第四章、參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

1、大多數(shù)汽車事故出在中等速度行駛中，極少的事故時(shí)是出在大于150公里/每小時(shí)的行駛速度上。這是否意味著高速行駛比較安全？2、在亞利桑那州死于肺結(jié)核的人比其他州多。這是否意味著亞利桑那州的氣候容易使人患肺結(jié)核？3、常常聽說，汽車事故多發(fā)生在離家不遠(yuǎn)的地方，這是否意味著在離家很遠(yuǎn)的公路上行駛要比在城里安全呢？4、注重口味的人，想來應(yīng)該是喜歡現(xiàn)煮咖啡超過即溶咖啡的。一位持懷疑態(tài)度的人斷言：喝咖啡的人里，只有一半偏好現(xiàn)煮咖啡。為證明此結(jié)論，讓全部50個(gè)受試對象都品嘗兩杯沒有做記號的咖啡，并且要說出喜歡哪一杯。兩杯中一杯為先煮咖啡，一杯為即溶咖啡，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明50位受試對象中，有36位選現(xiàn)煮咖啡。這是否意味著有72%的人喜歡現(xiàn)煮咖啡，或超過一半的人喜歡現(xiàn)煮咖啡。以上結(jié)論的正確與否均需要通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)來證明，本章討論的內(nèi)容就是如何利用樣本信息，對統(tǒng)計(jì)結(jié)論正確與否作出判斷的程序。案例分析本章重難點(diǎn)（1）掌握參數(shù)估計(jì)的基本原理（2）了解參數(shù)估計(jì)量好壞的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（3）掌握參數(shù)估計(jì)的一般方法（4）了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想（5）掌握各種條件下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)建（6）掌握列聯(lián)表分析的原理和應(yīng)用第四章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)管理科學(xué)與工程學(xué)院工業(yè)工程系劉志平點(diǎn)估計(jì)是根據(jù)樣本資料給出總體參數(shù)的單一估計(jì)值，直接以樣本估計(jì)量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)值的一種參數(shù)估計(jì)方法。點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是比較簡便，而且進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)時(shí)無需知道總體分布。點(diǎn)估計(jì)的缺點(diǎn)是通過此方法所得的估計(jì)值與真值之間的偏差以及估計(jì)的可靠性均未知。4.1點(diǎn)估計(jì)

樣本統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，不同的樣本會得到不同的估計(jì)量。為了保證用于估計(jì)總體指標(biāo)估計(jì)量的準(zhǔn)確可靠，需要通過一些標(biāo)準(zhǔn)來衡量所求的估計(jì)量是否為優(yōu)良估計(jì)量。常用的標(biāo)準(zhǔn)主要有無偏性、有效性和相合性等。4.1點(diǎn)估計(jì)

估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體指標(biāo)，就稱該估計(jì)量為無偏估計(jì)量。設(shè)總體指標(biāo)為

，其估計(jì)量為，如果有：

則

就是

的無偏估計(jì)量。是

的無偏估計(jì)量；

是

的無偏估計(jì)量。4.1點(diǎn)估計(jì)（無偏性）

設(shè)都是參數(shù)的無偏估計(jì)量，若

則稱估計(jì)量比有效。設(shè)是的估計(jì)量，當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，對于任意的ε＞0，有

則稱是的一致估計(jì)量。4.1點(diǎn)估計(jì)（有效性和相合性）

區(qū)間估計(jì)就是根據(jù)樣本估計(jì)量以一定可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍。設(shè)總體參數(shù)為θ，為樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，對于給定的α，有：則稱為參數(shù)θ的置信度為1-α得置信區(qū)間。1-α為置信度，表示區(qū)間估計(jì)的可靠程度，即以1-α的可能性包含未知總體參數(shù)的區(qū)間為4.2區(qū)間估計(jì)

大樣本情形下總體均值的區(qū)間估計(jì)

