高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量平面向量的線性運(yùn)算 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

2.2.3向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義一、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：.難點(diǎn)：共線向量定理的應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)：向量數(shù)乘定義、幾何意義及其運(yùn)算律；共線向量定理.能力點(diǎn)：理解兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件,能夠運(yùn)用判定點(diǎn)共線或直線平行.教育點(diǎn)：通過(guò)探究,體會(huì)類比遷移、歸納轉(zhuǎn)化的思想方法,經(jīng)歷從特殊到一般的思維過(guò)程.自主探究點(diǎn)：向量數(shù)乘的運(yùn)算律及向量共線定理.訓(xùn)練(應(yīng)用)點(diǎn)：運(yùn)用兩向量共線條件判斷兩向量是否平行,進(jìn)而判定點(diǎn)共線或直線平行.考試點(diǎn)：向量的數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義,運(yùn)用共線定理解決向量共線、三點(diǎn)共線、直線平行等問(wèn)題.易錯(cuò)易混點(diǎn)：共線定理中的條件限制.教具準(zhǔn)備尺規(guī)、多媒體等課堂模式學(xué)案導(dǎo)學(xué)二、引入新課1.復(fù)習(xí)向量的加法、減法,采用提問(wèn)的形式.問(wèn)題1：向量加法的運(yùn)算法則？問(wèn)題2：向量減法的幾何意義？學(xué)生回答完畢后,教師通過(guò)多媒體上的圖像讓學(xué)生更直觀感受.向量的加法：三角形法則(首尾相連)和平行四邊形法則(共起點(diǎn)).向量的減法：,則.(共起點(diǎn),連終點(diǎn),方向指向被減數(shù)).2.問(wèn)題情境：一條細(xì)繩東西方向擺放,一只螞蟻在細(xì)繩上做勻速直線運(yùn)動(dòng),若螞蟻向東方向一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為,那么它在同一方向上秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是嗎？若螞蟻向西秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量又怎樣表示？是嗎?你能用圖形表示嗎？學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立思考.教師活動(dòng)：提問(wèn)、引導(dǎo)學(xué)生作答.【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題1復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)；向量具有豐富的實(shí)際背景和幾何背景,并且兼具“數(shù)”與“形”的特點(diǎn),因此通過(guò)問(wèn)題2的位移這一實(shí)際背景引入新課.三、探究新知探究1：已知非零向量,試作出和,你能說(shuō)明它的幾何意義嗎？問(wèn)題1：相加后,和的長(zhǎng)度和方向有什么變化？問(wèn)題2：這些變化與哪些因素有關(guān)？ 學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立觀察、思考、總結(jié).教師活動(dòng)：提問(wèn)、引導(dǎo)學(xué)生.【設(shè)計(jì)意圖】認(rèn)識(shí)和理解向量數(shù)乘的幾何意義必須從幾何直觀入手,即通過(guò)學(xué)生自己作出向量和,以及獨(dú)立觀察、思考,讓學(xué)生對(duì)向量的伸縮有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí),進(jìn)而為下一步對(duì)向量的數(shù)乘的定義及其幾何意義的理性認(rèn)識(shí)做好鋪墊.1.向量數(shù)乘的定義一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作：,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)(2)當(dāng)時(shí),的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí),的方向與的方向相反.由(1)可知,當(dāng)或時(shí),【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)引出向量的數(shù)乘的定義,讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思想方法.探究2：?jiǎn)栴}4：已知向量、,求作向量和,并進(jìn)行比較.2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律得向量數(shù)乘的運(yùn)算律：設(shè)、為任意向量,、為任意實(shí)數(shù),則有：結(jié)合律：第一分配律：第二分配律：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算.問(wèn)題5：你能解釋上述運(yùn)算律的幾何意義嗎？【設(shè)計(jì)意圖】類比數(shù)的乘法的運(yùn)算律引出數(shù)乘向量的運(yùn)算律,向量具有明顯的幾何背景,所以向量的運(yùn)算及運(yùn)算律也具有明顯的幾何意義,尤其是涉及到長(zhǎng)度、夾角的幾何問(wèn)題可以通過(guò)向量及其運(yùn)算得到解決.這樣了解向量數(shù)乘運(yùn)算律的幾何意義就有必要了.注：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算.探究3：?jiǎn)栴}6：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后,你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？師生活動(dòng)：(分析總結(jié))對(duì)于向量、,如果有一個(gè)實(shí)數(shù),使,那么由向量數(shù)乘的定義知與共線,且向量是向量模的倍,而的正負(fù)由向量、的方向所決定.反過(guò)來(lái),已知向量與共線,,且向量的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度的倍,即,那么當(dāng)與同方向時(shí),有；當(dāng)與反方向時(shí),有.3.共線向量定理共線向量定理：向量、共線,當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)實(shí)數(shù),使得.問(wèn)題7:1)為什么要是非零向量?2)可以是零向量嗎?3)怎樣理解向量平行？與兩直線平行有什么異同？學(xué)生活動(dòng)：合作交流,獨(dú)立作答.