西安工業(yè)信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)SDE-18 信號(hào)檢測(cè)理論

信號(hào)檢測(cè)理論綜述

PartIISignalDetectionTheory雷ropemind@163.com

SignalDetectionandEstimation信號(hào)檢測(cè)與估值第十六講

Spring2015

2023/2/51SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述WhatisSDEAbout?Goal:Suck

usefulinformationoutofmessydata

目標(biāo)：從雜亂的數(shù)據(jù)中提取有用信息Strategy:Formulateprobabilisticmodelofdatay,whichdependsonunderlyingparameter(s)

策略：闡明y,與未知參數(shù)的相關(guān)程度Terminologydependsonparameterspace:參數(shù)空間相關(guān)術(shù)語(yǔ)Detection(simplehypothesistesting):檢測(cè)（簡(jiǎn)單假設(shè)檢驗(yàn)）{0,1},i.e.0=targetabsent,1=targetpresent

待估參量01分布0無(wú)目標(biāo)Classification(multihypothesistesting):分類（多元假設(shè)檢驗(yàn)）{0,1,…,M},i.e.{DC-9,747,F-15,MiG-31}Estimation估值Rn,Cn,etc.(nottoohard)L2(R),(square-integrablefunctions),etc.(harder)b2023/2/52SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述估計(jì)理論Estimationtheory參數(shù)估計(jì)測(cè)試或經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù).從噪聲中接收到的信號(hào)里提取信息的統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)Abranchof

statistics

and

signalprocessing

thatdealswithestimatingthevaluesofparametersbasedonmeasured/empiricaldata統(tǒng)計(jì)和信號(hào)處理的一個(gè)分支，用于從測(cè)量和經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)中估計(jì)參數(shù)數(shù)值Theparametersdescribethephysicalscenario想定

orobjectthatanswersaquestionposedbytheestimator.

這些由估計(jì)器輸出的參數(shù)數(shù)值描述了我們想知道的物理量Forexample,itisdesiredtoestimatetheproportionofapopulationofvoterswhowillvoteforaparticularcandidate.Thatproportionistheunobservableparameter;theestimateisbasedonasmallrandomsampleofvoters.

例如，很想知道選民對(duì)特定候選人的支持率。這種支持率是很難進(jìn)行完全統(tǒng)計(jì)的；估計(jì)是在對(duì)少量人群取樣基礎(chǔ)上作出的。2023/2/53SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述估計(jì)理論Estimationtheory(con)Or,forexample,in

radar

thegoalistoestimatethelocationofobjects(airplanes,boats,etc.)byanalyzingthereceivedechoandapossiblequestiontobeposedis“wherearetheairplanes?”

又如，雷達(dá)的設(shè)計(jì)目標(biāo)是通過(guò)回波估計(jì)出目標(biāo)的位置，回答……

Toanswerwheretheairplanesare,itisnecessarytoestimatethedistancetheairplanesareatfromtheradarstation相對(duì)雷達(dá)站的位置,whichcanprovideanabsolutelocationiftheabsolutelocationoftheradarstationisknown.

當(dāng)雷達(dá)站位置已知?jiǎng)t可以獲得絕對(duì)定位。

Inestimationtheory,itisassumedthatthedesiredinformationisembeddedintoanoisysignal.估計(jì)中，假設(shè)想要的信號(hào)含噪。Noiseaddsuncertainty噪聲添加了不確定性andiftherewasnouncertaintythentherewouldbenoneedforestimation.如果沒(méi)有這種不確定性，則談不上估計(jì)。2023/2/54SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述檢測(cè)理論

Detectiontheoryor

信號(hào)檢測(cè)理論signaldetectiontheory噪聲中信號(hào)檢測(cè)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)理論isameanstoquantifytheabilitytodiscernbetweensignal

andnoise.區(qū)分是信號(hào)還是噪聲的方法。Ithasapplicationsinmanyfieldssuchasquality

control質(zhì)量控制,

telecommunications電話通信,and

psychology心理學(xué).Theconceptissimilartothe

signaltonoiseratiousedinthesciences與自然科學(xué)中信噪比的概念類似,anditisalsousablein

alarmmanagement報(bào)警管理,whereitisimportanttoseparateimportanteventsfrom

background

noise

因?yàn)閺谋尘霸肼曋蟹蛛x出重要事件非常關(guān)鍵.2023/2/55SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述檢測(cè)理論

Detectiontheory(con)Accordingtothetheory,thereareanumberofpsychologicaldeterminersofhowwewilldetectasignal,andwhereourthresholdlevelswillbe.理論上講，有很多心理上的因素，如如何檢測(cè)信號(hào)、閾值在什么地方等

。Experience經(jīng)驗(yàn),expectations期望,physiologicalstate生理狀態(tài)(e.g,fatigue如疲勞)andotherfactorsaffectthresholds閾值.Forinstance,asentry哨兵inwartimewilllikelydetectfainterstimulithanthesamesentryinpeacetime.

