高中數(shù)學(xué)北師大版2第一章統(tǒng)計案例 綜合測試

第一章綜合測試時間120分鐘，滿分150分．一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．下列結(jié)論正確的是()①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系②相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系③回歸關(guān)系是對具有函數(shù)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種方法④回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④[答案]C[解析]本題考查函數(shù)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系、回歸關(guān)系和回歸分析，可以判斷①②④正確．2．為了研究人的肥胖程度(胖、瘦)與家庭富裕水平(貧、富)之間是否相關(guān)，調(diào)查了50000人，其中胖人5000人，下列獨立性檢驗的方案中，較為合理有效的方案是()A．隨機(jī)抽取100名胖人和100名瘦人B．隨機(jī)抽取%的胖人和瘦人C．隨機(jī)抽取900名瘦人和100名胖人D．隨機(jī)抽取%的瘦人和1%的胖人[答案]C[解析]樣本的合理程度直接影響?yīng)毩⑿詸z驗的結(jié)果，所以選取樣本要合理，易知總體中有5000名胖人，45000名瘦人，抽取樣本時應(yīng)按比例抽?。?．(2023·湖南益陽市箴言中學(xué)模擬)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x、y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－；②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－－.其中一定不正確的結(jié)論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]D[解析]y與x正(或負(fù))相關(guān)時，線性回歸直線方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，x的系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))>0(或eq\o(b,\s\up6(^))<0)，故①④錯．4．如下圖所示，4個散點圖中，不適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是()[答案]A[解析]題圖A中的點不成線性排列，故兩個變量不適合線性回歸模型．故選A．5．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過()A．(2,2)點 B．,0)點C．(1,2)點 D．,4)點[答案]D[解析]計算得eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝4，由于回歸直線一定過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))點，所以必過,4)點．6．利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系時，通過查閱下表來確定斷言“X和Y有關(guān)系”的可信度，如果k>，那么就有把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”的百分比為()p(K2>kkp(K2>kkA．25% B．75%C．% D．%[答案]D[解析]查表可得K2>.因此有%的把握認(rèn)為“x和y有關(guān)系”．7．在建立兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下，其中擬合最好的模型是()A．模型1的相關(guān)系數(shù)r為B．模型2的相關(guān)系數(shù)r為C．模型3的相關(guān)系數(shù)r為D．模型4的相關(guān)系數(shù)r為[答案]A[解析]相關(guān)系數(shù)r越大，模型擬合的效果越好．8．以下關(guān)于線性回歸的判斷，正確的個數(shù)是()①若散點圖中所有點都在一條直線附近，則這條直線為回歸直線；②散點圖中的絕大多數(shù)都線性相關(guān)，個別特殊點不影響線性回歸，如圖中的A、B、C點；③已知直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則x＝25時，y的估計值為；④回歸直線方程的意義是它反映了樣本整體的變化趨勢．A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]能使所有數(shù)據(jù)點都在它附近的直線不止一條，而據(jù)回歸直線的定義知，只有按最小二乘法求得回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))得到的直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋eq\o(a,\s\up6(^))才是回歸直線，∴①不對；②正確；將x＝25代入eq\o(y,\s\up6(^))＝－，得eq\o(y,\s\up6(^))＝，∴③正確；④正確，故選D．9．某考察團(tuán)對全國10大城市進(jìn)行職工人均工資水平x(千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，若某城市居民人均消費水平為(千元)，估計該城市人均消費額占人均收入的百分比約為()A．83% B．72%C．67% D．66%[答案]A[解析]當(dāng)eq\o(y,\s\up6(^))＝時，x＝eq\f－,≈，所以eq\f,≈，故選A．10．(2023·云南景洪市一中期末)通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女合計愛好402060不愛好203050總計6050110由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈.附表：P(K2≥k)k參照附表，得到的正確的結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”[答案]C二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11．有下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)擁有的財富；②曲線上的點與該點的坐標(biāo)；③蘋果的產(chǎn)量與氣候；④森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度；⑤學(xué)生與其學(xué)號；⑥降雪量與交通事故發(fā)生率；⑦每畝施肥量與糧食畝產(chǎn)量．其中，具有相關(guān)關(guān)系的是__________________.[答案]①③④⑥⑦[解析]函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個非隨機(jī)變量之間的關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．12．對于線性回歸方程y＝＋257，當(dāng)x＝28時，y的估計值是__________________.[答案]390[解析]將x的值代入線性回歸方程得估計值y＝×28＋257＝390.13．有人發(fā)現(xiàn)，多看電視容易使人變冷漠，下表是一個調(diào)查機(jī)構(gòu)對此現(xiàn)象的調(diào)查結(jié)果：冷漠不冷漠總計多看電視6842110少看電視203858總計8880168則在犯錯誤的概率不超過__________________的前提下認(rèn)為多看電視與人變冷漠有關(guān)系．[答案][解析]可計算χ2的觀測值k＝>.14．某小賣部為了了解熱茶銷售量y(杯)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某4天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1杯數(shù)24343864由表中數(shù)據(jù)算得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中的b≈－2，預(yù)測當(dāng)氣溫為－5℃時，熱茶銷售量為__________________杯．(已知回歸系數(shù)b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)))[答案]70[解析]根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可求得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(18＋13＋10－1)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝40－(－2)×10＝60，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60，當(dāng)x＝－5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－2×(－5)＋60＝70.15．