高中數(shù)學(xué)人教B版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第3章對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

3．2對數(shù)與對數(shù)函數(shù)3．對數(shù)及其運(yùn)算第1課時(shí)對數(shù)概念與常用對數(shù)1．理解對數(shù)的概念，能進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化．(重點(diǎn))2．理解對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的范圍．(易混點(diǎn))3．掌握對數(shù)的基本性質(zhì)及對數(shù)恒等式．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1對數(shù)的概念閱讀教材P95～P96，完成下列問題．1．在指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)中，冪指數(shù)x，又叫做以a為底y的對數(shù)．2．一般地，對于指數(shù)式ab＝N，我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，數(shù)a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．3．對數(shù)恒等式alogaN＝N.4．對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系ab＝N?b＝logaN(a>0，a≠1)．5．常用對數(shù)以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，通常把log10N記作lg_N.判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)根據(jù)對數(shù)的定義，因?yàn)?－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)對數(shù)式log32與log23的意義一樣．()(3)對數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù)．()【解析】(1)×.因?yàn)閷?shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a>0且a≠1，所以(1)錯(cuò)；(2)×.log32表示以3為底2的對數(shù)，log23表示以2為底3的對數(shù)，所以(2)錯(cuò)；(3)√.由對數(shù)的定義可知(3)正確．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2對數(shù)的性質(zhì)閱讀教材P96“第6行”～P96“例1”以上內(nèi)容，完成下列問題．1．負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．2．loga1＝0(a＞0，a≠1)．3．logaa＝1(a＞0，a≠1)．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)因?yàn)?a＝1，所以log11＝a.()(2)log(－2)(－2)＝1.()(3)任何一個(gè)指數(shù)式都可化為對數(shù)式．()【解析】(1)×.因?yàn)閷?shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a>0且a≠1，所以(1)錯(cuò)；(2)×.因?yàn)閷?shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a>0且a≠1，真數(shù)應(yīng)大于0，所以(2)錯(cuò)；(3)×.只有滿足底數(shù)大于0且不等于1的指數(shù)式才能化為對數(shù)式，如(－2)4＝16就不能化為對數(shù)式，故(3)錯(cuò)．【答案】(1)×(2)×(3)×[小組合作型]對數(shù)的概念(1)對數(shù)式lg(2x－1)中實(shí)數(shù)x的取值范圍是________；(2)對數(shù)式log(x－2)(x＋2)中實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)對數(shù)式中底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0求解．【自主解答】(1)由題意可知對數(shù)式lg(2x－1)中的真數(shù)大于0，即2x－1>0，解得x>eq\f(1,2)，所以x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解之得x>2，且x≠3，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2,3)∪(3，＋∞)．【答案】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))(2)(2,3)∪(3，＋∞)根據(jù)對數(shù)的概念，對數(shù)式的底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0，列出不等式組，可求得對數(shù)式中字母的取值范圍.[再練一題]1．對數(shù)式log(2x－3)(x－1)中實(shí)數(shù)x的取值范圍是______.【導(dǎo)學(xué)號：60210079】【解析】由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,2x－3>0，,2x－3≠1，))解之得x>eq\f(3,2)，且x≠2，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)指數(shù)式與對數(shù)式的互化(1)將下列的對數(shù)式化為指數(shù)式或?qū)⒅笖?shù)式化為對數(shù)式：【精彩點(diǎn)撥】(1)根據(jù)ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)求解；(2)由于a，b是對數(shù)，所以可考慮用指數(shù)式表示出a，b，再把它們代入式子中．【自主解答】(1)①因?yàn)?3＝64，所以log464＝3.②因?yàn)閘ogx3＝2，所以x2＝3.④因?yàn)閘g1000＝3，所以103＝1000.(2)∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，∴3a－b＝eq\f(3a,3b)＝eq\f(10,7).1．指數(shù)式與對數(shù)式的互化互為逆運(yùn)算，在利用ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)互化時(shí)，要分清各字母分別在指數(shù)式和對數(shù)式中的位置．2．在對數(shù)式、指數(shù)式的互化求值時(shí)，要注意靈活運(yùn)用指數(shù)的定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化．[再練一題]2．已知logax＝logac＋b，求x的值．【解】[探究共研型]對數(shù)的基本性質(zhì)探究1是不是所有的實(shí)數(shù)都有對數(shù)？【提示】負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)．