例如，哨兵在戰(zhàn)時(shí)比和平時(shí)期更容易。。。。2023/2/56SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述判決問(wèn)題：是A不是A？雷達(dá)和聲納信號(hào)處理Threshold閾值2023/2/57SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述其它數(shù)字通信：從接收信號(hào)中判決發(fā)送方是0還是1聲納：檢測(cè)敵方潛艇的出現(xiàn)圖像處理：使用紅外檢測(cè)飛機(jī)的出現(xiàn)生物醫(yī)學(xué)：檢測(cè)心臟的心律失常的出現(xiàn)語(yǔ)音識(shí)別：從語(yǔ)音波形中區(qū)分出數(shù)字12345控制：檢測(cè)被控系統(tǒng)突然變化的出現(xiàn)地震學(xué)：地下油田與非油田的檢測(cè)2023/2/58SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述Signal-to-NoiseRatio信噪比MeasuredindB!!!!!AbilitytorecognizetargetinrandomnoiseNoiseisalwayspresent.Atsomerange,noiseisgreaterthattarget’sreturnNoisesetslowerlimitofunit’ssensitivityThresholdlevel

閾值usedtoremoveexcessnoiseThreshold閾值2023/2/59SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述信源概率轉(zhuǎn)移機(jī)構(gòu)觀測(cè)空間R判決準(zhǔn)則H0或H1H0或H1觀測(cè)空間R：在信源不同輸出下，觀測(cè)空間R是由概率轉(zhuǎn)移機(jī)構(gòu)所形成的可能觀測(cè)的集合。觀測(cè)量可以是一維的，也可以是N維矢量。 兩種信號(hào)狀態(tài)下N維觀測(cè)信號(hào)矢量的N維聯(lián)合概率密度為。如果沒(méi)有噪聲的干擾，信源輸出的某一種確知信號(hào)將映射到觀測(cè)空間中的某一點(diǎn)，但在噪聲干擾的情況下，他將以一定的概率映射到整個(gè)觀測(cè)空間，觀測(cè)空間某點(diǎn)的概率為。第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.2假設(shè)檢測(cè)的基本概念基本檢測(cè)理論模型2023/2/510SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述信源概率轉(zhuǎn)移機(jī)構(gòu)觀測(cè)空間R判決準(zhǔn)則H0或H1H0或H1基本檢測(cè)理論模型判決準(zhǔn)則：觀測(cè)信號(hào)落入觀測(cè)空間后，就可以用來(lái)推斷哪一個(gè)假設(shè)成立是合理的，即判決信號(hào)屬于哪種狀態(tài)。為此需要建立一個(gè)判決準(zhǔn)則，判決觀測(cè)空間的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)相應(yīng)的假設(shè)Hi（i=0,1)例如：在二元信號(hào)檢測(cè)中，把整個(gè)觀測(cè)空間R劃分為R0和R1兩個(gè)子空間，稱為判決域。判決準(zhǔn)則2023/2/511SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述1.3檢測(cè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述：概率的觀點(diǎn)噪聲增加11以1檢測(cè)為例：X＝1＋w[n]X=w[n]100010Thresholdlevel信號(hào)檢出00：檢出1：虛警FalseAlert10：漏檢Miss1：檢出hit2023/2/512SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述檢出概率Pd：正確檢出有信號(hào)（是1、是0）虛警概率Pfa：非1而檢測(cè)判決為1漏檢概率Pm：是1而檢測(cè)判決為02023/2/513SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述二元假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)對(duì)照表統(tǒng)計(jì)學(xué)家檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(T(x))和門(mén)限(r)零假設(shè)(H0)備選假設(shè)(H1)判定域第一類錯(cuò)誤(當(dāng)H0為真時(shí)判H1成立)第二類錯(cuò)誤(當(dāng)H1為真時(shí)判H0成立)顯著性水平或檢驗(yàn)的尺度(a)第二類錯(cuò)誤概率(b)檢驗(yàn)的勢(shì)(1一b)工程師檢測(cè)器只有噪聲假設(shè)信號(hào)+噪聲假設(shè)信號(hào)存在判決域虛警(FAFalseAlert)漏警（Miss）虛警概率(PFA)漏檢概率(PM)檢測(cè)概率(PD)2023/2/514SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述二元檢測(cè)與多元檢測(cè)語(yǔ)音判決：從輸入中判決是0到9的哪一個(gè)DecisionBoundaries判別邊界EBF(diagonalcov.Matrices)EBF(fullcov.Matrices)2023/2/515SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述多元假設(shè)檢驗(yàn)：QAM最大似然解碼

MaximumLikelihoodDecodingLetCbethecodeweusefortransmissionandubethewordwhichisreceivedthroughthechannel.

