協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)解析

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)解析對于二維隨機(jī)變量，除了關(guān)心它的各個分量的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需要知道這兩個分量之間的相互關(guān)系，這種關(guān)系無法從各個分量的期望和方差來說明，這就需要引進(jìn)描述這兩個分量之間相互關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)，但如何來刻畫這種關(guān)系呢？一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)

1.問題的提出協(xié)方差Covariance2.定義若記稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化，易知EX*=0，DX*=1.且注：協(xié)方差取值的大小要受到量綱的影響,為了消除量綱對協(xié)方差值的影響,我們把X,Y標(biāo)準(zhǔn)化后再求協(xié)方差。3.說明離散型隨機(jī)向量其中P{X=xi,Y=yj}=pij

i,j=1,2,3,….連續(xù)型隨機(jī)向量協(xié)方差的計算4.協(xié)方差的計算公式證例：設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0<x<1,0<y<x上的均勻分布,求X與Y的相關(guān)系數(shù)D1x=y解5.性質(zhì)——課本上沒有b.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X與Y不相關(guān)XY=0;a.協(xié)方差的性質(zhì)——課本100頁定理——課本101頁定理(3)設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，則它們的相關(guān)系數(shù)等于零，即ρXY=0——課本102頁推論相關(guān)系數(shù)的意義若=0，Y與X無線性關(guān)系;Y與X有嚴(yán)格線性關(guān)系;若若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;|

|的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱.注：需要指出的是:這里的不相關(guān),指的是從線性關(guān)系上看沒有關(guān)聯(lián),并非X與Y之間沒有任何關(guān)系,也許此時還存在別的關(guān)系獨(dú)立與不相關(guān)都是隨機(jī)變量之間相互聯(lián)系程度的一種反映,獨(dú)立指的是X與Y沒有任何關(guān)系，不相關(guān)指的X與Y之間沒有線性相關(guān)關(guān)系．(1)不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系注相互獨(dú)立不相關(guān)特例：若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X,Y相互獨(dú)立不相關(guān)(2)不相關(guān)的充要條件于是由:得這說明X與Y是不相關(guān)的,但顯然，X與Y是不相互獨(dú)立的

例若X~N(0,1),Y=X2,問X與Y是否不相關(guān)？

解因為X~N(0,1),密度函數(shù)為偶函數(shù),所以解例結(jié)論:解例三、協(xié)方差矩陣四、相關(guān)系數(shù)矩陣五、內(nèi)容小結(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義b.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常數(shù)a,b使