高中數(shù)學必修二第一章空間幾何體知識點與常考題(附解析)

第55頁（共55頁）必修二第一章空間幾何體知識點與常考題(附解析)知識點：1、柱、錐、臺、球的結構特征（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）（3）柱體、錐體、臺體的體積公式（4）球體的表面積和體積公式：V=；S=?？碱}：一．選擇題（共32小題）1．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．52．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．13．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．4．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π5．一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的體積是（）A．1 B．2 C．3 D．46．長方體的一個頂點上三條棱長為3、4、5，且它的八個頂點都在一個球面上，這個球的表面積是（）A．20π B．25π C．50π D．200π7．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm38．一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為（）A．+π B．+π C．+π D．1+π9．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A．8cm3 B．12cm3 C． D．10．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．20π B．24π C．28π D．32π11．一個幾何體的三視圖如圖所示，已知這個幾何體的體積為，則h=（）A． B． C． D．12．一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A．1+ B．2+ C．1+2 D．213．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．60 B．30 C．20 D．1014．一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為m），則該棱錐的全面積是（單位：m2）．（）A． B． C． D．15．已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）A． B．4π C．2π D．16．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+317．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A．1 B． C． D．218．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．1519．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C．8 D．420．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為（）A．80 B．40 C． D．21．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．22．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側面的面積為（）A． B． C． D．323．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）A．3 B．2 C．2 D．224．三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．5π B． C．20π D．4π25．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A．90π B．63π C．42π D．36π26．已知正四棱錐S﹣ABCD中，SA=2，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為（）A．1 B． C．2 D．327．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．28．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．29．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．30．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的x的值是（）A．2 B． C． D．331．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a，則三棱錐D﹣ABC的體積為（）A． B． C． D．32．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）A． B． C．2π D．4π二．填空題（共10小題）33．已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于．34．設某幾何體的三視圖如圖（尺寸的長度單位為m）則該幾何體的體積為m3．35．設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側面積相等，且=，則的值是．36．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為．37．如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設BM=x，x∈[0，1]，給出以下五個命題：①當且僅當x=0時，四邊形MENF的周長最大；②當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最小；③多面體ABCD﹣MENF的體積為④四棱錐C′﹣MENF的體積V=V（x）為常函數(shù)；⑤直線MN與直線CC′的夾角正弦值的范圍是[，1]以上命題中正確的有（天上所有正確命題的序號）38．如圖，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F﹣ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的體積為V2，則V1：V2=．39．如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是．40．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積等于cm3．41．一個四棱錐的三視圖如圖所示，其左視圖是等邊三角形，該四棱錐的體積V=．42．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）三．解答題（共8小題）43．現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P﹣A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？44．（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪栟成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明．45．如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱．（1）用x表示此圓柱的側面積表達式；（2）當此圓柱的側面積最大時，求此圓柱的體積．46．如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內有20cm深的溶液．