高中數(shù)學人教A版第二章平面向量平面向量的線性運算 向量數(shù)乘運算及其幾何意義

2.2.3向量數(shù)乘的運算及其幾何意義一、教學目標重點：.難點：共線向量定理的應(yīng)用.知識點：向量數(shù)乘定義、幾何意義及其運算律；共線向量定理.能力點：理解兩個向量共線的等價條件,能夠運用判定點共線或直線平行.教育點：通過探究,體會類比遷移、歸納轉(zhuǎn)化的思想方法,經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程.自主探究點：向量數(shù)乘的運算律及向量共線定理.訓練(應(yīng)用)點：運用兩向量共線條件判斷兩向量是否平行,進而判定點共線或直線平行.考試點：向量的數(shù)乘運算及幾何意義,運用共線定理解決向量共線、三點共線、直線平行等問題.易錯易混點：共線定理中的條件限制.教具準備尺規(guī)、多媒體等課堂模式學案導學二、引入新課1.復習向量的加法、減法,采用提問的形式.問題1：向量加法的運算法則？問題2：向量減法的幾何意義？學生回答完畢后,教師通過多媒體上的圖像讓學生更直觀感受.向量的加法：三角形法則(首尾相連)和平行四邊形法則(共起點).向量的減法：,則.(共起點,連終點,方向指向被減數(shù)).2.問題情境：一條細繩東西方向擺放,一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動,若螞蟻向東方向一秒鐘的位移對應(yīng)的向量為,那么它在同一方向上秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是嗎？若螞蟻向西秒鐘的位移對應(yīng)的向量又怎樣表示？是嗎?你能用圖形表示嗎？學生活動：獨立思考.教師活動：提問、引導學生作答.【設(shè)計意圖】問題1復習所學知識；向量具有豐富的實際背景和幾何背景,并且兼具“數(shù)”與“形”的特點,因此通過問題2的位移這一實際背景引入新課.三、探究新知探究1：已知非零向量,試作出和,你能說明它的幾何意義嗎？問題1：相加后,和的長度和方向有什么變化？問題2：這些變化與哪些因素有關(guān)？ 學生活動：獨立觀察、思考、總結(jié).教師活動：提問、引導學生.【設(shè)計意圖】認識和理解向量數(shù)乘的幾何意義必須從幾何直觀入手,即通過學生自己作出向量和,以及獨立觀察、思考,讓學生對向量的伸縮有一個初步的感性認識,進而為下一步對向量的數(shù)乘的定義及其幾何意義的理性認識做好鋪墊.1.向量數(shù)乘的定義一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作：,它的長度和方向規(guī)定如下：(1)(2)當時,的方向與的方向相同；當時,的方向與的方向相反.由(1)可知,當或時,【設(shè)計意圖】通過引出向量的數(shù)乘的定義,讓學生體會從特殊到一般的思想方法.探究2：問題4：已知向量、,求作向量和,并進行比較.2.向量數(shù)乘的運算律類比實數(shù)乘法的運算律得向量數(shù)乘的運算律：設(shè)、為任意向量,、為任意實數(shù),則有：結(jié)合律：第一分配律：第二分配律：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算.問題5：你能解釋上述運算律的幾何意義嗎？【設(shè)計意圖】類比數(shù)的乘法的運算律引出數(shù)乘向量的運算律,向量具有明顯的幾何背景,所以向量的運算及運算律也具有明顯的幾何意義,尤其是涉及到長度、夾角的幾何問題可以通過向量及其運算得到解決.這樣了解向量數(shù)乘運算律的幾何意義就有必要了.注：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算.探究3：問題6：引入向量數(shù)乘運算后,你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？師生活動：(分析總結(jié))對于向量、,如果有一個實數(shù),使,那么由向量數(shù)乘的定義知與共線,且向量是向量模的倍,而的正負由向量、的方向所決定.反過來,已知向量與共線,,且向量的長度是向量的長度的倍,即,那么當與同方向時,有；當與反方向時,有.3.共線向量定理共線向量定理：向量、共線,當且僅當有一個實數(shù),使得.問題7:1)為什么要是非零向量?2)可以是零向量嗎?3)怎樣理解向量平行？與兩直線平行有什么異同？學生活動：合作交流,獨立作答.教師活動：提問、引導、及時評價.