高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列等比數(shù)列 第二章

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例，理解等比數(shù)列的概念并學(xué)會簡單應(yīng)用.2.掌握等比中項的概念并會應(yīng)用.3.掌握等比數(shù)列的通項公式并了解其推導(dǎo)過程．知識點一等比數(shù)列的概念思考觀察下列4個數(shù)列，歸納它們的共同特點．①1,2,4,8,16，…；②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….答案從第2項起，每項與它的前一項的比是同一個常數(shù)．梳理等比數(shù)列的概念和特點．(1)文字定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．(2)遞推公式形式的定義：eq\f(an,an－1)＝q(n>1)(或eq\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)．(3)等比數(shù)列各項均不能為0.知識點二等比中項的概念思考在2,8之間插入一個數(shù)，使之成等比數(shù)列．這樣的實數(shù)有幾個？答案設(shè)這個數(shù)為G.則eq\f(G,2)＝eq\f(8,G)，G2＝16，G＝±4.所以這樣的數(shù)有2個．梳理等比中項與等比中項的異同，對比如下表：對比項等差中項等比中項定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個數(shù)a與b的等差中項唯一a與b的等比中項有兩個，且互為相反數(shù)備注任意兩個數(shù)a與b都有等差中項只有當(dāng)ab＞0時，a與b才有等比中項知識點三等比數(shù)列的通項公式思考等差數(shù)列通項公式是如何推導(dǎo)的？你能類比推導(dǎo)首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項公式嗎？答案等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)是借助累加消去中間項，等比數(shù)列則可用累乘．根據(jù)等比數(shù)列的定義得eq\f(a2,a1)＝q，eq\f(a3,a2)＝q，eq\f(a4,a3)＝q，…，eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)．將上面n－1個等式的左、右兩邊分別相乘，得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝qn－1，化簡得eq\f(an,a1)＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2)．當(dāng)n＝1時，上面的等式也成立．∴an＝a1qn－1(n∈N*)．梳理等比數(shù)列{an}首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1.類型一證明等比數(shù)列例1已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．證明由題意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，∴an＝m2n＋2，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(m2n＋1＋2,m2n＋2)＝m2，∵m＞0且m≠1，∴m2為非零常數(shù)，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．反思與感悟判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法是利用定義，即eq\f(an＋1,an)＝q(與n無關(guān)的常數(shù))．跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(1,3)(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(1)解∵a1＝S1＝eq\f(1,3)(a1－1)，∴a1＝－eq\f(1,2).又a1＋a2＝S2＝eq\f(1,3)(a2－1)，∴a2＝eq\f(1,4).(2)證明∵Sn＝eq\f(1,3)(an－1)，∴Sn＋1＝eq\f(1,3)(an＋1－1)，兩式相減得an＋1＝eq\f(1,3)an＋1－eq\f(1,3)an，即an＋1＝－eq\f(1,2)an，∴數(shù)列{an}是首項為－eq\f(1,2)，公比為－eq\f(1,2)的等比數(shù)列．類型二等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用命題角度1方程思想例2一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項．解設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是a1，公比是q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝12，①,a1q3＝18，②))②÷①，得q＝eq\f(3,2)，將q＝eq\f(3,2)代入①，得a1＝eq\f(16,3).因此，a2＝a1q＝eq\f(16,3)×eq\f(3,2)＝8.綜上，這個數(shù)列的第1項與第2項分別是eq\f(16,3)與8.反思與感悟已知等比數(shù)列{an}的某兩項的值，求該數(shù)列的其他項或求該數(shù)列的通項常用方程思想，通過已知可以得到關(guān)于a1和q的兩個方程，從而解出a1和q，再求其他項或通項．跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.解(1)由等比數(shù)列的通項公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝20，,a1q5＝160，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5.))所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.命題角度2等比數(shù)列的實際應(yīng)用例3某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩余的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長(精確到1年，放射性物質(zhì)衰變到原來的一半所需時間稱為這種物質(zhì)的半衰期)解設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩余量是an，由條件可得，數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列．其中a1＝，q＝，設(shè)an＝，則＝.兩邊取對數(shù)，得nlg＝lg，用計算器算得n≈4.答這種物質(zhì)的半衰期大約為4年．反思與感悟等比數(shù)列應(yīng)用問題，在實際應(yīng)用問題中較為常見，解題的關(guān)鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項a1，項數(shù)n所對應(yīng)的實際含義．跟蹤訓(xùn)練3某制糖廠2023年制糖5萬噸，如果從2023年起，平均每年的產(chǎn)量比上一年增加20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開始超過30萬噸？(保留到個位，lg6≈，lg≈解記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為a1，a2，a3，…，an，….則依題意可得a1＝5，eq\f(an,an－1)＝(n≥2且n∈N*)，從而an＝5×－1，這里an＝30，故－1＝6，即n－1＝＝eq\f(lg6,lg＝eq\f,≈.故n＝11.答從2023年開始，該糖廠年制糖量開始超過30萬噸．