現(xiàn)將此容器傾斜一定角度α（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，角α的最大值是多少；（2）現(xiàn)需要倒出不少于3000cm3的溶液，當α=60°時，能實現(xiàn)要求嗎？請說明理由．47．如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．48．如圖，已知某幾何體的三視圖如下（單位：cm）．（1）畫出這個幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）；（2）求這個幾何體的表面積及體積．49．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形內挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C、M，與BC交于點N），將△ABC繞直線BC旋轉一周得到一個旋轉體．（1）求該幾何體中間一個空心球的表面積的大小；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積．50．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．（Ⅰ）求此幾何體的表面積；（Ⅱ）在如圖的正視圖中，如果點A為所在線段中點，點B為頂點，求在幾何體側面上從點A到點B的最短路徑的長．

必修二第一章空間幾何體知識點與?？碱}(附解析)參考答案與試題解析一．選擇題（共32小題）1．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直線與平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故該三棱錐的表面積是2，故選：C．2．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．1【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，棱錐的底面面積S=×1×1=，高為1，故棱錐的體積V==，故選：A．3．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．【解答】解：設正方體的棱長為1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，∴正方體切掉部分的體積為×1×1×1=，∴剩余部分體積為1﹣=，∴截去部分體積與剩余部分體積的比值為．故選：D．4．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π【解答】解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，則球O的表面積為4πR2=144π，故選：C．5．一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的體積是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由題設及圖知，此幾何體為一個四棱錐，其底面為一個對角線長為2的正方形，故其底面積為=2由三視圖知其中一個側棱為棱錐的高，其相對的側棱與高及底面正方形的對角線組成一個直角三角形由于此側棱長為，對角線長為2，故棱錐的高為=3此棱錐的體積為=2故選：B．6．長方體的一個頂點上三條棱長為3、4、5，且它的八個頂點都在一個球面上，這個球的表面積是（）A．20π B．25π C．50π D．200π【解答】解：設球的半徑為R，由題意，球的直徑即為長方體的體對角線，則（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故選：C．7．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm3【解答】解：由三視圖知幾何體為三棱柱削去一個三棱錐如圖：棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長分別為3、4，∴幾何體的體積V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故選：B．8．一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為（）A．+π B．+π C．+π D．1+π【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個半球，下部是一個四棱錐，半球的直徑為棱錐的底面對角線，由棱錐的底底面棱長為1，可得2R=．故R=，故半球的體積為：=π，棱錐的底面面積為：1，高為1，故棱錐的體積V=，故組合體的體積為：+π，故選：C．9．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A．8cm3 B．12cm3 C． D．【解答】解：由三視圖可知幾何體是下部為棱長為2的正方體，上部是底面為邊長2的正方形高為2的正四棱錐，所求幾何體的體積為：23+×2×2×2=．故選：C．10．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．20π B．24π C．28π D．32π【解答】解：由三視圖知，空間幾何體是一個組合體，上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，∴在軸截面中圓錐的母線長是=4，∴圓錐的側面積是π×2×4=8π，下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，∴圓柱表現(xiàn)出來的表面積是π×22+2π×2×4=20π∴空間組合體的表面積是28π，故選：C．11．一個幾何體的三視圖如圖所示，已知這個幾何體的體積為，則h=（）A． B． C． D．【解答】解：三視圖復原的幾何體是底面為邊長5，6的矩形，一條側棱垂直底面高為h，所以四棱錐的體積為：，所以h=．故選：B．12．一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A．1+ B．2+ C．1+2 D．2【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面為等腰直角三角形的三棱錐，如圖所示；∴該幾何體的表面積為S表面積=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故選：B．13．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，該三棱錐的體積==10．故選：D．14．一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為m），則該棱錐的全面積是（單位：m2）．（）A． B． C． D．【解答】解：由三視圖可以看出，此幾何體是一個側面與底面垂直且底面與垂直于底面的側面全等的三棱錐由圖中數(shù)據(jù)知此兩面皆為等腰三角形，高為2，底面邊長為2，故它們的面積皆為=2，由頂點在底面的投影向另兩側面的底邊作高，由等面積法可以算出，此二高線的長度相等，為，將垂足與頂點連接起來即得此兩側面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高為2，同理可求出側面底邊長為，可求得此兩側面的面積皆為=，故此三棱錐的全面積為2+2++=，故選：A．15．已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）A． B．4π C．2π D．【解答】解：∵正四棱柱的底面邊長為1，側棱長為，∴正四棱柱體對角線的長為=2又∵正四棱柱的頂點在同一球面上，∴正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，得球半徑R=1根據(jù)球的體積公式，得此球的體積為V=πR3=π．故選：D．16．