C發(fā)送，收到VCMLD

(CompleteMaximumLikelihoodDecoding):Ifvsatisfiesthatd(v,u)isminimumforallcodewordsinC,thenweconcludethatvisthetransmittedcodewordnomattervisuniqueornot.

v斷定為某碼字C原則是d最小的（最接近），不管是否獨(dú)立IMLD(IncompleteMLD):Ifv(asabove)isnotunique,thenaskforretransmission.非獨(dú)立，可能多碼字，要求重傳12ERROR2023/2/516SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述4QAM16QAM64QAMCarriertoInterference(C/I)Codeset64164Noise/

interferenceTerminalmeasurescarriertointerference(C/I)andreportstoBS

終端測(cè)量載波相互沖突干涉（混合載波），將其傳給BSLowerQAMmodulationsmorerobustinpoorC/Iconditions

要調(diào)制不好的混合載波需降低QAM正交幅度調(diào)制來(lái)提高魯棒性Modulation&codingstructureshavebeenidentifiedthatcomewithin2dBofShannonlimit.調(diào)制和編碼已經(jīng)在香農(nóng)定理中被限定在2dVBTimeAdaptiveModulation&Coding自適應(yīng)調(diào)制和編碼2023/2/517SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述二元假設(shè)檢驗(yàn)樸素想法：錯(cuò)判代價(jià)相同ASK、FSK、PSK中，判0還是判1？錯(cuò)判均為誤碼如果同分布，如果不同分布？var(0)var(1)2023/2/518SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述二元假設(shè)檢驗(yàn)：虛警概率一定情況下的門(mén)限PDF：N(0,1)N(1,1)－－－－N(u,δ2)需要根據(jù)單個(gè)觀測(cè)x[0]來(lái)確定u＝0還是＝1－－－二元假設(shè)檢驗(yàn)下希望使達(dá)到最大虛警概率Neyman-Pearson方法：在給定約束條件“狼來(lái)了”的教訓(xùn)2023/2/519SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述檢驗(yàn)勢(shì)和最佳判定域選擇使Pd最大的R集。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，Pd稱為檢驗(yàn)的勢(shì)(powerofthetest)。獲得最大勢(shì)的判定域稱為最佳判定域。2023/2/520SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述3.3Neyman-Pearson定理定理3.1(NeymanPearson)對(duì)于一個(gè)給定的其中門(mén)限由求出似然比檢驗(yàn)使PD最大的判決為NP(Neyman-Pearson)檢測(cè)器虛警概率判決門(mén)限2023/2/521SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述各類錯(cuò)誤

隨

門(mén)限變化2023/2/522SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述Ex3.2WGS中DC電平P506NP(Neyman-Pearson)檢測(cè)器2023/2/523SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述給定PFA,檢測(cè)性能隨ENR單調(diào)遞增

ENR:信號(hào)能量噪聲比

signalenergy-to-noiseratio,ENR2023/2/524SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述假設(shè)Hj為真時(shí)判決所付出的條件平均代價(jià)為若Hj為真的概率P(Hj

)已知，則判決所付出的總平均代價(jià)（也稱為平均風(fēng)險(xiǎn)）為貝葉斯準(zhǔn)則(BayesCriterion)：平均代價(jià)最小貝葉斯準(zhǔn)則：就是在假設(shè)Hj的先驗(yàn)概率P(Hj)已知，各種判決代價(jià)因子Cij給定的情況下，使平均代價(jià)C最小的準(zhǔn)則。代價(jià)因子Cij：表示假設(shè)Hj為真時(shí)，判決假設(shè)Hi成立所付出的代價(jià)。約束條件C10>C00，C01>C11。2023/2/525SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述貝葉斯準(zhǔn)則（Bayes)極小化極大準(zhǔn)則（minimax)奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則（Neymann-Pearson)……貝葉斯準(zhǔn)則（BayesCriterion)貝葉斯準(zhǔn)則：就是在假設(shè)Hj的先驗(yàn)概率P(Hj)已知，各種判決代價(jià)因子Cij給定的情況下，使平均代價(jià)C最小的準(zhǔn)則。1.概念代價(jià)因子Cij：表示假設(shè)Hj為真時(shí)，判決假設(shè)Hi成立所付出的代價(jià)。約束條件C10>C00，C01>C11。常用的信號(hào)檢測(cè)準(zhǔn)則2023/2/526SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述ThreeCommonCostFunctions2023/2/527SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述假設(shè)Hj為真時(shí)判決所付出的條件平均代價(jià)為若Hj為真的概率P(Hj

