高中數(shù)學北師大版本冊總復習總復習 2023版第2章4二次函數(shù)的圖像

§4二次函數(shù)性質(zhì)的再研究4．1二次函數(shù)的圖像1．理解y＝x2與y＝ax2(a≠0)，y＝ax2與y＝(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的圖像之間的關(guān)系．(重點)2．掌握a，h，k對二次函數(shù)圖像的影響．(難點、易混點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像間的關(guān)系閱讀教材P41～P42第2自然段結(jié)束有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題．二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像可由y＝x2的圖像各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到．其中a決定了圖像的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小．下列二次函數(shù)圖像開口，按從小到大的順序排列為________．①f(x)＝eq\f(1,4)x2；②f(x)＝eq\f(1,2)x2；③f(x)＝－eq\f(1,3)x2；④f(x)＝－3x2.【解析】y＝ax2(a≠0)的圖像在同一直角坐標系中|a|越大，開口就越?。敬鸢浮竣堍冖邰俳滩恼?函數(shù)y＝ax2(a≠0)與函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的圖像閱讀教材P42第3自然段～P44的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題．1．y＝ax2eq\o(→,\s\up18(h>0向左平移h個單位),\s\do13(h<0，向右平移|h|個單位))y＝a(x＋h)2eq\o(→,\s\up18(k>0，向上平移k個單位),\s\do13(k<0，向下平移|k|個單位))y＝a(x＋h)2＋k.2．將二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通過配方化為y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后通過函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖像左右、上下平移得到函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像．3．在二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖像的開口大小及方向．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)二次函數(shù)y＝3x2的開口比y＝x2的開口要大．()(2)要得到y(tǒng)＝－(x－2)2的圖像，需要將y＝－x2向左平移1個單位．()(3)要得到y(tǒng)＝2(x＋1)2的圖像，需將y＝2(x＋1)2－1的圖像向上平移1個單位．()【答案】(1)×(2)×(3)√[小組合作型]二次函數(shù)圖像間的變換在同一坐標系中作出下列函數(shù)的圖像．(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的圖像變換成y＝2x2－4x的圖像.【導學號：04100027】【精彩點撥】對每個函數(shù)列表、描點、連線作出相應的圖像，然后利用圖像分析y＝x2與y＝2x2－4x的關(guān)系．【嘗試解答】列表：x－3－2－10123y＝x29410149y＝x2－272－1－2－127y＝2x2－4x301660－206描點、連線即得相應函數(shù)的圖像，如圖所示．由圖像可知由y＝x2到y(tǒng)＝2x2－4x的變化過程如下．法一：先把y＝x2的圖像向右平移1個單位長度得到y(tǒng)＝(x－1)2的圖像，然后把y＝(x－1)2的圖像橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)＝2(x－1)2的圖像，最后把y＝2(x－1)2的圖像向下平移2個單位長度便可得到y(tǒng)＝2x2－4x的圖像．法二：先把y＝x2的圖像向下平移1個單位長度得到y(tǒng)＝x2－1的圖像，然后再把y＝x2－1的圖像向右平移1個單位長度得到y(tǒng)＝(x－1)2－1的圖像，最后把y＝(x－1)2－1的圖像橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，便可得到y(tǒng)＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的圖像．任意拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可轉(zhuǎn)化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的圖像經(jīng)過適當?shù)钠揭频玫?，具體平移方法如圖所示．即上述平移規(guī)律“h值，正、負，左、右移”，亦即“加時左移，減時右移”；“k值正、負，上、下移”，即“加時上移，減時下移”．[再練一題]1．畫二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像，并說明它是如何經(jīng)過y＝eq\f(1,2)x2平移得到的．【解】∵y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21＝eq\f(1,2)(x－6)2＋3，∴拋物線的頂點坐標為(6,3)，對稱軸為x＝6.令x＝0，求得y＝21，它與y軸交點為(0,21)，此交點距頂點太遠，畫圖時利用不上．令y＝0，eq\f(1,2)x2－6x＋21＝0，∵Δ＜0，方程無實數(shù)解，∴拋物線與x軸沒有交點．因此，畫此函數(shù)圖像，應利用函數(shù)的對稱性列表，在頂點的兩側(cè)適當?shù)剡x取兩對對稱點，然后描點、畫圖即可．(1)利用二次函數(shù)的對稱性列表：x45678y535(2)描點、連線即得函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像，如圖所示．把y＝eq\f(1,2)x2的圖像向右平移6個單位長度，向上平移3個單位長度，就可得到y(tǒng)＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的圖像．求二次函數(shù)的解析式根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)y＝f(x)的解析式．(1)圖像過點(2,0)，(4,0)，(0,3)；(2)圖像頂點為(1,2)并且過點(0,4)；(3)過點(1,1)，(0,2)，(3,5)．【精彩點撥】【嘗試解答】(1)設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a(x－2)·(x－4)．整理得y＝ax2－6ax＋8a∴8a＝3，∴a＝eq\f(3,8).∴解析式為y＝eq\f(3,8)(x－2)(x－4)．(2)設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a(x－1)2＋2.整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2，∴解析式為y＝2(x－1)2＋2.(3)設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c，由題設(shè)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,c＝2，,9a＋3b＋c＝5))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝2，))∴解析式為y＝x2－2x＋2.