廣東省廣州市第六十七中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省廣州市第六十七中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直線l：x﹣y+3=0，當(dāng)直線l被C截得弦長(zhǎng)為2時(shí)，則a等于(

)A． B．2﹣ C．﹣1 D．+1參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】由弦長(zhǎng)公式求得圓心（a，2）到直線l：x﹣y+3=0的距離等于1，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線l：x﹣y+3=0的距離也是1，解出待定系數(shù)a．【解答】解：圓心為（a，2），半徑等于2，由弦長(zhǎng)公式求得圓心（a，2）到直線l：x﹣y+3=0的距離為==1，再由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線l：x﹣y+3=0的距離

1=，∴a=﹣1．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用．2.設(shè)全集，，，則等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C3.如圖，將一個(gè)各面都凃了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)=（

）

B.

C.

D.參考答案：B略4.已知直線，平面，且，下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是①若，則

②若，則③若，則;

④若，則A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B5.已知隨機(jī)變量η＝8--ξ，若ξ～B(10,0.6)，則Eη，Dη分別是()

A．6和2.4

B．2和5.6

C．6和5.6

D．2和2.4參考答案：D6.已知函數(shù)有極大值和極小值，則的取值范圍是（）A．－1<<2

B．－3<<6C．<－3或>6

D．<－1或>2

參考答案：C略7.,若,則的值等于（

）A

B

C

D

參考答案：D略8.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為N≡n（bmodm），例如10≡2（bmod4）．下面程序框圖的算法源于我國(guó)古代聞名中外的《中國(guó)剩余定理》．執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A．4 B．8 C．16 D．32參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量i的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得n=11，i=1i=2，n=13不滿足條件“n=2（mod3）“，i=4，n=17，滿足條件“n=2（mod3）“，不滿足條件“n=1（mod5）“，i=8，n=25，不滿足條件“n=2（mod3）“，i=16，n=41，滿足條件“n=2（mod3）“，滿足條件“n=1（mod5）”，退出循環(huán)，輸出i的值為16．故選：C．10.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則z=3x﹣y的最大值為（）A．1 B．﹣ C．﹣2 D．不存在參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】首先畫(huà)出平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=3x﹣y變形為y=3x﹣z，此直線在y軸截距最小時(shí)，z最大，由區(qū)域可知，直線經(jīng)過(guò)圖中A（0，2）時(shí)，z取最大值為﹣2；故選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓x2+y2=4和圓外一點(diǎn)P（﹣2，﹣3），則過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程為．參考答案：x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0【考點(diǎn)】圓的切線方程．【分析】圓x2+y2=4的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，當(dāng)過(guò)P的切線方程斜率不存在時(shí)，x=﹣2為圓的切線；當(dāng)過(guò)P的切線方程斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為kx﹣y+2k﹣3=0，圓心到切線的距離d==r=2，由此能求出切線方程．【解答】解：由圓x2+y2=4，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，當(dāng)過(guò)P的切線方程斜率不存在時(shí)，x=﹣2為圓的切線；當(dāng)過(guò)P的切線方程斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，p（﹣2，﹣3），∴切線方程為y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0，∵圓心到切線的距離d==r=2，解得：k=，此時(shí)切線方程為5x﹣12y﹣26=0，綜上，切線方程為x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0．故答案為：x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0．12.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則離心率_______。參考答案：_

13.已知球的體積為36π，球的表面積是

．參考答案：36π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】通過(guò)球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積．【解答】解：因?yàn)榍虻捏w積為36π，所以=36π，球的半徑為：r=3，所以球的表面積為：4π×32=36π．故答案為：36π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積與體積的求法，考查計(jì)算能力．14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，有四個(gè)定點(diǎn)A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，則|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值為_(kāi)________________.參考答案：

解析：設(shè)AC與BD交于F點(diǎn)，則|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與F點(diǎn)重合時(shí)，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值。15.數(shù)列1,2,3,4,5,…,n,的前n項(xiàng)之和等于

．參考答案：

16.若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn=n2－2n+3，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為*****