探究2根據(jù)對數(shù)的定義及對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，你能求出loga1，logaa分別等于什么嗎？【提示】因?yàn)閍0＝1，所以loga1＝0；因?yàn)閍1＝a，所以logaa＝1.探究3你能推出對數(shù)恒等式aeq\s\up8(logaN)＝N(a>0且a≠1，N>0)嗎？【提示】因?yàn)閍x＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得aeq\s\up8(logaN)＝N.A．10 B．13C．100 D．±100(2)求x的值：【精彩點(diǎn)撥】(1)利用對數(shù)恒等式aeq\s\up8(logaN)＝N求解；(2)利用“底數(shù)”的對數(shù)為1，“1”的對數(shù)為0，由外到內(nèi)逐層求解．【自主解答】(1)由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.【答案】B得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋2x－1＝2x2－1，,3x2＋2x－1>0，,2x2－1>0且2x2－1≠1，))解得x＝2.②∵logeq\s\do5((eq\r(2)－1))eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r(\r(2)＋12))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.對數(shù)恒等式是利用對數(shù)的定義推導(dǎo)出來的，要注意其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：1它們是同底的；2指數(shù)中含有對數(shù)的形式；3其值為對數(shù)的真數(shù).)[再練一題]3．已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．【解】∵log2(log3(log4x))＝0，∴l(xiāng)og3(log4x)＝1，∴l(xiāng)og4x＝3.∴x＝43＝64.同理求得y＝16.∴x＋y＝80.1．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是()A．e0＝1與loge1＝0B．8＝eq\f(1,2)與log8eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3)C．log39＝2與9eq\s\up8(\f(1,2))＝3D．log77＝1與71＝7【解析】由指數(shù)、對數(shù)互化的關(guān)系：ax＝N?x＝logaN可知A，B，D都正確；C中l(wèi)og39＝2?9＝32.【答案】C2．已知logx8＝3，則x的值為()\f(1,2) B．2C．3 D．4【解析】由logx8＝3，得x3＝8，∴x＝2.【答案】B3．若對數(shù)log(x－1)(4x－5)有意義，則x的取值范圍是()\f(5,4)≤x＜2 \f(5,2)＜x＜2\f(5,4)＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3【解析】x應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－5>0，,x－1>0，,x－1≠1，))∴x>eq\f(5,4)，且x≠2.【答案】C4．計(jì)算＝________.【解析】＝22·＝4×5＝20.【答案】205．求下列各式中的x.【導(dǎo)學(xué)號：97512045】(1)log2x＝－eq\f(2,3)；(2)log5(log2x)＝0.【解】(1)x＝2eq\s\up12(－eq\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(2,3)).(2)log2x＝1，x＝2.

第2課時(shí)對數(shù)的運(yùn)算1．理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．(重點(diǎn))2．知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)．(難點(diǎn))3．會運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡單的化簡與證明(易混點(diǎn))．[基礎(chǔ)·初探]教材整理1對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)閱讀教材P98至P98“例4”以上部分，完成下列問題．如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…k)(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)積、商的對數(shù)可以化為對數(shù)的和、差．()(2)logaxy＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．()【解析】(1)√.根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知(1)正確；(2)×.根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知logaxy＝logax＋logay；(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M應(yīng)為大于0的數(shù)．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2換底公式與自然對數(shù)閱讀教材P100至P101“例6”以上部分，完成下列問題．1．對數(shù)換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．特別地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．2．自然對數(shù)：lnN＝eq\f(lgN,lge)?lnN≈.計(jì)算：log29·log34＝________.【解析】由換底公式可得log29·log34＝eq\f(2lg3,lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＝4.【答案】4[小組合作型]對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用求下列各式的值：(1)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(2)eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg＋2lg2)；(3)log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7eq\s\up12(log72)；(4)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5eq\s\up12(2log53).【導(dǎo)學(xué)號：60210082】【精彩點(diǎn)撥】當(dāng)對數(shù)的底數(shù)相同時(shí)，利用對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，將式子轉(zhuǎn)化為只含一種或少數(shù)幾種真數(shù)的形式再進(jìn)行計(jì)算．【自主解答】(1)原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.