)已知，則判決所付出的總平均代價(jià)（也稱為平均風(fēng)險(xiǎn)）為貝葉斯準(zhǔn)則：平均代價(jià)C的表達(dá)式2023/2/528SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述2023/2/529SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述2023/2/530SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述2023/2/531SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述2023/2/532SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述2023/2/533SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述信源概率轉(zhuǎn)移機(jī)構(gòu)觀測(cè)空間R判決準(zhǔn)則H0或H1H0或H1觀測(cè)空間R：在信源不同輸出下，觀測(cè)空間R是由概率轉(zhuǎn)移機(jī)構(gòu)所形成的可能觀測(cè)的集合。觀測(cè)量可以是一維的，也可以是N維矢量。 兩種信號(hào)狀態(tài)下N維觀測(cè)信號(hào)矢量的N維聯(lián)合概率密度為。如果沒(méi)有噪聲的干擾，信源輸出的某一種確知信號(hào)將映射到觀測(cè)空間中的某一點(diǎn)，但在噪聲干擾的情況下，他將以一定的概率映射到整個(gè)觀測(cè)空間，觀測(cè)空間某點(diǎn)的概率為。第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.2假設(shè)檢測(cè)的基本概念基本檢測(cè)理論模型2023/2/534SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述信源概率轉(zhuǎn)移機(jī)構(gòu)觀測(cè)空間R判決準(zhǔn)則H0或H1H0或H1基本檢測(cè)理論模型判決準(zhǔn)則：觀測(cè)信號(hào)落入觀測(cè)空間后，就可以用來(lái)推斷哪一個(gè)假設(shè)成立是合理的，即判決信號(hào)屬于哪種狀態(tài)。為此需要建立一個(gè)判決準(zhǔn)則，判決觀測(cè)空間的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)相應(yīng)的假設(shè)Hi（i=0,1)例如：在二元信號(hào)檢測(cè)中，把整個(gè)觀測(cè)空間R劃分為R0和R1兩個(gè)子空間，稱為判決域。判決準(zhǔn)則2023/2/535SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述

M元信號(hào)檢測(cè)中，信源有M種可能的輸出信號(hào)狀態(tài)，分別記為Hj,(j=0,1,2,……,M-1)。在噪聲的干擾背景中，信源的每種輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)概率轉(zhuǎn)移機(jī)構(gòu)生成隨機(jī)觀測(cè)量。M元信號(hào)檢測(cè)的判決域R6R0R1R2R3R4R5第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.2假設(shè)檢測(cè)的基本概念M元信號(hào)檢測(cè)理論模型2023/2/536SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.2假設(shè)檢測(cè)的基本概念判決假設(shè)H0H1H0（H0|H0）（H1|H1）H1（H1|H0）（H0|H1）二元信號(hào)的判決結(jié)果。對(duì)于二元假設(shè)檢驗(yàn)，判決結(jié)果必然是下面四中情況之一：(1)假設(shè)H0為真，判決假設(shè)H0成立，記為（H0|H0）；正確判斷(2)假設(shè)H0為真，判決假設(shè)H1成立，記為（H1|H0）；錯(cuò)誤判斷(3)假設(shè)H1為真，判決假設(shè)H0成立，記為（H0|H1）；錯(cuò)誤判斷(4)假設(shè)H1為真，判決假設(shè)H1成立，記為（H1|H1）；正確判斷二元信號(hào)的判決情況2023/2/537SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.2假設(shè)檢測(cè)的基本概念判決假設(shè)H0H1H0P（H0|H0）P（H0|H1）H1P（H1|H0）P（H1|H1）P(Hi|Hj)含義：在假設(shè)Hj為真的條件下，判決假設(shè)Hi成立的概率。假設(shè)觀測(cè)量落在Ri域判決Hi成立，則有二元信號(hào)的判決概率2023/2/538SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述x0P(n)+AxP(x|H1)-AxP(x|H0)舉例說(shuō)明，當(dāng)N=1時(shí)。二元信號(hào)的概率分布2023/2/539SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.2假設(shè)檢測(cè)的基本概念x+AP(x|H1)-AP(x|H0)P(H1|H0)x0R1R0P(H0|H1)二元信號(hào)檢測(cè)的判決域劃分與判決概率2023/2/540SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.2假設(shè)檢測(cè)的基本概念P(Hi|Hj)含義：在假設(shè)Hj為真的條件下，判決假設(shè)Hi成立的概率。假設(shè)觀測(cè)量落在Ri域判決Hi成立，則有顯然將有M2種判決結(jié)果，其中只有M種判決是正確的。小結(jié)：為了獲得某種意義上的最佳檢測(cè)結(jié)果，需正確劃分觀測(cè)空間R中各個(gè)判決域Ri(i=0,1,2,…,M-1）。問(wèn)題：需要尋求最佳檢測(cè)準(zhǔn)則，獲得最佳檢測(cè)結(jié)果。M元信號(hào)的情況2023/2/541SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述貝葉斯準(zhǔn)則（Bayes)極小化極大準(zhǔn)則（minimax)奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則（Neymann-Pearson)……3.3貝葉斯準(zhǔn)則（BayesCriterion)貝葉斯準(zhǔn)則：就是在假設(shè)Hj的先驗(yàn)概率P(Hj)已知，各種判決代價(jià)因子Cij給定的情況下，使平均代價(jià)C最小的準(zhǔn)則。1.概念代價(jià)因子Cij：表示假設(shè)Hj為真時(shí)，判決假設(shè)Hi成立所付出的代價(jià)。約束條件C10>C00，C01>C11。常用的信號(hào)檢測(cè)準(zhǔn)則2023/2/542SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述假設(shè)Hj為真時(shí)判決所付出的條件平均代價(jià)為若Hj為真的概率P(Hj

