廣東省廣州市職業(yè)高級中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

廣東省廣州市職業(yè)高級中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.球O為邊長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球，P為球O的球面上動點(diǎn)，M為B1C1中點(diǎn)，DP⊥BM，則點(diǎn)P的軌跡周長為(

)A．π B．π C．π D．π參考答案：D【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體．【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】取BB1的中點(diǎn)N，連接CN，確定點(diǎn)P的軌跡為過D，C，N的平面與內(nèi)切球的交線，求出截面圓的半徑，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，取BB1的中點(diǎn)N，連接CN，則CN⊥BM，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1，∴CN為DP在平面B1C1CB中的射影，∴點(diǎn)P的軌跡為過D，C，N的平面與內(nèi)切球的交線，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的邊長為2，∴O到過D，C，N的平面的距離為，∴截面圓的半徑為=，∴點(diǎn)P的軌跡周長為．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查截面與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定點(diǎn)P的軌跡是關(guān)鍵．2.設(shè)，則（

★

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

A．（－5，＋∞）

B．［－5，＋∞

C．（－5，0）

D．（－2，0）參考答案：A4.（5分）某購物網(wǎng)站在2014年11月開展“全場6折”促銷活動，在11日當(dāng)天購物還可以再享受“每張訂單金額（6折后）滿300元時(shí)可減免100元”．某人在11日當(dāng)天欲購入原價(jià)48元（單價(jià)）的商品共42件，為使花錢總數(shù)量最少，他最少需要下的訂單張數(shù)為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5參考答案：B考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題： 應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 因是選擇題，可進(jìn)行分步計(jì)算，用42=9+11+11+11易得到．解答： ∵原價(jià)是：48×42=2016（元），2016×0.6=1209.6（元），∵每張訂單金額（6折后）滿300元時(shí)可減免100，∴若分成10，10，11，11，由于48×10=480，480×0.6=288，達(dá)不到滿300元時(shí)可減免100，∴應(yīng)分成9，11，11，11．∴只能減免3次，故選：B．點(diǎn)評： 本題是一道應(yīng)用題，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的解法．5.已知a=，則下列結(jié)論正確的是A．c>b>aB．c>a>bC．a(chǎn)>b>cD．a(chǎn)>c>b參考答案：D6.函數(shù)f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域?yàn)椋ǎ〢．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)值的符號；函數(shù)的值域．【分析】先將函數(shù)y=|sinx|+2|cosx|的值域?當(dāng)x∈[0，]時(shí)，y=sinx+2cosx的值域，利用兩角和與差的正弦函數(shù)化簡，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域．【解答】解：∵函數(shù)y=|sinx|+2|cosx|的值域?當(dāng)x∈[0，]時(shí)，y=sinx+2cosx的值域，∴y=sinx+2cosx=（其中θ是銳角，、），由x∈[0，]得，x+θ∈[θ，+θ]，所以cosθ≤sin（x+θ）≤1，即≤sin（x+θ）≤1，所以，則函數(shù)y=|sinx|+2|cosx|的值域是[1，]，故選：D．7.已知a＞0，b＞0，，則的最小值為（

）A．－3

B．

C．4

D．參考答案：B8.函數(shù)的圖象的一條對稱軸的方程是（）參考答案：A9.已知A,B,C,是的三個(gè)內(nèi)角，若的面積（

）A.

B.

C.3

D.參考答案：D10.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列滿足則的通項(xiàng)公式

參考答案：略12.函數(shù)f（x）=ln（x+2）﹣的零點(diǎn)所在區(qū)間是（n，n+1），則正整數(shù)n=

．參考答案：1【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】由于本題是填空題，求的又是正整數(shù)，所以可以用特殊值法來解．代入1即可．【解答】解：因?yàn)閚是正整數(shù)，所以可以從最小的1來判斷，當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=ln（1+2）﹣2=ln3﹣2＜0，而f（2）=ln（2+2）﹣1＞0，所以n=1符合要求．又因?yàn)閒（x）=ln（x+2）﹣，所以f'（x）=+=在定義域內(nèi)恒大于0，故原函數(shù)遞增，所以當(dāng)n＞2時(shí)，f（n）＞f（2）＞0，即從2向后無零點(diǎn)．故答案為1．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．在解題過程中用了填空題和選擇題的特有解法；特殊值法．13.

．參考答案：4先用對數(shù)的運(yùn)算法則將原始化簡為，然后用對數(shù)的換底公式將不同底化為同底數(shù)即可通過約分求出值，對對數(shù)式求值問題，常先用對數(shù)運(yùn)算進(jìn)行化簡，若底數(shù)不同用換底公式化為同底在運(yùn)算.原式===4.