當(dāng)樣本容量足夠大，樣本均值使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量

進(jìn)行估計(jì)，在1－的概率保證度下，總體均值的置信區(qū)間為：4.2區(qū)間估計(jì)（總體均值的區(qū)間估計(jì)）

4.2區(qū)間估計(jì)（總體均值的區(qū)間估計(jì)）

置信下限為置信上限為：這表明在95％的概率保證下，可認(rèn)為該地區(qū)居民的平均年收入在5572.00元至5627.99元之間。4.2區(qū)間估計(jì)（總體均值的區(qū)間估計(jì)）

小樣本情形下正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)

（1）正態(tài)總體、方差已知當(dāng)樣本容量足夠大，樣本均值使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量

進(jìn)行估計(jì)，由于已知，在1－的概率保證度下，總體均值的置信區(qū)間為：4.2區(qū)間估計(jì)（總體均值的區(qū)間估計(jì)）

小樣本情形下正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)（2）正態(tài)總體、方差未知當(dāng)方差是未知時(shí)，則采用修正樣本方差。若總體服從正態(tài)分布，可構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量，即

根據(jù)t分布的原理，在1-α的置信度下，可知總體均值μ的置信區(qū)間為：4.2區(qū)間估計(jì)（總體均值的區(qū)間估計(jì)）

例某倉庫有150箱食品，每箱食品均裝100個(gè)，隨機(jī)抽取10箱進(jìn)行檢查，得每箱食品的變質(zhì)個(gè)數(shù)為：1，6，3，0，2，4，1，5，3，5，假定每箱食品變質(zhì)個(gè)數(shù)的概率分布為正態(tài)分布，給定置信概率95％，求平均每箱食品變質(zhì)個(gè)數(shù)的雙側(cè)置信區(qū)間。解：由于n=10，為小樣本，方差未知4.2區(qū)間估計(jì)（總體均值的區(qū)間估計(jì)）

4.2區(qū)間估計(jì)（總體均值的區(qū)間估計(jì)）

大樣本情形下，樣本比例

經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變換可得給定的置信度1－，可得大樣本情形下總體比例的置信區(qū)間為：4.2區(qū)間估計(jì)（總體比例的區(qū)間估計(jì)）

4.2區(qū)間估計(jì)（總體比例的區(qū)間估計(jì)）

4.2區(qū)間估計(jì)（總體比例的區(qū)間估計(jì)）

什么是假設(shè)檢驗(yàn)?(hypothesistest)先對總體的參數(shù)(或分布形式)提出某種假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)方法有參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)邏輯上運(yùn)用反證法，統(tǒng)計(jì)上依據(jù)小概率原理小概率是在一次試驗(yàn)中，一個(gè)幾乎不可能發(fā)生的事件發(fā)生的概率在一次試驗(yàn)中小概率事件一旦發(fā)生，我們就有理由拒絕原假設(shè)4.3假設(shè)檢驗(yàn)19步驟建立假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)確定P值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量作推斷結(jié)論拒絕H0，接受H1，認(rèn)為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義P≤αP>α不拒絕H0，認(rèn)為差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義1、.假設(shè)檢驗(yàn)的步驟第一步如何提出假設(shè)？什么是假設(shè)?

(hypothesis)在參數(shù)檢驗(yàn)中，對總體參數(shù)的具體數(shù)值所作的陳述就一個(gè)總體而言，總體參數(shù)包括總體均值、比例、方差等分析之前必需陳述原假設(shè)

(nullhypothesis)又稱“0假設(shè)”，研究者想收集證據(jù)予以反對的假設(shè)，用H0表示所表達(dá)的含義總是指參數(shù)沒有變化或變量之間沒有關(guān)系

最初被假設(shè)是成立的，之后根據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定是否有足夠的證據(jù)拒絕它總是有符號=,<=

或>=H0：

m

=某一數(shù)值H0：

m

某一數(shù)值H0：m

某一數(shù)值也稱“研究假設(shè)”,研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)，用H1或Ha表示所表達(dá)的含義是總體參數(shù)發(fā)生了變化或變量之間有某種關(guān)系備擇假設(shè)通常用于表達(dá)研究者自己傾向于支持的看法，然后就是想辦法收集證據(jù)拒絕原假設(shè)，以支持備擇假設(shè)