【設(shè)計意圖】師生共同活動引出向量共線的定理；引導學生理解向量共線只需看這兩個向量的方向相同或是相反,在向量的前提下,向量、共線,當且僅當有一個實數(shù),使得；且實數(shù)的唯一性是由向量和的模和方向同時決定.通過學生合作交流,促進學生合作的集體意識；通過學生獨立作答,提高學生分析問題、解決問題的能力.四、理解新知1．是一個向量,也有長度和方向,其長度為,其方向與的符號有關(guān),當λ>0時,的方向與的方向相同；當λ<0時,的方向與的方向相反.當時,2．向量數(shù)乘的幾何意義就是將表示向量的有向線段伸長或壓縮：當時,表示的有向線段在原方向()或反方向()上伸長為原來的倍；當時,表示的有向線段在原方向()或反方向()上縮小為原來的倍.3．與非零向量共線的單位向量為；4.準確理解向量共線定理：(1)定理本身包含了正反兩個方面：若存在一個實數(shù),使(),則向量、共線；反之,若向量、共線,則必存在一個實數(shù),使得；(2)定理中限定的原因是：若,雖然與共線,但不存在實數(shù),使；若,可以是任意實數(shù)；(3)若向量、不共線,且,則必有五、運用新知例1計算(口答)(1) (2)(3)解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=練習:教材第5題【設(shè)計意圖】通過例題及練習要求學生熟練運用向量數(shù)乘運算的運算律.教學中,不能讓學生將本題簡單地看作字母的代數(shù)運算,可以讓他們在代數(shù)運算的同時說出其幾何意義,使學生明確向量數(shù)乘運算的特點.CAoBCAoACAoOCAo例2已知任意兩非零向量、,試作CAoBCAoACAoOCAo解：作圖如右(過程略)依圖觀察,知三點共線.證明如下： ∵又∴,又與有公共點,∴三點共線.【設(shè)計意圖】利用向量共線判斷三點共線的方法,這是判斷三點共線常用的方法.教學中可以先讓學生作圖,通過觀察圖形得到A、B、C三點共線的猜想,再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點共線,本題主要引導學生理清思路,具體過程可由學生完成變式練習:1.如圖,已知、,試判斷與是否共線?CEABD解：∵CEABD又∴與共線.評析：證明向量共線,可以直接運用定理.2.如上圖,若的三等分點,利用向量關(guān)系來證明證明：∵∴∥∵不重合,∴【設(shè)計意圖】通過變式訓練了解共線向量定理的應(yīng)用二：判斷三點共線以及應(yīng)用三：判斷直線平行例3如圖,的兩條對角線相交于點,且,你能用表示嗎？解：在中,∵,又∵平行四邊形的對角線互相平分,【設(shè)計意圖】綜合運用向量的加、減、數(shù)乘等向量的線性運算.尤其是應(yīng)當注意到,從而可簡化解題過程,并且在實際的解題中做到舉一反三,融會貫通；通過例3的教學使學生明確：有了向量的線性運算,平面中的點、線段(直線)就可以得到向量表示,這是利用向量解決幾何問題的重要步驟.練習：已知的兩條對角線相交于點,且,用向量分別表示向量六、課堂小結(jié)一、①的定義及運算律；②共線向量定理,向量與共線.二、定理的應(yīng)用：(1)證明向量共線；(2)證明三點共線：三點共線；(3)證明兩直線平行.三、思想方法特殊到一般,歸納,猜想,類比,分類討論,等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.【設(shè)計意圖】讓學生進一步鞏固所學知識,并提高一個層次認識所學知識,與前面的學習目標呼應(yīng),再次明確學習目標．七、布置作業(yè)必做題:選做題:課后拓展：在中,點是的中點,點在線段上,且,求證三點共線.八、教后反思向量的加法、減法及數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.首先復習了向量的加法、減法及幾何意義,然后借助一個有趣的例子,引入主題.本節(jié)課通過探究及數(shù)個問題的設(shè)置,層層深入,脈絡(luò)清晰,將學生置于問題情境中,激發(fā)學生的學習興趣.在“運用新知”環(huán)節(jié)中,給出的例題較多,可以根據(jù)教學實情進行選擇.本節(jié)重點內(nèi)容突出,重要的是讓學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與發(fā)展的過程,如何合理的分配探究及設(shè)置的問題與知識應(yīng)用之間的時間是順利完成教學任務(wù)的關(guān)鍵.九、板書設(shè)計2.2.3向量數(shù)乘的運算及其幾何意義1．向量數(shù)乘的定義；2．數(shù)乘向量的運算律；3.共線向量定理；例題講解例1例2、變式一變式二