類型三等比中項例4若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則eq\f(a,b)的值為()A．±eq\f(1,2) \f(1,2)C．1 D．±1答案D解析∵1，a,3成等差數(shù)列，∴a＝eq\f(1＋3,2)＝2，∵1，b,4成等比數(shù)列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴eq\f(a,b)＝eq\f(2,±2)＝±1.反思與感悟(1)任意兩個實數(shù)都有唯一確定的等差中項；(2)只有同號的兩個實數(shù)才有實數(shù)等比中項，且一定有2個．跟蹤訓(xùn)練4eq\r(2)＋1與eq\r(2)－1的等比中項是()A．1 B．－1C．±1 \f(1,2)答案C解析設(shè)x為eq\r(2)＋1與eq\r(2)－1的等比中項，則x2＝(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝1.∴x＝±1.1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32答案C解析由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝eq\f(a4,q)＝32.2．若等比數(shù)列的首項為4，末項為128，公比為2，則這個數(shù)列的項數(shù)為()A．4B．8C．6D．32答案C解析由等比數(shù)列的通項公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.3．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()A．64 B．81C．128 D．243答案A解析∵{an}為等比數(shù)列，∴eq\f(a2＋a3,a1＋a2)＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.4．45和80的等比中項為________．答案－60或60解析設(shè)45和80的等比中項為G，則G2＝45×80，∴G＝±60.1．等比數(shù)列的判斷或證明(1)利用定義：eq\f(an＋1,an)＝q(與n無關(guān)的常數(shù))．(2)利用等比中項：aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*)．2．兩個同號的實數(shù)a、b才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個(±eq\r(ab))，而不是一個(eq\r(ab))，這是容易忽視的地方．3．等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四個量，已知其中三個量可求得第四個量．40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于()A．4 B．8C．16 D．32答案C解析由于aeq\o\al(2,4)＝a2·a6，所以a2·a6＝16.2．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，則a4＋a5的值為()A．16 B．27C．36 D．81答案B解析∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.3．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第4項等于()A．－24 B．0C．12 D．24答案A解析由x,3x＋3,6x＋6成等比數(shù)列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x1＝－3或x2＝－1(不合題意，舍去)．故數(shù)列的第四項為－24.4．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9答案B解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b與首項－1同號，∴b＝－3，且a，c必同號．∴ac＝b2＝9.5．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m等于()A．9B．10C．11D．12答案C解析在等比數(shù)列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,1)q10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.6．已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點是(b，c)，則ad等于()A．3 B．2C．1 D．－2答案B解析∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad＝bc＝2.二、填空題7．在等比數(shù)列{an}中，若a3＝3，a10＝384，則公比q＝________.答案2解析a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，兩式相除得，q7＝128，所以q＝2.8．在160與5中間插入4個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這4個數(shù)依次為________．答案80,40,20,10解析設(shè)這6個數(shù)所成等比數(shù)列的公比為q，則5＝160q5，∴q5＝eq\f(1,32)，∴q＝eq\f(1,2).∴這4個數(shù)依次為80,40,20,10.9．已知6，a，b,48成等差數(shù)列，6，c，d,48成等比數(shù)列，則a＋b＋c＋d＝________.答案90解析6，a，b,48成等差數(shù)列，則a＋b＝6＋48＝54；6，c，d,48成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則q3＝eq\f(48,6)＝8，q＝2，故c＝12，d＝24，從而a＋b＋c＋d＝90.10．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝________.答案1解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，∴q＝eq\f(a3＋3,a1＋1)＝eq\f(a1－2＋3,a1＋1)＝1.三、解答題11．若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，b，－2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，求p＋q的值．解依題意得a＋b＝p＞0，ab＝q＞0，∴a＞0，b＞0，∴eq\f(a＋b,2)≠－2，b2≠－2a，a2≠－2b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋－2,2)＝b或\f(b＋－2,2)＝a，,－22＝ab，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，))∴p＋q＝a＋b＋ab＝1＋4＋4＝9.12．已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝eq\f(20,3)，求{an}的通項公式．解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0.a2＝eq\f(a3,q)＝eq\f(2,q)，a4＝a3q＝2q，∴eq\f(2,q)＋2q＝eq\f(20,3)，解得q1＝eq\f(1,3)，q2＝3.當(dāng)q＝eq\f(1,3)時，a1＝18，∴an＝18×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝2×33－n.當(dāng)q＝3時，a1＝eq\f(2,9)，∴an＝eq\f(2,9)×3n－1＝2×3n－3.綜上，當(dāng)q＝eq\f(1,3)時，an＝2×33－n，n∈N*；當(dāng)q＝3時，an＝2×3n－3，n∈N*