教師活動(dòng)：提問(wèn)、引導(dǎo)、及時(shí)評(píng)價(jià).【設(shè)計(jì)意圖】師生共同活動(dòng)引出向量共線的定理；引導(dǎo)學(xué)生理解向量共線只需看這兩個(gè)向量的方向相同或是相反,在向量的前提下,向量、共線,當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)實(shí)數(shù),使得；且實(shí)數(shù)的唯一性是由向量和的模和方向同時(shí)決定.通過(guò)學(xué)生合作交流,促進(jìn)學(xué)生合作的集體意識(shí)；通過(guò)學(xué)生獨(dú)立作答,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.四、理解新知1．是一個(gè)向量,也有長(zhǎng)度和方向,其長(zhǎng)度為,其方向與的符號(hào)有關(guān),當(dāng)λ>0時(shí),的方向與的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí),的方向與的方向相反.當(dāng)時(shí),2．向量數(shù)乘的幾何意義就是將表示向量的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮：當(dāng)時(shí),表示的有向線段在原方向()或反方向()上伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍；當(dāng)時(shí),表示的有向線段在原方向()或反方向()上縮小為原來(lái)的倍.3．與非零向量共線的單位向量為；4.準(zhǔn)確理解向量共線定理：(1)定理本身包含了正反兩個(gè)方面：若存在一個(gè)實(shí)數(shù),使(),則向量、共線；反之,若向量、共線,則必存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得；(2)定理中限定的原因是：若,雖然與共線,但不存在實(shí)數(shù),使；若,可以是任意實(shí)數(shù)；(3)若向量、不共線,且,則必有五、運(yùn)用新知例1計(jì)算(口答)(1) (2)(3)解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=練習(xí):教材第5題【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題及練習(xí)要求學(xué)生熟練運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.教學(xué)中,不能讓學(xué)生將本題簡(jiǎn)單地看作字母的代數(shù)運(yùn)算,可以讓他們?cè)诖鷶?shù)運(yùn)算的同時(shí)說(shuō)出其幾何意義,使學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的特點(diǎn).CAoBCAoACAoOCAo例2已知任意兩非零向量、,試作CAoBCAoACAoOCAo解：作圖如右(過(guò)程略)依圖觀察,知三點(diǎn)共線.證明如下： ∵又∴,又與有公共點(diǎn),∴三點(diǎn)共線.【設(shè)計(jì)意圖】利用向量共線判斷三點(diǎn)共線的方法,這是判斷三點(diǎn)共線常用的方法.教學(xué)中可以先讓學(xué)生作圖,通過(guò)觀察圖形得到A、B、C三點(diǎn)共線的猜想,再將平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點(diǎn)共線,本題主要引導(dǎo)學(xué)生理清思路,具體過(guò)程可由學(xué)生完成變式練習(xí):1.如圖,已知、,試判斷與是否共線?CEABD解：∵CEABD又∴與共線.評(píng)析：證明向量共線,可以直接運(yùn)用定理.2.如上圖,若的三等分點(diǎn),利用向量關(guān)系來(lái)證明證明：∵∴∥∵不重合,∴【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)變式訓(xùn)練了解共線向量定理的應(yīng)用二：判斷三點(diǎn)共線以及應(yīng)用三：判斷直線平行例3如圖,的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn),且,你能用表示嗎？解：在中,∵,又∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分,【設(shè)計(jì)意圖】綜合運(yùn)用向量的加、減、數(shù)乘等向量的線性運(yùn)算.尤其是應(yīng)當(dāng)注意到,從而可簡(jiǎn)化解題過(guò)程,并且在實(shí)際的解題中做到舉一反三,融會(huì)貫通；通過(guò)例3的教學(xué)使學(xué)生明確：有了向量的線性運(yùn)算,平面中的點(diǎn)、線段(直線)就可以得到向量表示,這是利用向量解決幾何問(wèn)題的重要步驟.練習(xí)：已知的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn),且,用向量分別表示向量六、課堂小結(jié)一、①的定義及運(yùn)算律；②共線向量定理,向量與共線.二、定理的應(yīng)用：(1)證明向量共線；(2)證明三點(diǎn)共線：三點(diǎn)共線；(3)證明兩直線平行.三、思想方法特殊到一般,歸納,猜想,類比,分類討論,等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí),并提高一個(gè)層次認(rèn)識(shí)所學(xué)知識(shí),與前面的學(xué)習(xí)目標(biāo)呼應(yīng),再次明確學(xué)習(xí)目標(biāo)．七、布置作業(yè)必做題:選做題:課后拓展：在中,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且,求證三點(diǎn)共線.八、教后反思向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.首先復(fù)習(xí)了向量的加法、減法及幾何意義,然后借助一個(gè)有趣的例子,引入主題.本節(jié)課通過(guò)探究及數(shù)個(gè)問(wèn)題的設(shè)置,層層深入,脈絡(luò)清晰,將學(xué)生置于問(wèn)題情境中,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在“運(yùn)用新知”環(huán)節(jié)中,給出的例題較多,可以根據(jù)教學(xué)實(shí)情進(jìn)行選擇.本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容突出,重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程,如何合理的分配探究及設(shè)置的問(wèn)題與知識(shí)應(yīng)用之間的時(shí)間是順利完成教學(xué)任務(wù)的關(guān)鍵.九、板書設(shè)計(jì)2.2.3向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義1．向量數(shù)乘的定義；2．?dāng)?shù)乘向量的運(yùn)算律；3.共線向量定理；例題講解例1例2、變式一變式二