14.已知點(diǎn)P為線段y=2x，x∈[2，4]上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C：（x﹣3）2+（y+2）2=1上一動點(diǎn)，則線段|PQ|的最小值為．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】用參數(shù)法，設(shè)出點(diǎn)P（x，2x），x∈[2，4]，求出點(diǎn)P到圓心C的距離|PC|，計(jì)算|PC|的最小值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P（x，2x），x∈[2，4]，則點(diǎn)P到圓C：（x﹣3）2+（y+2）2=1的圓心距離是：|PC|==，設(shè)f（x）=5x2+2x+13，x∈[2，4]，則f（x）是單調(diào)增函數(shù)，且f（x）≥f（2）=37，所以|PC|≥，所以線段|PQ|的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式與應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題目．15.在△ABC中，角的對邊分別為，向量，，若，則角

．參考答案：16.已知函數(shù)f（x）=是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的范圍是．參考答案：[，6）【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，確定a滿足的條件即可求得a的取值范圍．【解答】解：要使函數(shù)f（x）是增函數(shù)，則滿足，即≤a＜6，故答案為：[，6）．17.等差數(shù)列中，，，則

.參考答案：21三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.九連環(huán)是我國的一種古老的智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無窮．按照某種規(guī)則解開九連環(huán)，至少需要移動圓環(huán)a9次．我們不妨考慮n個(gè)圓環(huán)的情況，用an表示解下n個(gè)圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，用bn表示前（n﹣1）個(gè)圓環(huán)都已經(jīng)解下后，再解第n個(gè)圓環(huán)所需的次數(shù)，按照某種規(guī)則可得：a1=1，a2=2，an=an﹣2+1+bn﹣1，b1=1，bn=2bn﹣1+1．（1）求bn的表達(dá)式；（2）求a9的值，并求出an的表達(dá)式；（3）求證：．參考答案：解：（1）由bn=2bn﹣1+1．可得bn+1=2（bn﹣1+1），又b1+1=2，∴數(shù)列{bn+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，得．（2）由已知，∴+28+26+24==341．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+23+2==．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+22+1=．綜上所述：．（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．∴當(dāng)n∈N*時(shí)，=，∴…+=．略19.（本小題滿分10分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（－2，1），直線。

（1）若直線過點(diǎn)A，且與直線垂直，求直線的方程；

（2）若直線與直線平行，且在軸、軸上的截距之和為3，求直線的方程。

參考答案：解：（1）由題意，直線的斜率為2，所以直線的斜率為，（2分）

所以直線的方程為，即。（4分）

（2）由題意，直線的斜率為2，所以直線的斜率為2，

設(shè)直線的方程為。（6分）

令，得；令，得。（8分）

由題知，解得。

所以直線的方程為，即。（10分）20.已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值

（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cosβ=，求sinα．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】（1）利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩角差的余弦公式求得cos（α﹣β）的值．（2）由條件求得sin（α﹣β）、sinβ的值，再根據(jù)sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|===．∴cos（α﹣β）=．（2）由（1）得，，∴，∴sin（α﹣β）==，又∵cosβ=，∴sinβ=﹣=﹣．∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=+=．21.已知函數(shù)． （1）求f（x）的周期． （2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最大值、最小值及對應(yīng)的x值． 參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法． 【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的求值． 【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)公式化為f（x）=2sin（2x+）．即可求解周期． （2）根據(jù)范圍得出，利用單調(diào)性求解即可． 【解答】解：（1）∵函數(shù)． ∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+）． ∴f（x）的周期T==π 即T=π （2）∵ ∴， ∴﹣1≤sin（2x+）≤2 最大值2，2x=，此時(shí)， 最小值﹣1，2x=

此時(shí) 【點(diǎn)評】本題簡單的考察了三角函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性，周期性，熟練化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式即可． 22.已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若f（x）在區(qū)間（﹣∞，2]，上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）確定函數(shù)的對稱軸，從而可得函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）的定義域和值域均是[1，a]，建立方程，即可求實(shí)數(shù)a的值．（2）可以根據(jù)函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+5﹣a2．開口向上，對稱軸為x=a，可以推出a的范圍，利用函數(shù)的圖象求出[1，a+1]上的最值問題，對任意的x∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），∴f（x）開口向上，對稱軸為x=a＞1，…∴f（x）在[1，a]是單調(diào)減函數(shù)，…∴f（x）的最大值為f（1）=6﹣2a；f（x）的最小值為f（a）=5﹣a2…∴6﹣2a=a，且5﹣a2=1∴a=2…（2）函數(shù)f（x）=x2﹣2ax