參考答案：略17.定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=ax+b（a，b為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱(chēng)g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．給出如下命題：①函數(shù)g（x）=﹣2是函數(shù)f（x）=的一個(gè)承托函數(shù)；②函數(shù)g（x）=x﹣1是函數(shù)f（x）=x+sinx的一個(gè)承托函數(shù)；③若函數(shù)g（x）=ax是函數(shù)f（x）=ex的一個(gè)承托函數(shù)，則a的取值范圍是[0，e]；④值域是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；其中，所有正確命題的序號(hào)是．參考答案：②③【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，由f（x）=知，x＞0時(shí)，f（x）=lnx∈（﹣∞，+∞），不滿足f（x）≥g（x）=﹣2對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，可判斷①；②，令t（x）=f（x）﹣g（x），易證t（x）=x+sinx﹣（x﹣1）=sinx+1≥0恒成立，可判斷②；③，令h（x）=ex﹣ax，通過(guò)對(duì)a=0，a≠0的討論，利用h′（x）=ex﹣a，易求x=lna時(shí)，函數(shù)取得最小值a﹣alna，依題意即可求得a的取值范圍，可判斷③；④，舉例說(shuō)明，f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，則f（x）﹣g（x）=1≥0恒成立，可判斷④．【解答】解：①，∵x＞0時(shí)，f（x）=lnx∈（﹣∞，+∞），∴不能使得f（x）≥g（x）=﹣2對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，故①錯(cuò)誤；②，令t（x）=f（x）﹣g（x），則t（x）=x+sinx﹣（x﹣1）=sinx+1≥0恒成立，故函數(shù)g（x）=x﹣1是函數(shù)f（x）=x+sinx的一個(gè)承托函數(shù)，②正確；③，令h（x）=ex﹣ax，則h′（x）=ex﹣a，由題意，a=0時(shí)，結(jié)論成立；a≠0時(shí)，令h′（x）=ex﹣a=0，則x=lna，∴函數(shù)h（x）在（﹣∞，lna）上為減函數(shù)，在（lna，+∞）上為增函數(shù)，∴x=lna時(shí)，函數(shù)取得最小值a﹣alna；∵g（x）=ax是函數(shù)f（x）=ex的一個(gè)承托函數(shù)，∴a﹣alna≥0，∴l(xiāng)na≤1，∴0＜a≤e，綜上，0≤a≤e，故③正確；④，不妨令f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，則f（x）﹣g（x）=1≥0恒成立，故g（x）=2x﹣1是f（x）=2x的一個(gè)承托函數(shù)，④錯(cuò)誤；綜上所述，所有正確命題的序號(hào)是②③．故答案為：②③．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）(1)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，用分析法求證：(2)先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明．參考答案：(1)證明：要證，只需證b2－ac<3a2.∵a＋b＋c＝0，∴只需證b2＋a(a＋b)<3a2，只需證2a2－ab－b2>0，只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－b)(a－c)>0.∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0，∴(a－b)(a－c)>0顯然成立．故原不等式成立17.

19.（本小題滿分12分）某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒(méi)有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的，已知小明每次投籃投中的概率都是。（1）求小明在投籃過(guò)程中直到第三次才投中的概率；（2）求小明在4次投籃后的總得分的分布列和期望。參考答案：（1）

…6分（2）E()=

…12分02468

p

20.函數(shù)（1）時(shí)，求最小值；（2）若在是單調(diào)減函數(shù)，求取值范圍．參考答案：（1）時(shí)時(shí)時(shí)

單減，在單增時(shí)有最小值1

……………6分（2）在為減函數(shù)，則恒成立，最小值

……9分令則

……………12分18．（Ⅰ）證明：連結(jié)交于，連結(jié)，

略21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓M：的左頂點(diǎn)為A，與x軸平行的直線與橢圓M交于B，C兩點(diǎn)，，.已知橢圓M離心率，且點(diǎn)在橢圓M上.（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明點(diǎn)D在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線方程；（3）求△BCD面積的最大值.參考答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，由題，可得：，即①，即②聯(lián)立①②，化簡(jiǎn)整理得，，故點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).（3）由（2）可得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.22.從兩塊玉米地里各抽取10株玉米苗，分別測(cè)得它們的株高如下（單位：cm）： 甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答下面的問(wèn)題：并用數(shù)據(jù)說(shuō)明下列問(wèn)題． （1）哪種玉米苗長(zhǎng)得高？ （2）哪種玉米苗長(zhǎng)得齊？ 參考答案：【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)． 【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】（1）求出甲、乙的平均數(shù)，比較即可得出結(jié)論． （2）求出甲、乙的方差，比較即可得出結(jié)論． 【解答】解：看哪種玉米苗長(zhǎng)得高，只要比較甲乙兩種玉米苗的平均高度即可； 要比較哪種玉米