總是有符號

,

或H1：:m

≠某一數(shù)值H1：m

>某一數(shù)值H1：m

<某一數(shù)值備擇假設(shè)(alternativehypothesis)備擇假設(shè)沒有特定的方向性，并含有符號“”的假設(shè)檢驗(yàn)，稱為雙側(cè)檢驗(yàn)或雙尾檢驗(yàn)(two-tailedtest)備擇假設(shè)具有特定的方向性，并含有符號“>”或“<”的假設(shè)檢驗(yàn)，稱為單側(cè)檢驗(yàn)或單尾檢驗(yàn)(one-tailedtest)備擇假設(shè)的方向?yàn)椤?lt;”，稱為左側(cè)檢驗(yàn)

備擇假設(shè)的方向?yàn)椤?gt;”，稱為右側(cè)檢驗(yàn)

雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)

(假設(shè)的形式)假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)原假設(shè)H0:m

=m0H0:m

m0H0:m

m0備擇假設(shè)H1:m

≠m0H1:m

<m0H1:m

>m0【例】一種零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)是直徑應(yīng)為10cm，為對生產(chǎn)過程進(jìn)行控制，質(zhì)量監(jiān)測人員定期對一臺加工機(jī)床檢查，確定這臺機(jī)床生產(chǎn)的零件是否符合標(biāo)準(zhǔn)要求。如果零件的平均直徑大于或小于10cm，則表明生產(chǎn)過程不正常，必須進(jìn)行調(diào)整。試陳述用來檢驗(yàn)生產(chǎn)過程是否正常的原假設(shè)和被擇假設(shè)如何設(shè)定假設(shè)(例題分析)解：研究者想收集證據(jù)予以證明的假設(shè)應(yīng)該是“生產(chǎn)過程不正?！?。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：

10cmH1：

10cm【例】某品牌洗滌劑在它的產(chǎn)品說明書中聲稱：平均凈含量不少于500克。從消費(fèi)者的利益出發(fā)，有關(guān)研究人員要通過抽檢其中的一批產(chǎn)品來驗(yàn)證該產(chǎn)品制造商的說明是否屬實(shí)。試陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)如何設(shè)定假設(shè)(例題分析)解：研究者抽檢的意圖是傾向于證實(shí)這種洗滌劑的平均凈含量并不符合說明書中的陳述。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：

500H1：

<500【例】一家研究機(jī)構(gòu)估計(jì)，某城市中家庭擁有汽車的比例超過30%。為驗(yàn)證這一估計(jì)是否正確，該研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。試陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)如何設(shè)定假設(shè)(例題分析)解：研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)是“該城市中家庭擁有汽車的比例超過30%”。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為

H0：

30%H1：

30%根據(jù)樣本觀測結(jié)果計(jì)算出對原假設(shè)和備擇假設(shè)做出決策某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量對樣本估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果原假設(shè)H0為真點(diǎn)估計(jì)量的抽樣分布檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(teststatistic)

標(biāo)準(zhǔn)化的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量用統(tǒng)計(jì)量決策

(雙側(cè)檢驗(yàn))抽樣分布H0臨界值臨界值a/2a/2拒絕H0拒絕H01-置信水平RegionofRejectionRegionofNonrejectionRegionofRejection用統(tǒng)計(jì)量決策

(左側(cè)檢驗(yàn))抽樣分布H0臨界值a拒絕H01-置信水平RegionofRejectionRegionofNonrejection用統(tǒng)計(jì)量決策

