高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 課時(shí)作業(yè)(二)

課時(shí)作業(yè)(二)弧度制A組基礎(chǔ)鞏固\a\vs4\al(2023·廣東揭陽(yáng)一中高一期中)240°化成弧度制是()\f(π,3)\f(2π,3)\f(4π,3)\f(5π,3)解析：利用公式1°＝eq\f(π,180)弧度，可得240°＝eq\f(4π,3)，故選C.答案：C\a\vs4\al(2023·江西南昌二中高一期中)將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是()\f(π,3)B．－eq\f(π,3)\f(π,6)D．－eq\f(π,6)解析：將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為60°，對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)eq\f(π,3)，故選B.答案：B\a\vs4\al(2023·山東濟(jì)寧梁山一中高二期中)在單位圓中，面積為1的扇形所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析：根據(jù)扇形面積公式S＝eq\f(1,2)αr2，可得α＝2，故選B.答案：B\a\vs4\al(2023·遼寧錦州市高一期末)半徑為1m的圓中，60°的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)度為()\f(π,3)\f(π,6)C．60D．1解析：因?yàn)?0°＝eq\f(π,3)，又根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式l＝θr＝eq\f(π,3)×1＝eq\f(π,3)，故選A.答案：A\a\vs4\al(2023·河北衡水中學(xué)高一調(diào)研)已知扇形面積為eq\f(3π,8)，半徑是1，則扇形的圓心角是()\f(3π,4)\f(3π,8)\f(3π,16)\f(3π,2)解析：設(shè)扇形的圓心角為α，則由題意得eq\f(1,2)α×12＝eq\f(3π,8)，故α＝eq\f(3π,4)，故選A.答案：A\a\vs4\al(2023·重慶市一中高一檢測(cè))半徑為2，圓心角為eq\f(π,3)的扇形的面積為()\f(4π,3)B．π\(zhòng)f(2π,3)\f(π,3)解析：根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式l＝α·r＝eq\f(2π,3)，根據(jù)扇形面積公式S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)·eq\f(2π,3)·2＝eq\f(2π,3)，故選C.答案：C\a\vs4\al(2023·陜西延安中學(xué)高一期中)扇形的周長(zhǎng)是16，圓心角是2弧度，則扇形的面積是()A．16πB．32πC．16D．32解析：設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l，半徑為r，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝16,\f(l,r)＝2))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝8,r＝4))，扇形面積等于s＝eq\f(1,2)l·r＝16，故選C.答案：C\a\vs4\al(2023·山東淄博六中高一期中)已知扇形的周長(zhǎng)為6cm，面積為2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為()A．1B．4C．1或4D．2或4解析：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6,\f(1,2)lr＝2))解得r＝1，l＝4或者r＝2，l＝2，所以扇形的圓心角的弧度數(shù)是：α＝eq\f(4,1)或α＝eq\f(2,2)＝1，故選C.答案：C\a\vs4\al(2023·四川遂寧市高一期末)已知扇形的半徑為12，弧長(zhǎng)為18，則扇形圓心角為_(kāi)_________．解析：由題意，知扇形的半徑r＝12，弧長(zhǎng)l＝18，l＝α·r，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(18,12)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)10．求解下列各題：(1)已知扇形的周長(zhǎng)為20cm，面積為9cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)；(2)若某扇形的圓心角為75°，半徑為15cm，求扇形的面積．解析：(1)設(shè)扇形的半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，圓心角為θ，∵l＋2r＝20，∴l(xiāng)＝20－2r.∵eq\f(1,2)lr＝9，即eq\f(1,2)(20－2r)r＝9，∴r2－10r＋9＝0，解得r＝1或r＝9.而r＝1時(shí)，l＝18，則θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(18,1)＝18>2π(舍)．∴r＝9，則l＝2，θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,9)rad，即扇形圓心角的弧度數(shù)θ＝eq\f(2,9)rad.(2)圓心角為75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，扇形半徑為15cm.∴扇形面積S＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,12)×152＝eq\f(375π,8)(cm2)．B組能力提升\a\vs4\al(2023·浙江易學(xué)大聯(lián)考期中統(tǒng)考)已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R，若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C＞0)，該扇形的最大面積為()\f(C,4)\f(C2,4)\f(C2,16)\f(C2,2)解析：設(shè)扇形的半徑為R，則扇形的弧長(zhǎng)為C－2R，則S＝eq\f(1,2)(C－2R)R＝－R2＋eq\f(C,2)R＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(C,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,4)))2，當(dāng)R＝eq\f(C,4)，即α＝eq\f(C－2R,R)＝2時(shí)，扇形的面積最大，最大面積為eq\f(C2,16)，故選C.答案：C12．把－eq\f(11π,4)表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是()A．－eq\f(3π,4)B．－eq\f(π,4)\f(π,4)\f(3π,4)解析：∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，∴－eq\f(11π,4)與－eq\f(3π,4)是終邊相同的角，且此時(shí)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝eq\f(3π,4)是最小的．答案：A13．用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(包括邊界)并判斷2012°是不是這個(gè)集合的元素．解析：∵150°＝eq\f(5π,6).∴終邊在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為S＝{β|eq\f(5π,6)＋2kπ≤β≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}．∵2012°＝212°＋5×360°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(53π,45)＋10π))rad，又eq\f(5π,6)＜eq\f(53π,45)＜eq\f(3π,2).∴2012°＝eq\f(503π,45)∈S.14．2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，試求這個(gè)圓心角所夾扇形的面積S.解析：如圖，過(guò)圓心O作OM⊥AB于M，則OM平分弦AB.∴∠AOM＝1弧度，AM＝1.∴扇形半徑R＝eq\f(1,sin1).于是l＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1)，S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)·eq\f(2,sin1)·eq\f(1,sin1)＝eq\f(1,sin21).\a\vs4\al(附加題·選做)如圖，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A(4,0)出發(fā)，沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)eq\f(π,3)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)eq\f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間及P，Q點(diǎn)各自走過(guò)的弧長(zhǎng)．解析：設(shè)P，Q第一次相遇時(shí)所用