(2)原式＝eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg36－2＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,2lg2＋lg3＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,4lg2＋2lg3)＝eq\f(1,2).(3)原式＝log3eq\f(3\s\up12(\f(3,4)),3)＋lg(25×4)＋2＝log33－eq\f(1,4)＋lg102＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.1．利用對數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，再找真數(shù)間的聯(lián)系．2．對于復(fù)雜的運(yùn)算式，可先化簡再計(jì)算；化簡問題的常用方法：①“拆”：將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和(差)；②“收”：將同底對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)．[再練一題]1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.【解】(1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.對數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60%，要使容器內(nèi)的空氣少于原來的%，則至少要抽幾次？(lg2≈0)【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題中的已知條件建立不等關(guān)系式，然后利用對數(shù)來解不等式．【自主解答】設(shè)至少抽n次可使容器內(nèi)空氣少于原來的%，原先容器中的空氣體積為a.則a(1－60%)n<%a，即<，兩邊取常用對數(shù)，得n·lg<lg，∴n>eq\f(lg,lg＝eq\f(－3,2lg2－1)≈.故至少需要抽8次才能使容器內(nèi)的空氣少于原來的%.解對數(shù)應(yīng)用題的步驟[再練一題]2．地震的震級R與震釋放的能量E的關(guān)系為R＝eq\f(2,3)(lgE－．根據(jù)英國天空電視臺報(bào)道，英格蘭南部2023年4月28日發(fā)生強(qiáng)度至少為級的地震，歐洲地震監(jiān)測站稱，地震的震級為級，而2023年3月11日，日本本州島發(fā)生級地震，那么此次地震釋放的能量是級地震釋放能量的________倍．【解析】設(shè)級地震所釋放的能量為E1,級地震所釋放的能量為E2.由＝eq\f(2,3)(lgE1－，得lgE1＝eq\f(3,2)×＋＝.同理可得lgE2＝eq\f(3,2)×＋＝，從而lgE1－lgE2＝－＝6.故lgE1－lgE2＝lgeq\f(E1,E2)＝6，則eq\f(E1,E2)＝106＝1000000，即級地震釋放的能量是級地震釋放能量的1000000倍．【答案】1000000[探究共研型]對數(shù)換底公式的應(yīng)用探究1假設(shè)eq\f(log25,log23)＝x，則log25＝xlog23，即log25＝log23x，從而有3x＝5，進(jìn)一步可以得到什么結(jié)論？【提示】進(jìn)一步可以得到x＝log35，即log35＝eq\f(log25,log23).探究2由探究1，你能猜測eq\f(logcb,logca)與哪個(gè)對數(shù)相等嗎？如何證明你的結(jié)論？【提示】eq\f(logcb,logca)＝logab.假設(shè)eq\f(logcb,logca)＝x，則logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，則x＝logab，所以eq\f(logcb,logca)＝logab.(1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)計(jì)算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值．【精彩點(diǎn)撥】(1)中兩對數(shù)的底數(shù)不同，可用換底公式換成常用對數(shù)，為便于發(fā)現(xiàn)關(guān)系，可將真數(shù)都化為質(zhì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算．(2)中各個(gè)對數(shù)的底數(shù)都不相同，需先統(tǒng)一底數(shù)再化簡求值．【自主解答】(1)由log1227＝a，得eq\f(3lg3,2lg2＋lg3)＝a，∴l(xiāng)g2＝eq\f(3－a,2a)lg3.∴l(xiāng)og616＝eq\f(lg16,lg6)＝eq\f(4lg2,lg2＋lg3)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).(2)法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))·log52＋eq\f(log54,log525)＋eq\f(log58,log5125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))log52＋eq\f(2log52,2log55)＋eq\f(3log52,3log55)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(3log52)＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.法二原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\f(lg2,lg5)＋eq\f(lg4,lg25)＋eq\f(lg8,lg125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(lg2,lg5)))＝13.法三原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·log52＝3×eq\f(13,3)＝13.1．在利用換底公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，一般情況下是根據(jù)題中所給對數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，如果所給的對數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同，我們可以選擇以10為底數(shù)進(jìn)行換底．2．在運(yùn)用換底公式時(shí)，還可結(jié)合底數(shù)間的關(guān)系恰當(dāng)選用一些重要的結(jié)論，如logab·logba＝1，logab·logbc·logcd＝logad，logambn＝eq\f(n,m)logab，logaan＝n，lg2＋lg5＝1等，將會達(dá)到事半功倍的效果．[再練一題]3．求值：log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9)＝________.【解析】原式＝log252·log32－4·log53－2＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(－4lg2,lg3)·eq\f(－2lg3,lg5)＝16.【答案】161．設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac【解析】利用對數(shù)的換底公式進(jìn)行驗(yàn)證，logab·logca