高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量平面向量應(yīng)用舉例 市獲獎(jiǎng)

2.5平面向量應(yīng)用舉例一、教材分析向量概念有明確的物理背景和幾何背景，物理背景是力、速度、加速度等，幾何背景是有向線段，可以說(shuō)向量概念是從物理背景、幾何背景中抽象而來(lái)的，正因?yàn)槿绱耍\(yùn)用向量可以解決一些物理和幾何問(wèn)題，例如利用向量計(jì)算力沿某方向所做的功，利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行、垂直位置關(guān)系的判定等問(wèn)題。二、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會(huì)用平面向量知識(shí)解決幾何問(wèn)題的兩種方法-----向量法和坐標(biāo)法，可以用向量知識(shí)研究物理中的相關(guān)問(wèn)題的“四環(huán)節(jié)”和生活中的實(shí)際問(wèn)題2.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問(wèn)題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的積極主動(dòng)的探究意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何和物理問(wèn)題.難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑢缀螁?wèn)題或者物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題加以解決.四、學(xué)情分析在平面幾何中，平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形，而在物理中，受力分析則是其中最基本的基礎(chǔ)知識(shí)，那么在本節(jié)的學(xué)習(xí)中，借助這些對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，非常熟悉的內(nèi)容來(lái)講解向量在幾何與物理問(wèn)題中的應(yīng)用。五、教學(xué)方法1.例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。2.學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見(jiàn)后面的學(xué)案3.新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑→情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)→合作探究、精講點(diǎn)撥→反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)→發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)六、課前準(zhǔn)備1.學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)本節(jié)課本上的基本內(nèi)容，初步理解向量在平面幾何和物理中的應(yīng)用2.教師的教學(xué)準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。七、課時(shí)安排：1課時(shí)八、教學(xué)過(guò)程(一)預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。(二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)教師首先提問(wèn)：（1）若O為重心,則++=（2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個(gè)四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系,你會(huì)想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系?(3)兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.為什么？教師：本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何和物理問(wèn)題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決平面幾何和物理問(wèn)題的步驟，已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過(guò)程中的疑惑說(shuō)出來(lái)。（設(shè)計(jì)意圖：步步導(dǎo)入，吸引學(xué)生的注意力，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。）（三）合作探究、精講點(diǎn)撥。探究一：（１）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論＂若，則，且所在直線平行或重合＂相類比，你有什么體會(huì)？（２）由學(xué)生舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例．教師：平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)：例如，向量數(shù)量積對(duì)應(yīng)著幾何中的長(zhǎng)度.如圖：平行四邊行中，設(shè)＝,＝，則（平移），，（長(zhǎng)度）．向量，的夾角為.因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問(wèn)題。通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何運(yùn)算之間的關(guān)系，如距離、夾角等．把運(yùn)算結(jié)果＂翻譯＂成幾何關(guān)系．本節(jié)課，我們就通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例，來(lái)說(shuō)明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用例1．證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和．已知：平行四邊形ABCD．求證：．分析：用向量方法解決涉及長(zhǎng)度、夾角的問(wèn)題時(shí)，我們常常要考慮向量的數(shù)量積．注意到，，我們計(jì)算和．證明：不妨設(shè)a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2．得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2同理|a|2-2a·b+|b|2①+②得2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和．師：你能用幾何方法解決這個(gè)問(wèn)題嗎？讓學(xué)生體會(huì)幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況。師：由于向量能夠運(yùn)算，因此它在解決某些幾何問(wèn)題時(shí)具有優(yōu)越性，他把一個(gè)思辨過(guò)程變成了一個(gè)算法過(guò)程，可以按照一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問(wèn)題的難度.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題，主要是下面三個(gè)步驟，⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；⑵通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．變式訓(xùn)練：中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)（1）證明A、O、E三點(diǎn)共線；（2）用表示向量。例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？分析：由于R、T是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可．解：設(shè)a，b，則a+b．由與共線，因此。存在實(shí)數(shù)m，使得=m(a+b)．又由與共線因此存在實(shí)數(shù)n，使得=n=n(b-a)．由=n，得m(a+b)=a+n(b-a)．整理得a＋b＝0．