在2023年春節(jié)期間，某市物價部門，對本市五個商場銷售的某商品一天的銷售量及其價格進(jìn)行調(diào)查，五個商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價格x91011銷售量y1110865通過分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對商品的價格x具有線性相關(guān)關(guān)系，則銷售量y對商品的價格x的回歸直線方程為__________________.[答案]eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋40[解析]eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝392，eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝8，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝，代入公式，得eq\o(b,\s\up6(^))＝－，所以，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝40，故回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋40.三、解答題(本大題共6個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本題滿分12分)甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約．甲表示只要面試合格就簽約；乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)每人面試合格的概率都是eq\f(1,2)，且面試是否合格互不影響．求：(1)至少有一人面試合格的概率；(2)沒有人簽約的概率．[答案](1)eq\f(7,8)(2)eq\f(3,8)[解析]用A、B、C表示事件甲、乙、丙面試合格，由題意知A、B、C相互獨立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2).(1)至少有一人面試合格的概率是1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－(eq\f(1,2))3＝eq\f(7,8).(2)沒有人簽約的概率為P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(C)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝(eq\f(1,2))3＋(eq\f(1,2))3＋(eq\f(1,2))3＝eq\f(3,8).17．(本題滿分12分)某工業(yè)部門進(jìn)行一項研究，分析該部門的產(chǎn)量與生產(chǎn)費用之間的關(guān)系，從該部門內(nèi)隨機(jī)抽選了10個企業(yè)為樣本，有如下資料：產(chǎn)量x(千件)生產(chǎn)費用(千元)40150421404816055170651507916288185100165120190140185(1)計算x與y的相關(guān)系數(shù)；(2)對這兩個變量之間是否線性相關(guān)進(jìn)行檢驗；(3)設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，求回歸系數(shù)．[答案](1)(2)有線性相關(guān)關(guān)系(3)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＝[解析](1)根據(jù)數(shù)據(jù)可得：eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\o(∑,\s\up6(10))eq\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝70903，eq\o(∑,\s\up6(10))eq\o(,\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝277119，eq\o(∑,\s\up6(10))eq\o(,\s\do4(i＝1))xiyi＝132938，所以r＝，即x與y之間的相關(guān)系數(shù)r≈；(2)因為r>，所以可認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；(3)eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝.18．(本題滿分12分)(2023·安徽文，17)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)．(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時．請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)k0[答案](1)90位(2)(3)有把握[解析](1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)．(2)由頻率分布直方圖得1－2×＋＝，所以該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為.(3)由(2)知，300位學(xué)生中有300×＝225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時，又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下：每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300綜合列聯(lián)表可算得χ2＝eq\f(300×45×60－165×302,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈>.所以，有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)．”19．(本題滿分12分)在一個文娛網(wǎng)絡(luò)中，點擊觀看某個節(jié)目的累計人次和播放天數(shù)如下數(shù)據(jù)：播放天數(shù)12345678910點擊觀看的累計人次51134213235262294330378457533(1)畫出散點圖；(2)判斷兩變量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程是否有意義？(3)求線性回歸方程；(4)當(dāng)播放天數(shù)為11天時，估計累計人次為多少？[答案](1)圖略(2)有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程有意義(3)eq\o(y,\s\up6(^))＝＋(4)547[解析](1)散點圖如下圖所示：(2)由散點圖知：兩變量線性相關(guān)，求線性回歸方程有意義．借助科學(xué)計算器，完成下表：i12345678910xi12345678910yi51134213235262294330378457533xiyi51268639940131017642310302441135330eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝385，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝1020953，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝19749利用上表的結(jié)果，計算累計人次與播放天數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)，r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(19749－10××,\r(385－10××\r(1020953－10×)≈.這說明累計人次與播放天數(shù)之間存在著較強的線性相關(guān)關(guān)系，自然求線性回歸方程有實際意義．(3)b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(19749－10××,385－10×≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈－×≈，因此所求的線性回歸方程是y＝＋.(4)當(dāng)x＝11時，y的估計值是×11＋≈547.20．(本題滿分13分)(2023·安徽程集中學(xué)期中)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女合計(2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(χ2≥k)k[答案](1)表略不相關(guān)(2)eq\f(7,10)[解析](1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”為25人，從而完成2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈.因為<，所以我們沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結(jié)果所組成的集合為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.Ω由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這一事件，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)