高中數(shù)學高考大聯(lián)考大聯(lián)考 湖南省百所重點名校大聯(lián)考高三高考沖刺數(shù)學（理）模擬試題

湖南省百所重點名校大聯(lián)考·高三高考沖刺理科數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.本卷答題時間120分鐘，滿分150分.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項1.全集，，，則（）A. B. C. D.，y互為共軛復數(shù)，且，則（） B. 3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當時，，則（）A. 4.某城市2023年12個月的平均濃度指數(shù)如下圖所示.根據(jù)圖可以判斷，四個季度中的平均濃度指數(shù)方差最小的是（）A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度5.已知服從正態(tài)分布，，則“”是“關于x的二項式的展開式的常數(shù)項為3”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分又不必要條件 D.充要條件6.已知，給出下列四個命題：：， ：，：， ：，其中真命題的是（）A.， B.， C.， D.，7.已知函數(shù)，以下結論錯誤的是（）A.函數(shù)的圖象關于直線對稱B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增D.在直線與曲線的交點中，兩交點間距離的最小值為8.在直角坐標系中，全集，集合，已知集合A的補集所對應區(qū)域的對稱中心為M，點P是線段（，）上的動點，點Q是x軸上的動點，則周長的最小值為（） B. D.9.已知是邊長為2的正三角形，點P為平面內一點，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.已知橢圓C：（），作傾斜角為的直線交橢圓C于A，B兩點，線段的中點為M，O為坐標原點與的夾角為，且，則（） B. C. D.11.定義“有增有減”數(shù)列如下：，，且，.已知“有增有減”數(shù)列共4項，若（，2，3，4），且，則數(shù)列共有（）個 個個 個12.已知函數(shù)有兩個零點，，，則下面說法正確的是（）A. B.C. D.有極小值點，且二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.執(zhí)行下面的程序框圖，若，則輸出n的值為______.14.已知P為拋物線C：上一動點，直線l：與x軸、y軸交于M，N兩點，點且，則的最小值為______.15.銳角三角形中，，，則面積的取值范圍為______.16.四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側面是以為斜邊的等腰直角三角形，若，則四棱錐的體積取值范圍為______.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17.已知數(shù)列滿足：，（，2，3，…）（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）令，（，2，3，…），如果對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.18.如圖，三棱臺中，側面與側面是全等的梯形，若，，且.（Ⅰ）若，，證明：平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示：表1x1234567y611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點圖.（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內，與（c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結果及表l中的數(shù)據(jù)，求y關于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；（III）推廣期結束后，車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計，結果如表2表2支付方式現(xiàn)結乘車卡掃碼比例已知該線路公交車票價為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結果得知，使用掃碼支付的乘客，享受7折優(yōu)惠的概率為，享受8折優(yōu)惠的概率為，享受9折優(yōu)惠的概率為.根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，估計一名乘客一次乘車的平均費用.參考數(shù)據(jù)：2535其中，參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線，.20.已知拋物線C：（）的焦點到準線的距離為，直線l：（）與拋物線C交于A，B兩點，過這兩點分別作拋物線C的切線，且這兩條切線相交于點D.（Ⅰ）若D的坐標為，求a的值；（Ⅱ）設線段的中點為N，點D的坐標為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點為G，且直線與拋物線C交于P，Q兩點，求的取值范圍.21.已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅱ）設，當時，對任意，存在，使，求實數(shù)m的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.（Ⅰ）寫出的極坐標方程和的直角坐標方程；（Ⅱ）已知點、的極坐標分別為和，直線與曲線相交于P，Q兩點，射線與曲線相交于點A，射線與曲線相交于點B，求的值.23.[選修4–5：不等式選講]已知函數(shù).（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）設函數(shù)，，若對任意的都成立，求實數(shù)k的取值范圍.湖南省百所重點名校大聯(lián)考·高三高考沖刺理科數(shù)學試題 參考答案及解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號123456789101112選項DBABADCBABADD【解析】略2、B【解析】設，，代入得，所以，，解得，，所以.3、A【解析】因為是奇函數(shù)，所以，故選A.4、B【解析】方差最小的數(shù)據(jù)最穩(wěn)定，所以選B.5、A【解析】由，知.