由于向量a、b不共線，所以有，解得．所以．同理．于是．所以AR＝RT＝TC．說(shuō)明：本例通過(guò)向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問(wèn)題的常用方法．探究二：（1）兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.（2）在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂夾角越小越省力.這些問(wèn)題是為什么？師：向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上就是把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，然后通過(guò)向量運(yùn)算解決向量問(wèn)題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象．例3．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：上面的問(wèn)題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型．只要分析清楚F、G、三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問(wèn)題的數(shù)學(xué)解釋．解：不妨設(shè)|F1|=|F2|，由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=．通過(guò)上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由逐漸變大時(shí)，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力．師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問(wèn)題，思考下面的問(wèn)題：⑴為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到？分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對(duì)岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時(shí)間最短．考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對(duì)岸．（用《幾何畫板》演示水流速度對(duì)船的實(shí)際航行的影響）解：=(km/h)，所以，(min)．答：行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是min．本例關(guān)鍵在于對(duì)“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的穿必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸，分析清楚這種關(guān)系侯，本例就容易解決了。變式訓(xùn)練：兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，（1）寫出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A的位移s;(2)計(jì)算s在方向上的投影。九、板書設(shè)計(jì)§平面向量應(yīng)用舉例例⒈用向量法解平面幾何例2變式訓(xùn)練問(wèn)題的“三步曲”例3.例4變式訓(xùn)練十、教學(xué)反思本小節(jié)主要是例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過(guò)程，總結(jié)解題規(guī)律。指導(dǎo)學(xué)生搞好解題后的反思，從而提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.十一、學(xué)案設(shè)計(jì)（見(jiàn)下頁(yè)）

平面向量應(yīng)用舉例課前預(yù)習(xí)學(xué)案預(yù)習(xí)目標(biāo)預(yù)習(xí)《平面向量應(yīng)用舉例》，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，建立實(shí)際問(wèn)題與向量的聯(lián)系。預(yù)習(xí)內(nèi)容閱讀課本內(nèi)容，整理例題，結(jié)合向量的運(yùn)算，解決實(shí)際的幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題。另外，在思考一下幾個(gè)問(wèn)題：例1如果不用向量的方法，還有其他證明方法嗎？利用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”是什么？3．例3中，⑴為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？提出疑惑同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)內(nèi)容1.運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)（向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問(wèn)題.2.運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題.二、學(xué)習(xí)過(guò)程探究一：（１）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論＂若，則，且所在直線平行或重合＂相類比，你有什么體會(huì)？（２）舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例．例1．證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和．已知：平行四邊形ABCD．求證：．試用幾何方法解決這個(gè)問(wèn)題利用向量的方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”？建立平面幾何與向量的聯(lián)系，通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。變式訓(xùn)練：中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)（1）證明A、O、E三點(diǎn)共線；（2）用表示向量。例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？探究二：兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂夾角越小越省力.這些力的問(wèn)題是怎么回事？例3．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問(wèn)題，思考下面的問(wèn)題：⑴為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到？變式訓(xùn)練：兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，（1）寫出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A的位移s;(2)計(jì)算s在方向上的投影。反思總結(jié)結(jié)合圖形特點(diǎn)，選定正交基底，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運(yùn)算簡(jiǎn)練標(biāo)致，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問(wèn)題常用此法。本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決實(shí)際問(wèn)題的步驟。當(dāng)堂檢測(cè)1.已知，求邊長(zhǎng)c。2.在平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對(duì)角線BD=2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)。3.在平面上的三個(gè)力作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，的夾角為，求：（1）的大?。唬?）與夾角的大小。課后練習(xí)與提高選擇題1.給出下面四個(gè)結(jié)論：若線段AC=AB+BC，則向量；若向量，則線段AC=AB+BC；若向量與共線，則線段AC=AB+BC;若向量與反向共線，