)已知，則判決所付出的總平均代價(jià)（也稱為平均風(fēng)險(xiǎn)）為貝葉斯準(zhǔn)則：平均代價(jià)C的表達(dá)式2023/2/543SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述整理得：固定平均代價(jià)q(x)2023/2/544SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述根據(jù)Bayes準(zhǔn)則，應(yīng)使C最小。判決域劃分:在R0域內(nèi)，q(x)<0.Bayes判決準(zhǔn)則：即LRT其中：λ(x)稱為似然比函數(shù)，η稱為似然比檢測(cè)門(mén)限。說(shuō)明：似然比檢驗(yàn)（LRT：likelihoodRatioTest)是似然比函數(shù)λ(x）于與檢測(cè)門(mén)限η進(jìn)行比較，λ(x）是一個(gè)依賴于觀測(cè)量x的函數(shù)，因此是一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。2023/2/545SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述簡(jiǎn)化形式：如果似然函數(shù)含有指數(shù)形式，可以簡(jiǎn)化判決準(zhǔn)則，即簡(jiǎn)化的貝葉斯準(zhǔn)則為似然判決器λ(x）計(jì)算器判決器xkη2023/2/546SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述對(duì)數(shù)似然判決器lnλ(x）計(jì)算器判決器xkη2023/2/547SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.3貝葉斯準(zhǔn)則例題：在二元數(shù)字通信系統(tǒng)中，假設(shè)為H1時(shí)，信源輸出為正電壓A，假設(shè)為H0時(shí)，信源輸出為零電平。信號(hào)在通信信道傳輸過(guò)程中疊加了高斯噪聲n(t)；每種信源的持續(xù)時(shí)間為T(mén)，在接收端對(duì)接收到的信號(hào)x(t)在T時(shí)間內(nèi)進(jìn)行N次獨(dú)立采樣，樣本為xk（k=1,2,…,N)。已知噪聲樣本nk是均值為零、方差為σn2的高斯噪聲。（1)試建立信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)的信號(hào)模型；（2）若似然檢測(cè)門(mén)限已知，確定似然比檢驗(yàn)的判決表達(dá)式；（3）計(jì)算判決概率P(H1|H0)和P(H1|H1)。貝葉斯準(zhǔn)則Ex1.2023/2/548SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述解：（1）接收信號(hào)模型為：解：（1）接收信號(hào)模型為：在（0，T）內(nèi)進(jìn)行N次獨(dú)立采樣后，接收信號(hào)模型為：其中xk

之間相互獨(dú)立。2023/2/549SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述（2）已知在兩種假設(shè)情況下，似然函數(shù)為：由于N次采樣的樣本xk