因為二項式展開式的通項公式為，令，得，所以其常數(shù)項為，解得，所以“”是“關于x的二項式的展開式的常數(shù)項為3”的充分不必要條件，故選A.6、D【解析】可行域為一個三角形及其內部，其中，，，所以直線過點A時取最小值；過點A時取最大值；斜率最大值為，到原點距離的平方的最小值為，因此選D.7、C【解析】對于函數(shù)，令，求得為函數(shù)的最大值，可得它的圖象關于直線，故A正確；令，求得，可得它的圖象關于點對稱故B正確；函數(shù)，在區(qū)間上，，故單調遞減，故C錯誤；令，求得，∴，或，，故在直線與曲線的交點中，兩交點間距離的最小值為，故D正確；故選C.8、B【解析】∵點到直線的距離，∴直線始終與圓相切，∴集合A表示除圓以外所有的點組成的集合，∴集合表示圓，其對稱中心如圖所示：設是點關于直線線段（，）的對稱點，設，則由求得，可得.設關于x軸的對稱點為，易得，則直線，和線段的交點為P，則此時，的周長為，為最小值，9、A【解析】以點B為坐標原點，所在直線為x軸，過點B與垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則、、，設因為所以P點軌跡為令則，，則由得故選A.10、B【解析】設，，，則，兩式作差得，，，即，設直線的傾斜角為，則或，，又，由，解得，即，故選B.11、D法一：不妨設，，，則（，2，3，4），所以或2或3.考慮反面，即數(shù)列不是“有增有減”數(shù)列，此時有三種情況：常數(shù)數(shù)列、不增數(shù)列（，且等號不同時成立）及不減數(shù)列（，且等號不同時成立）.①常數(shù)數(shù)列，有1，1，1，1；2，2，2，2；3，3，3，3，共3個.②不減數(shù)列，含1，2，3中的任意兩個數(shù)或三個數(shù)，若含兩個數(shù)，則有種情況，以含有1，2為例，不減數(shù)列有1，1，1，2；1，1，2，2；1，2，2，2，共3個，所以含兩個數(shù)的不減數(shù)列共有個.若含三個數(shù)，則不減數(shù)列有1，1，2，3；1，2，3，3；1，2，2，3，共3個.所以不減數(shù)列共有個.③不增數(shù)列，同理②，共有12個.綜上，數(shù)列不是“有增有減”數(shù)列共有個.所以，數(shù)列是“有增有減”數(shù)列共有個.法二：根據(jù)題設“有增有減”數(shù)列的定義，數(shù)列共有兩類.第一類：數(shù)列的4項只含有x，y，z中的兩個，則有種情況，以只含x，y為例，滿足條件的數(shù)列有x，y，x，x；x，x，y，x；y，x，y，y；y，y，x，y；x，y，x，y；y，x，y，x；x，y，y，x；y，x，x，y，共8個，所以此類共有個.第二類：數(shù)列的4項含有x，y，z中的三個，必有兩項是同一個，有種情況，以兩項是x，另兩項分別為y，z為例，滿足條件的數(shù)列有x，x，z，y；x，y，x，z；x，z，x，y；x，y，z，x；x，z，y，x；y，x，x，z；y，x，z，x；y，z，x，x；z，x，x，y；z，x，y，x，共10個，所以此類共有個.綜上，數(shù)列共有個.12、D【解析】由題意得，因為，，所以，設，則由圖像法知，，，解得，因此，令，則，所以，因此，，因此A錯誤；方程有兩個不等的根，即與有兩個不同的交點.因為，所以在上單調遞減，且，在上單調遞減且，在上單調遞增且，且，，B錯誤;.令，則所以，因此，，因此C錯誤;由，，當時，當時，所以有極小值點，由，，得，，因此，所以，所以，D正確.選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13、5【解析】循環(huán)依次為，；，；，，，；結束循環(huán)，輸出.14、【解析】由題意得，，由得，，因此，所以選B.15、【解析】∵，，可得：，∴，，∵，可得：，∴，可得：，則面積的取值范圍為16、【解析】如圖所示，四棱錐中，可得：；平面平面平面，過S作于O，則平面，故，在中，，設，則有，，又，則，四棱錐的體積取值范圍為.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17、解析：（1）證明：由題可知：①，②②①可得即，又是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，故設數(shù)列的第r項最大，則有，解得故數(shù)列的最大項是∵對任意，都有，即成立，解得或或18.（Ⅰ）證明：連接，，梯形，，易知：，；又，則；平面，平面，可得：平面；（Ⅱ）側面是梯形，，，，則為二面角的平面角，；，均為正三角形，在平面內，過點A作的垂線，如圖建立空間直角坐標系，不妨設，則，故點，，，；設平面的法向量為，則有：；設平面的法向量為，則有：；，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.19.解：（1）根據(jù)散點圖判斷，適宜作為掃碼支付的人數(shù)y關于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型；（2），兩邊同時取常用對數(shù)得：；設，，，，，把樣本中心點代入，得：，，，∴y關于x的回歸方程式：；把代入上式，；活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470；（3）記一名乘客乘車支付的費用為Z，則Z的取值可能為：2，1，8，，；；；；分布列為：Z2P所以，一名乘客一次乘車的平均費用為：（元）20.（1）由拋物線C：（）的焦點到準線的距離為，得，則拋物線C的方程為.設切線的方程為，代入得，由得，當時，點A的橫坐標為，則，當時，同理可得.綜上得.（2）由（1）知，，，所以以線段為直徑的圓為圓O：，根據(jù)對稱性，只要探討斜率為正數(shù)的直線即可，因為G為直線與圓O的切點，所以，，所以，所以，，所以直線的方程為，由消去y整理得，因為直線與圓相交，所以.設，，則，，所以，所以，設，因為，所以，所以，所以.21、（1）的定義域為，又，令，得或.當，則，由得，由得，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.當，則，由得，由得或，函數(shù)在上單調遞減，在和上單調遞增.當，則，可得，此時函數(shù)在上單調遞增.當時，則，由得，由得或，函數(shù)在上單調遞減，在和上單調遞增.（2）當時，由（1）得函數(shù)在上單調遞減，在和上單調遞增，從而在上的最小值為.對任意，存在，使，即存在，函數(shù)值不超過在區(qū)間上的最小值.由得，.記，則當時，.，當，顯然有，當，，故在區(qū)間上