化成，然后化簡整理即可求出所求．【解答】解：∵∴=（）化簡整理得=﹣+故選C．9.在四面體P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，則該四面體P﹣ABC的外接球的表面積為(

) A．π B．π C．2π D．3π參考答案：D考點：球的體積和表面積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐P﹣ABC外接球．算出長方體的對角線即為球直徑，結合球的表面積公式，可算出三棱錐P﹣ABC外接球的表面積解答： 解：由題意，以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐P﹣ABC外接球．∵長方體的對角線長為=，∴球直徑為，半徑R=，因此，三棱錐P﹣ABC外接球的表面積是4πR2=4π×（）2=3π故選：D．點評：本題給出三棱錐的三條側棱兩兩垂直，求它的外接球的表面積，著重考查了長方體對角線公式和球的表面積計算等知識，屬于基礎題．10.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，下列命題中正確的是（

）A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，都在球面上，且在所在平面外，，，，，在球內任取一點，則該點落在三棱錐內的概率為

．參考答案：

12.已知函數的圖像與函數的圖像恰有兩個交點,則實數的取值范圍是________.參考答案：略13.已知圓：，直線：，設圓上到直線的距離等于1的點的個數為，則

參考答案：414.在△ABC中，D、E分別是AB，AC的中點，M是直線DE上的動點，若△ABC的面積為1，則?+2的最小值為

．參考答案：【考點】9R：平面向量數量積的運算．【分析】由三角形的面積公式，S△ABC=2S△MBC，則S△MBC=，根據三角形的面積公式及向量的數量積，利用余弦定理，即可求得則?+2，利用導數求得函數的單調性，即可求得則?+2的最小值；方法二：利用輔助角公式及正弦函數的性質，即可求得?+2的最小值．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中點，∴A到BC的距離=點A到BC的距離的一半，∴S△ABC=2S△MBC，而△ABC的面積1，則△MBC的面積S△MBC=，S△MBC=丨MB丨×丨MC丨sin∠BMC=，∴丨MB丨×丨MC丨=．∴?=丨MB丨×丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC，顯然，BM、CM都是正數，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨×丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．．∴?+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，則y′=，令y′=0，則cos∠BMC=，此時函數在（0，）上單調減，在（，1）上單調增，∴cos∠BMC=時，取得最小值為，?+2的最小值是，方法二：令y=，則ysin∠BMC+cos∠BMC=2，則sin（∠BMC+α）=2，tanα=，則sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，?+2的最小值是，故答案為：．【點評】本題考查了向量的線性運算、數量積運算、輔助角公式，余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15.三棱錐中，、、、分別為、、、的中點，則截面將三棱錐分成兩部分的體積之比為

.參考答案：

16.函數的最大值是

參考答案：17.若曲線處的切線平行于直線的坐標是_______.參考答案：(e,e)

切線斜率K=2

則，，

所以P(e,e)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為：,以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系.(1)若把曲線C上的點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到曲線C1，求C1的極坐標方程；(2)直線l的極坐標方程是,與曲線C1交于A，B兩點，求三角形AOB的面積.參考答案：(1)；(2).試題分析：（1）根據坐標變換得到曲線，利用極坐標轉換公式即可寫出極坐標方程；（2）轉化為直角坐標系方程后，聯(lián)立方程組，解出點的坐標，計算即可.試題解析：（1）設曲線上任意一點經過坐標變化后得到，依題意：所以：故曲線的標準方程為，極坐標方程為：(2)（法一）直線與曲線的交點為，則的極坐標滿足方程組：解之得：、，（法二）直線與曲線C1交點為，則A、B的直角坐標滿足方程組：聯(lián)立方程可得:、,所以邊上的高為，19.（本小題滿分12人）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵樹，乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8，求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差。

（Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y的分布列和數學期望。參考答案：見解析【知識點】概率綜合莖葉圖解：(Ⅰ)當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10。

所以平均數為；

方差為

(Ⅱ)當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；

乙組同學的植樹棵數是：9，8，9，10。

分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4×4=16種可能的結果，

這兩名同學植樹總棵數Y的可能取值為17，18，19，20，21。

事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”，

所以該事件有2種可能的結果，

因此P(Y=17)=。

同理可得P(Y=18)＝；P(Y=19)=

；P(Y=20)=

；P(Y=21)=。

所以，隨機變量Y的分布列為：

EY=17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19。20.圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為(單位：元)．(1)將表示為的函數：

(2)試確定,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．參考答案：解：(1)依條件可知，

=

（x>2）(2)當且僅當取到等號答：當時，最小費用為10440元

略21.（本小題滿分13分）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，點是點關于軸的對稱點，過點的直線交拋物線于兩點（1）試問在軸上是否存在不同于點的一點，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出頂點的坐標，若不存在，說明理由；（2）若的面積為，求向量的夾角。參考答案：22.在直角坐標系xOy中，將曲線（t為參數）上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C1；以坐標原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為．（1）求曲線C1的極坐標方程；（2）已知點M（1，0），直線l的極坐標方程為，它與曲線C1的交點為O，P，與曲線C2的交點為Q，求△MPQ的面積．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【分析】（1）由題意求出曲線C1的參數方程，從而得到曲線C1的普通方程，由此能求出曲線C1的極坐標方程．（2）設點ρ，Q的極坐標分別為（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），由直線l的極坐標方程為，它與曲線C1的交點為O，P，分別求出O，P的極坐標，從而求出|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，再由M到直線l的距離為，能求出△MPQ的面積．解：（1）∵曲線（t為參數）上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C1，∴由題意知，曲線C1的參數方程為（t為參數），∴曲線C1的普通方程為（x﹣1）2+y2=1