之間是獨(dú)立同分布（iid)的，所以2023/2/550SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述這樣，似然比函數(shù)為似然比函數(shù)檢驗(yàn)（LRT）為2023/2/551SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述取對(duì)數(shù)進(jìn)一步整理得（3）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是N個(gè)信號(hào)的平均值，它是xk（k=1,2,…,N)的函數(shù)，是個(gè)隨機(jī)變量。說(shuō)明：由于N次采樣的樣本xk之間是獨(dú)立同分布（iid)的，因此l(x)在兩種假設(shè)情況下均服從高斯分布，均值和方差計(jì)算過(guò)程如下。2023/2/552SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述假設(shè)H0情況下，均值和方差分別為：假設(shè)H1情況下，同樣的方法計(jì)算均值和方差為：2023/2/553SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述用l表示l(x)，有根據(jù)判決準(zhǔn)則，2023/2/554SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述解畢。2023/2/555SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述例題：設(shè)二元假設(shè)檢驗(yàn)的觀測(cè)信號(hào)模型為其中n為均值為零，方差為0.5的高斯觀測(cè)噪聲。若兩種假設(shè)是等先驗(yàn)概率的，代價(jià)因子分別為試求最佳（貝葉斯）判決表示式和平均代價(jià)C。貝葉斯準(zhǔn)則Ex22023/2/556SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述解：似然比檢測(cè)門(mén)限為2023/2/557SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述Bayes判決表示式為兩邊取對(duì)數(shù)，得顯然似然比函數(shù)服從高斯分布，令l(x)=x在兩種假設(shè)下，有2023/2/558SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述說(shuō)明：如果調(diào)整檢測(cè)門(mén)限偏離了-0.1733，則計(jì)算出的C均大于1.8269，這從側(cè)面驗(yàn)證了貝葉斯準(zhǔn)則的卻能使平均代價(jià)最小。2023/2/559SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論概念：在對(duì)各假設(shè)的先驗(yàn)概率P(Hj)和各種判決的代價(jià)因子Cij進(jìn)行約束的條件下，將會(huì)得到它的派生準(zhǔn)則。本節(jié)主要討論二元信號(hào)情況下，貝葉斯派生的幾種準(zhǔn)則。1.最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則派生過(guò)程：當(dāng)C00=C11=0，C10=C01=1時(shí)，平均代價(jià)為派生貝葉斯準(zhǔn)則2023/2/560SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則：使平均錯(cuò)誤概率最小的準(zhǔn)則。（minimummeanprobabilityoferrorcriterion)類似于貝葉斯準(zhǔn)則的分析方法，Pe表示為為了使Pe最小，將所有滿足q(x)<0的x劃歸R0域，判決假設(shè)H0成立。q(x)這樣，所有滿足q(x)>0的劃歸R1域，判決假設(shè)H1成立。2023/2/561SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述此時(shí)，LRT（似然比判決）式為L(zhǎng)RT式的簡(jiǎn)化形式為2023/2/562SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述2.最大似然準(zhǔn)則(maximumlikelihoodcriterion)派生過(guò)程：當(dāng)C00=C11=0，C10=C01=1，P(H0)=P(H1)=0.5LRT為說(shuō)明：最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則和最大似然準(zhǔn)則都是貝葉斯準(zhǔn)則特例。2023/2/563SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述例：在OOK通信系統(tǒng)中，兩個(gè)假設(shè)下的觀測(cè)信號(hào)模型為其中，觀測(cè)噪聲n~N(0,σn2)；信號(hào)A是常數(shù)，且A>0。若兩個(gè)假設(shè)的先驗(yàn)概率P(Hj)相等，代價(jià)因子C00=C11=0，C10=C01=1，采用最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則，確定判決表示式，并求平均錯(cuò)誤概率。解：在兩個(gè)假設(shè)下，觀測(cè)量x的概率密度函數(shù)分別為2023/2/564SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述因?yàn)镃00=C11=0，C10=C01=1，P(H0)=P(H1)=0.5經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理得此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量l(x)=x。有2023/2/565SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述根據(jù)檢測(cè)準(zhǔn)則，判決門(mén)限為A/2，所以兩種錯(cuò)誤檢測(cè)概率為：2023/2/566SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述這樣平均錯(cuò)誤概率為說(shuō)明：顯然信噪比越高，平均錯(cuò)誤概率就越小，檢測(cè)性能就越好。2023/2/567SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述3.最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則(maximumaposteriorprobabilitycriterion)派生過(guò)程：當(dāng)C10-C00=C01-C11時(shí)，判決準(zhǔn)則表達(dá)式為貝葉斯準(zhǔn)則等價(jià)表示為2023/2/568SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.4派生貝葉斯準(zhǔn)則說(shuō)明：在已知觀測(cè)量x條件下,假設(shè)H1和H2為真的概率稱為后驗(yàn)概率。2023/2/569SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述4.極小化極大準(zhǔn)則貝葉斯準(zhǔn)則應(yīng)用條件：給定代價(jià)因子和先驗(yàn)概率。貝葉斯準(zhǔn)則問(wèn)題：當(dāng)給定代價(jià)因子，而先驗(yàn)概率未知，此時(shí)判決門(mén)限η=η[P(H0)]是P(H0）的函數(shù)，如何檢測(cè)？解決方法：當(dāng)給定代價(jià)因子，而先驗(yàn)概率未知時(shí)，采用極小化極大準(zhǔn)則。2023/2/570SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述為了描述方便，現(xiàn)將有關(guān)符號(hào)改記如下：平均代價(jià)為：當(dāng)代價(jià)因子確定，而先驗(yàn)概率未知，此時(shí)判決門(mén)限η是P1的函數(shù)，即η=η(P1)，則PF和PM也是P1的函數(shù)，整理C得：虛警概率：漏報(bào)概率：2023/2/571SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述說(shuō)明：可以證明，當(dāng)似然比λ(x)