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由幾何的三視圖可知，該幾何體是圓錐的一半和一個三棱錐組成，圓錐的底面圓的半徑為1，三棱錐的底面是底邊長2的等腰直角三角形，圓錐的高和棱錐的高相等均為3，故該幾何體的體積為××π×12×3+××××3=+1，故選：A．17．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A．1 B． C． D．2【解答】解：由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側棱與底面垂直，底面為正方形如圖：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC═該幾何體最長棱的棱長為：故選：C．18．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．15【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷該幾何體是底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高為1，∴側面為（4）×2=8，底面為（2+1）×1=，故幾何體的表面積為8=11，故選：B．19．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C．8 D．4【解答】解：由已知中的三視圖可得該幾何體的直觀圖如下圖所示：該幾何體是一個四棱錐A﹣CDEF和一個三棱錐組F﹣ABC成的組合體，四棱錐A﹣CDEF的底面面積為4，高為4，故體積為：，三棱錐組F﹣ABC的底面面積為2，高為2，故體積為：，故這個幾何體的體積V=+=，故選：A．20．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為（）A．80 B．40 C． D．【解答】解：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．從圖中可知，三棱錐的底是兩直角邊分別為4和5的直角三角形，高為4，體積為V=．故選：D．21．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．【解答】解：由三視圖知幾何體的直觀圖是半個圓錐，又∵正視圖是腰長為2的等腰三角形∴r=1，h=∴故選：D．22．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側面的面積為（）A． B． C． D．3【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則S△AED==，S△ABC=S△ABE==，S△ACD==，故選：B．23．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）A．3 B．2 C．2 D．2【解答】解：由三視圖可得直觀圖，再四棱錐P﹣ABCD中，最長的棱為PA，即PA===2，故選：B．24．三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．5π B． C．20π D．4π【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱錐P﹣ABC的外接球直徑；∵Rt△PBA中，AB=，PA=∴PB=，可得外接球半徑R=PB=∴外接球的表面積S=4πR2=5π故選：A．25．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A．90π B．63π C．42π D．36π【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半，V=π?32×10﹣?π?32×6=63π，故選：B．26．已知正四棱錐S﹣ABCD中，SA=2，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為（）A．1 B． C．2 D．3【解答】解：設底面邊長為a，則高h==，所以體積V=a2h=，設y=12a4﹣a6，則y′=48a3﹣3a5，當y取最值時，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4時，當a=4時，體積最大，此時h==2，故選：C．27．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【解答】解：由三視圖可知，幾何體是組合體，左側是三棱錐，底面是等腰三角形，腰長為，高為1，一個側面與底面垂直，并且垂直底面三角形的斜邊，右側是半圓柱，底面半徑為1，高為2，所求幾何體的體積為：=．故選：A．28．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可知幾何體的形狀是放倒的圓柱，底面半徑為1，高為2，左側與一個底面半徑為1，高為1的半圓錐組成的組合體，幾何體的體積為：=．故選：B．29．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．【解答】解：由三視圖知幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個平行四邊形，有兩個等腰直角三角形，直角邊長為1組成的平行四邊形，四棱錐的一條側棱與底面垂直，且側棱長為1，∴四棱錐的體積是．故選：B．30．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的x的值是（）A．2 B． C． D．3【解答】解：由三視圖可知：原幾何體是一個四棱錐，其中底面是一個上、下、高分別為1、2、2的直角梯形，一條長為x的側棱垂直于底面．則體積為=，解得x=．故選：C．31．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a，則三棱錐D﹣ABC的體積為（）A． B． C． D．【解答】解：O是AC中點，連接DO，BO，如圖，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=BO==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱錐D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱錐D﹣ABC的體積：，故選：D．32．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）A． B． C．2π D．4π【解答】解：如圖為等腰直角三角形旋轉而成的旋轉體．V=2×S?h=2×πR2?h=2×π×（）2×=．故選：B．二．填空題（共10小題）33．已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于16π．【解答】解：∵圓M的面積為3π，∴圓M的半徑r=，設球的半徑為R，由圖可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S球=4πR2=16π．故答案為：16π34．設某幾何體的三視圖如圖（尺寸的長度單位為m）則該幾何體的體積為4m3．【解答】解：這是一個三棱錐，高為2，底面三角形一邊為4，這邊上的高為3，體積等于×2×4×3=4故答案為：435．設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側面積相等，且=，則的值是．【解答】解：設兩個圓柱的底面半徑分別為R，r；高分別為H，h；∵=，∴，它們的側面積相等，∴，∴===．故答案為：．36．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為2．【解答】解：由主視圖知CD⊥平面ABC，設AC中點為E，則BE⊥AC，且AE=CE=1；由主視圖知CD=2，由左視圖知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．則三棱錐中最長棱的長為2．故答案為：2．37．