求二次函數(shù)解析式的方法，應根據(jù)已知條件的特點，選用解析式的形式，利用待定系數(shù)法求解.,1若已知條件是圖像上的三個點，則設(shè)所求二次函數(shù)為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋ca，b，c為常數(shù)，a≠0的形式.,2若已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程與最大小值，則設(shè)所求二次函數(shù)為頂點式y(tǒng)＝ax－h(huán)2＋k其中頂點為h，k，a為常數(shù)，a≠0.,3若已知二次函數(shù)圖像與x軸的兩個交點的坐標為x1，0，x2，0，則設(shè)所求二次函數(shù)為兩根式y(tǒng)＝ax－x1x－x2a為常數(shù)，且a≠0.[再練一題]2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應值如下表：x－3－2－10123y60－4－6－6－40求該函數(shù)的解析式．【解】法一：由表可知該函數(shù)與x軸有兩個交點(－2,0)，(3,0)，故該函數(shù)可設(shè)為y＝a(x＋2)(x－3)，又函數(shù)過點(0，－6)，故－6a＝－6，a＝1，所以該函數(shù)的解析式為y＝(x＋2)(x－3)＝x2－x法二：因為該函數(shù)過點(0，－6)，故y＝ax2＋bx－6，又過點(－1，－4)，(1，－6)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－6＝－4，①,a＋b－6＝－6，②))由①②可得a＝1，b＝－1，故該函數(shù)的解析式為y＝x2－x－6.[探究共研型]二次函數(shù)圖像的應用探究1你能對二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方，并說出它的開口方向、頂點坐標、對稱軸、單調(diào)區(qū)間、最大值和最小值嗎？【提示】y＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq\f(4ac－b2,4a).當a＞0時，函數(shù)的圖像開口向上，頂點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)；f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減少的，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增加的；當x＝－eq\f(b,2a)時，函數(shù)取得最小值eq\f(4ac－b2,4a)，無最大值．當a＜0時，函數(shù)的圖像開口向下，頂點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)；f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增加的，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減少的；當x＝－eq\f(b,2a)時，函數(shù)取得最大值eq\f(4ac－b2,4a)，無最小值．探究2將函數(shù)y＝－3x2－6x＋1配方，確定其對稱軸、頂點坐標，求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值，并畫出它的圖像．【提示】y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4.由于x2的系數(shù)是負數(shù)，所以函數(shù)圖像開口向下；頂點坐標為(－1,4)；對稱軸為直線x＋1＝0(或x＝－1)；函數(shù)在區(qū)間(－∞，－1]上是增加的，在區(qū)間[－1，＋∞)上是減少的；函數(shù)有最大值，沒有最小值，函數(shù)的最大值是4.采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4)，與x軸的交點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)－3,3)，0))和Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3)＋3,3)，0))，與y軸的交點D(0,1)，再任取點E(－2,1)，過這5個點畫出圖像，如圖．已知二次函數(shù)y＝2x2－4x－6.(1)求此函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸、頂點坐標，并畫出函數(shù)圖像；(2)求此函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點坐標，并求出以此三點為頂點的三角形面積；(3)x為何值時，y＞0，y＝0，y＜0?【精彩點撥】(1)已知二次函數(shù)，通過配方可求得對稱軸及頂點坐標，再由函數(shù)的對稱性列表描點可畫出圖像；(2)函數(shù)圖像與x軸、y軸相交的條件分別是y＝0，x＝0，可求對應的變量值，進一步求出三角形的面積；(3)觀察圖像可得到圖像在x軸上方(即y＞0)時x的取值范圍，y＝0與y＜0時亦可得．【嘗試解答】(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.∵a＝2＞0，∴函數(shù)圖像開口向上，對稱軸是直線x＝1，頂點坐標是(1，－8)．列表：x－10123y0－6－8－60描點并畫圖，得函數(shù)y＝2x2－4x－6的圖像，如圖所示．(2)由圖像得，函數(shù)圖像與x軸的交點坐標為A(－1,0)，B(3，0)，與y軸的交點坐標為C(0，－6)．S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|OC|＝eq\f(1,2)×4×6＝12.(3)由函數(shù)圖像知，當x＜－1或x＞3時，y＞0；當x＝－1或x＝3時，y＝0；當－1＜x＜3時，y＜0.觀察圖像主要是把握其本質(zhì)特征：開口方向決定a的符號，在y軸上的交點決定c的符號值，對稱軸的位置決定的符號，另外還要注意與x軸的交點、函數(shù)的單調(diào)性等，從而解決其他問題[再練一題]3．求函數(shù)y＝－x2＋2x＋3的頂點坐標，對稱軸以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解】∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴頂點坐標為(1,4)，對稱軸為x＝1，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，1]，單調(diào)減區(qū)間為[1，＋∞).1.下列關(guān)于二次函數(shù)y＝－x2＋x＋1的開口方向和頂點的說法，正確的是()A．開口向下，頂點(1,1)B．開口向上，頂點(1,1)C．開口向上，頂點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(5,4)))D．開口向下，頂點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))【解析】函數(shù)可化為y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，故拋物線開口向下，頂點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))).【答案】D2.把函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移2個單位，向上平移1個單位，得到函數(shù)的解析式為________．【解析】函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移2個單位得到y(tǒng)＝2(x＋2)2，向上平移1個單位得到y(tǒng)＝2(x＋2)2＋1.【答案】y＝2(x＋2)2＋13.已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖2-4-1所示，則此函數(shù)的解析式為__________.【導學號：04100028】圖2-4-1【解析】由圖像設(shè)f(x