是嚴(yán)格單調(diào)的概率分布隨機(jī)變量時(shí)，貝葉斯平均代價(jià)C是P1的上凸函數(shù)。如圖中曲線a所示。平均代價(jià)C與P1的關(guān)系曲線分析：P1未知，為了仍能采用貝葉斯準(zhǔn)則，只能假設(shè)一個(gè)先驗(yàn)概率P1g，得到貝葉斯準(zhǔn)則的似然判決門(mén)限η=η（P1g），由此可以計(jì)算獲得PM(P1g)和PF(P1g)

。

0P1gP1g*

1P1C(P1)aCmin2023/2/572SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述平均代價(jià)C與P1的關(guān)系曲線C(P1)a0P1gP1g*

P111P1b分析：此時(shí)的平均代價(jià)與實(shí)際的先驗(yàn)概率之間的關(guān)系是一條直線，如圖中曲線b所示。從圖中可以觀察到，除了P1g點(diǎn)外，其他的P1處b曲線的值均大于a曲線的值。

如P1=P11時(shí)，實(shí)際的平均代價(jià)遠(yuǎn)大于最小平均代價(jià)Cmin。Cmin此時(shí)的平均代價(jià)有如關(guān)系：?jiǎn)栴}：既然無(wú)法預(yù)測(cè)P1g與實(shí)際的P1之間偏差的大小，如何避免產(chǎn)生過(guò)分大的代價(jià)？2023/2/573SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述問(wèn)題：既然無(wú)法預(yù)測(cè)P1g與實(shí)際的P1之間偏差的大小，如何避免產(chǎn)生過(guò)分大的代價(jià)？解決辦法：使猜測(cè)先驗(yàn)概率為P1g*

，獲得的平均代價(jià)曲線如c所示。雖然此處貝葉斯準(zhǔn)則的平均代價(jià)最大，但此時(shí)無(wú)論實(shí)際的先驗(yàn)概率P1與P1g

*有多大的偏差，平均代價(jià)都等于Cminmax，不會(huì)產(chǎn)生更大的代價(jià)。

平均代價(jià)C與P1的關(guān)系曲線C(P1)a0P1gP1g*

P111P1bCminCminmaxc2023/2/574SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述P1g*的求解方法如下。令整理得這就是極小化極大準(zhǔn)則的極小化極大方程。解方程就可求得P1g

*，從而得到似然比門(mén)限η*。此時(shí)的平均代價(jià)：2023/2/575SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述近一步分析。此時(shí)極小化極大代價(jià)就是平均錯(cuò)誤概率。（極小化極大方程）（極小化極大方程）2023/2/576SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述例2：在OOK通信系統(tǒng)中，兩個(gè)假設(shè)下的觀測(cè)信號(hào)模型為其中，觀測(cè)噪聲n~N（0，σn2）;信號(hào)A是常數(shù)，且A>0。若兩個(gè)假設(shè)的先驗(yàn)概率P(Hj)未知，代價(jià)因子C00=C11=0，C10=C01=1，采用極小化極大準(zhǔn)則，試確定檢測(cè)門(mén)限和平均錯(cuò)誤概率。解：在兩個(gè)假設(shè)下，觀測(cè)量x的概率密度函數(shù)分別為2023/2/577SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述似然比函數(shù)為假設(shè)判決門(mén)限為η，則化簡(jiǎn)得顯然，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量l(x)=x.2023/2/578SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述因?yàn)镃00=C11=0，C10=C01=1，X在兩種假設(shè)情況均服從高斯分布，根據(jù)判決準(zhǔn)則，有此時(shí)極小化極大方程為：PF=PM，2023/2/579SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述即極小化極大方程為解得此時(shí)平均錯(cuò)誤概率式中2023/2/580SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述分析：

Cij未知，P(Hi)未知，判決門(mén)限無(wú)法確定。此時(shí)人們最關(guān)心的是判決概率

P（H1|H0）和P（H1|H1）。(1)奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的概念希望：P（H1|H0）小，P（H1|H1）大。奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則

Neyman-PearsonCriterion\N-P2023/2/581SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述xxP(x|Hj)P(x|H1)P(x|H0)R1R0P(H1|H1)P(H1|H0)P(x|H1)P(x|H0)η2023/2/582SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述N-P準(zhǔn)則：在錯(cuò)誤概率PF=P(H1|H0)=α

的約束條件下，使正確判決概率P(H1|H1)=最大的準(zhǔn)則。N-P準(zhǔn)則應(yīng)用：雷達(dá)、聲納等信號(hào)的檢測(cè)問(wèn)題。PF=P(H1|H0)也稱為虛警概率；PD=P(H1|H1)也稱為檢測(cè)概率。(2)奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則存在的說(shuō)明說(shuō)明：原則上判決域R0和R1有無(wú)限多種劃分的方法，他們都可以在保證錯(cuò)誤概率PF一定，但是他們的檢測(cè)概率卻是不同的。2023/2/583SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.4派生貝葉斯準(zhǔn)則xP(x|H1)P(x|H0)R1R0P(H1|H1)方法一P(H1|H0)P(H1|H0)P(x|H0)R1R02023/2/584SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.4派生貝葉斯準(zhǔn)則方法三P(H1|H0)問(wèn)題：在虛警概率PF=