如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設BM=x，x∈[0，1]，給出以下五個命題：①當且僅當x=0時，四邊形MENF的周長最大；②當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最小；③多面體ABCD﹣MENF的體積為④四棱錐C′﹣MENF的體積V=V（x）為常函數(shù)；⑤直線MN與直線CC′的夾角正弦值的范圍是[，1]以上命題中正確的有②③④⑤（天上所有正確命題的序號）【解答】解：①因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當x∈[0，]時，EM的長度由大變小．當x∈[，1]時，EM的長度由小變大．所以當x=0或x=1時周長都為最大值．所以①錯誤．②連結MN，因為EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當M為棱的中點時，即x=時，此時MN長度最小，對應四邊形MENF的面積最?。寓谡_．③因為E，F(xiàn)是固定的中點，所以當M在運動時，AM=D'N，DN=B'M，所以被截面MENF平分成的兩個多面體是完全相同的，所以它們的體積也是相同的．所以③正確．④連結C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C'EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．⑤當x=0或x=1時，直線MN與直線CC′的夾角最小，正弦值為=，x=時，直線MN與直線CC′的夾角最大，正弦值為1，所以⑤正確．故答案為：②③④⑤．38．如圖，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F﹣ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的體積為V2，則V1：V2=1：24．【解答】解：因為D，E，分別是AB，AC的中點，所以S△ADE：S△ABC=1：4，又F是AA1的中點，所以A1到底面的距離H為F到底面距離h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱錐F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案為1：24．39．如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是．【解答】解：設球的半徑為R，則球的體積為：R3，圓柱的體積為：πR2?2R=2πR3．則==．故答案為：．40．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積等于24cm3．【解答】解：幾何體為三棱柱去掉一個三棱錐后的幾何體，底面是直角三角形，直角邊分別為3，4，側面的高為5，被截取的棱錐的高為3．如圖：V=V棱柱﹣V棱錐==24（cm3）故答案為：24．41．一個四棱錐的三視圖如圖所示，其左視圖是等邊三角形，該四棱錐的體積V=．【解答】解：由已知中的三視圖可知：該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，其底面面積S=×（1+2）×2=3，又∵左視圖是等邊三角形，∴高h=，故棱錐的體積V==，故答案為：42．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是3寸．（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）【解答】解：如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．因為積水深9寸，所以水面半徑為寸．則盆中水的體積為（立方寸）．所以則平地降雨量等于（寸）．故答案為3．三．解答題（共8小題）43．現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P﹣A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴倉庫的容積V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱錐的側棱長為6m，設PO1=xm，則O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=?m，則倉庫的容積V=×（?）2?x+（?）2?4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），當0＜x＜2時，V′＞0，V（x）單調遞增；當2＜x＜6時，V′＜0，V（x）單調遞減；故當x=2時，V（x）取最大值；即當PO1=2m時，倉庫的容積最大．44．（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪栟成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明．【解答】解：（1）如圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐．如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底．（2）依上面剪拼方法，有V柱＞V錐．推理如下：設給出正三角形紙片的邊長為2，那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的正三角形，其面積為．現(xiàn)在計算它們的高：，．所以V柱＞V錐．（3）如圖，分別連接三角形的內心與各頂點，得三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形．以新作的三角形為直棱柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．45．如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱．（1）用x表示此圓柱的側面積表達式；（2）當此圓柱的側面積最大時，求此圓柱的體積．【解答】解：（1）設圓柱的半徑為r，則，∴r=2﹣x，0＜x＜2．∴S圓柱側=2πrx=2π（2﹣x）x=﹣2πx2+4πx．（0＜x＜2）．（2），∴當x=1時，S圓柱側取最大值2π，此時，r=1，所以．46．如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內有20cm深的溶液．現(xiàn)將此容器傾斜一定角度α（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，角α的最大值是多少；（2）現(xiàn)需要倒出不少于3000cm3的溶液，當α=60°時，能實現(xiàn)要求嗎？請說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)題意，畫出圖形，如圖a所示，過C作CF∥BP，交AD所在直線于F，在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，且點F在線段AD上，AF=30﹣20tanα，此時容器內能容納的溶液量為：S梯形ABCF?20=?20=（30﹣20tanα+30）?20?10=2000（6﹣2tanα）（cm3）；而容器中原有溶液量為20×20×20=8000（cm3），令2000（6﹣2tanα）≥8000，解得tanα≤1，所以α≤45°，即α的最大角為45°時，溶液不會溢出；（2）如圖b所示，當α=60°時，過C作CF∥BP，交AB所在直線于F，在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10cm，∴點F在線段AB上，故溶液縱截面為Rt△CBF，∵S△ABF=BC?BF=150cm2，容器內溶液量為150×20=3000cm3，倒出的溶液量為（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，∴不能實現(xiàn)要求．47．如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底