高中數(shù)學(xué)北師大版2第四章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第4章2

第四章§2(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題1．已知z＋5－6i＝3＋4i，則復(fù)數(shù)z為()A．－4＋20i B．－2＋10iC．－8＋20i D．－2＋20i解析：∵z＋5－6i＝3＋4i，∴z＝(3＋4i)－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.答案：B2．設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z為純虛數(shù)，A．－1 B．3\f(1,2) D．－1或3解析：∵z＝(2m2＋m－1)＋(3－m2＋2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1＝0,3－m2＋2m≠0，))解得m＝eq\f(1,2).答案：C3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對應(yīng)向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O為坐標原點，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝()\r(2) B．2\r(10) D．4解析：由題意eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.答案：B4．非零復(fù)數(shù)z1，z2分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的關(guān)系是()\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)) B．|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共線解析：由向量的加法及減法可知：在?OACB內(nèi)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)).非零復(fù)數(shù)z1，z2分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，由復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可知：|z1＋z2|對應(yīng)eq\o(OC,\s\up6(→))的模，|z1－z2|對應(yīng)eq\o(AB,\s\up6(→))的模，又因為|z1＋z2|＝|z1－z2|，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以四邊形OACB是矩形，因此eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，故選C.答案：C二、填空題5．復(fù)平面內(nèi)的點A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆時針順序作平行四邊形ABCD，則|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝________.解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(i－1)＋(4＋2i－1)＝2＋3i，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|2＋3i|＝eq\r(13).答案：eq\r(13)6．設(shè)f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，則f(z1－z2)是______．解析：∵f(z)＝z－2i，∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1)i－2i＝5＋3i.答案：5＋3i三、解答題7．已知復(fù)數(shù)z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i.(1)求z1－z2；(2)在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)z1－z2所對應(yīng)的向量．解析：(1)因為z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i，所以z1－z2＝(－2＋i)－(－3＋2i)＝1－i.(2)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1－z2所對應(yīng)的向量是eq\o(OZ,\s\up6(→))＝1－i，如下圖所示．8．在復(fù)平面內(nèi)A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i.(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)判斷△ABC的形狀；(3)求△ABC的面積．解析：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.eq\o(AC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)可得：|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(10)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2∴△ABC為直角三角形(3)由(2)可知，三角形為直角三角形，∠A為直角∴S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)＝29．已知平行四邊形OABC的三個頂點O、A、C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,4＋2i，－2＋4i.試求：(1)點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)判斷?OABC是否為矩形．解析：(1)∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝4＋2i＋(－2＋4i)＝2＋6i，∴點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋6i.(2)方法一：∵kOA＝eq\f(1,2)，kOC＝－2