P(H1|H0)相同的情況下，不同的判決準(zhǔn)則將得到不同大小的檢測(cè)概率PD。如何獲得最大的PD？P(x|H0)R1R0R02023/2/585SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述(3)奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則的判決表達(dá)式目標(biāo)：P(H1|H0)=α

，P(H1|H1)=最大，即J=P(H0|H1)最小。利用拉格朗日（Largrange)乘子μ（μ≥0），構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

固定、非負(fù)

q(x)分析：要使J最小，將x滿足q(x)<0的部分劃給R0域，其余給R1。第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.4派生貝葉斯準(zhǔn)則2023/2/586SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述似然比檢驗(yàn)的形式為為了滿足P(H1|H0)=α

約束條件，選擇的μ需要滿足即解上面方程，可以求出判決門(mén)限μ。說(shuō)明：實(shí)現(xiàn)過(guò)程中需要分析檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的分布特征。2023/2/587SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述奈曼-皮爾遜（N-P）準(zhǔn)則與Bayes準(zhǔn)則之間的關(guān)系：貝葉斯準(zhǔn)則顯然，當(dāng)N-P準(zhǔn)則Bayes準(zhǔn)則就變成了N-P準(zhǔn)則。小結(jié)：奈曼-皮爾遜（N-P）準(zhǔn)則是貝葉斯準(zhǔn)則的特例。2023/2/588SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述例3：在二元數(shù)字通信系統(tǒng)中，假設(shè)為H1時(shí)信源輸出為1，假設(shè)為H0時(shí)信源輸出為0，信號(hào)在通信信道上傳輸時(shí)疊加了均值為零、方差為1的高斯噪聲。試構(gòu)造一個(gè)P（H1|H0）=0.1的N-P接收機(jī)。解：已知α＝0.1因?yàn)樵肼昻服從N（0，1）用x表示接收信號(hào)，n表示噪聲，則兩種假設(shè)情況下接收信號(hào)2023/2/589SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述似然比為化簡(jiǎn)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為x。當(dāng)約束條件滿足時(shí)，有解得2023/2/590SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述檢驗(yàn)概率為P(x|Hj)P(l|H1)P(l|H0)11.29P(H1|H1)2023/2/591SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述（1）Cij和P(Hi)均已知,采用Bayes準(zhǔn)則；（3）P(Hi)=0.5，C00=C11=0，C10=C01=1，最大似然概率準(zhǔn)則；（4）P(Hi)未知，C00-C11=C10-C01，最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則；（5）Cij已知，P(Hi)未知,采用極小化極大準(zhǔn)則；（2）P(Hi)已知，C00=C11=0，C10=C01=1，采用的最小平均錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則。（6）Cij未知，P(Hi)未知,采用N-P準(zhǔn)則，但需有其他條件。二元信號(hào)檢測(cè)判決準(zhǔn)則小結(jié)2023/2/592SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述第三章信號(hào)檢測(cè)的基本理論3.5假設(shè)檢驗(yàn)的性能假設(shè)檢驗(yàn)的性能—小結(jié)：不論那種準(zhǔn)則，其檢驗(yàn)性能的優(yōu)劣都體現(xiàn)在虛警概率PF和檢測(cè)概率PD上。P(l|H1)P(l|H0)PDP(l|H1)P(l|H0)PF接收機(jī)的工作特性2023/2/593SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述說(shuō)明：經(jīng)過(guò)計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)，雖然觀測(cè)空間R中的隨機(jī)變量x的類型有所不同，但是接收機(jī)的工作特性（ROC：ReceiverOperatingCharacteristic）總是具有相似的形狀，如圖所示。11PFPDSNR增加門(mén)限η增加0η=0η=∞SNR=0小結(jié)：接收機(jī)工作特性（ROC）是似然檢驗(yàn)性能的完整描述。接收機(jī)工作特性（ROC）如：對(duì)于N-P準(zhǔn)則，給定了PF=α，則其解就是PF=α的直線與SNR=d1工作特性曲線的交點(diǎn)c,該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的PD就是PF=α約束條件下，SNR=d1時(shí)的檢測(cè)概率。d1αc2023/2/594SDE_16信號(hào)檢測(cè)理論綜述信源有M個(gè)可能的輸出時(shí)，每個(gè)可能對(duì)應(yīng)一個(gè)假設(shè)。顯然，對(duì)于M種假設(shè)，收端共有M2種可能的情況，其中有M種是正確檢測(cè)，其余M2-M=M(M-1)是錯(cuò)誤判決。H0H1H2…HM-1H0