(右側(cè)檢驗(yàn))抽樣分布H0臨界值2拒絕H01-置信水平RegionofNonrejectionRegionofRejection用P值決策

(P-value)如果原假設(shè)為真，所得到的樣本結(jié)果會像實(shí)際觀測結(jié)果那么極端或更極端的概率P值告訴我們：如果原假設(shè)是正確的話，我們得到得到目前這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的可能性有多大，如果這個(gè)可能性很小，就應(yīng)該拒絕原假設(shè)被稱為觀察到的(或?qū)崪y的)顯著性水平?jīng)Q策規(guī)則：若p值<,拒絕H0雙側(cè)檢驗(yàn)的P值/

2/

2Z拒絕H0拒絕H00臨界值計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量臨界值1/2P值1/2P值左側(cè)檢驗(yàn)的P值Z拒絕H00臨界值計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量1/2P值右側(cè)檢驗(yàn)的P值Z拒絕H00計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量臨界值1/2P值4.4總體參數(shù)檢驗(yàn)5.2.1單一總體均值的檢驗(yàn)1、大樣本情形下總體均值的檢驗(yàn)2、小樣本情形下正態(tài)總體均值的t檢驗(yàn)總體均值的檢驗(yàn)

(大樣本)1.假定條件：大樣本(n30)使用z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量方差已知：方差未知：大樣本（例題）以往調(diào)查表明某市人均居住面積為8.6平方米,現(xiàn)從該市中隨機(jī)抽取500人,調(diào)查并計(jì)算得平均居住面積為8.8平方米,標(biāo)準(zhǔn)差為1.5平方米,問在0.01的顯著性水平下,能否認(rèn)為該市人均居住面積有所增大?根據(jù)題意可建立原假設(shè)和備擇假設(shè)如下:總體均值的檢驗(yàn)

(小樣本)1.假定條件總體服從正態(tài)分布小樣本(n<

30)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量方差已知方差未知小樣本例題

例4.2某公司用自動裝袋機(jī)將一批食用鹽裝袋，在正常情況下，平均每袋的重量為500克，從某天所包裝的食用鹽中隨機(jī)抽取了10袋，測得每袋的重量（克）為：495，501，502，495，500，497，498，503，502，499，問在0.05的顯著性水平下，從所裝食用鹽的平均重量來看裝袋機(jī)運(yùn)行是否正常？

根據(jù)題意可建立原假設(shè)和備擇假設(shè)如下：

4.4

兩總體參數(shù)檢驗(yàn)兩總體均值比較的檢驗(yàn)1、獨(dú)立樣本均值的檢驗(yàn)2、配對樣本均值的檢驗(yàn)

1、兩總體均值的檢驗(yàn)1、獨(dú)立樣本均值的檢驗(yàn)2008年8月兩個(gè)總體均值比較的檢驗(yàn)

(獨(dú)立大樣本)1.假定條件兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本正態(tài)總體或非正態(tài)總體大樣本(n130和n230)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，已知：

未知：兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)

(獨(dú)立小樣本：已知)假定條件兩個(gè)獨(dú)立的小樣本兩個(gè)總體都是正態(tài)分布已知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量2008年8月兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)

(獨(dú)立小樣本：未知但相等)假定條件兩個(gè)獨(dú)立的小樣本兩個(gè)總體都是正態(tài)分布12、22未知但相等，即12=22檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中：自由度：

2、兩總體均值比較的檢驗(yàn)

例5.3為了研究男女性別消費(fèi)支出的差異，從中某高校三年級學(xué)生中分別隨機(jī)抽取20人調(diào)查，調(diào)查并計(jì)算得，男生平均每月生活費(fèi)支出為880元，標(biāo)準(zhǔn)差為60元，女生平均每月生活費(fèi)支出為820元，標(biāo)準(zhǔn)差為54元，已知平均每月生活費(fèi)支出均服從正態(tài)分布，且方差相等，給定顯著性水平0.05，能否認(rèn)為男女生平均每月生活消費(fèi)支出有顯著差異？

根據(jù)題意可建立原假設(shè)和備擇假設(shè)如下：應(yīng)拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為男女性別不同,平均每月生活消費(fèi)支出也有差異。

兩總體均值的檢驗(yàn)1、配對樣本均值的檢驗(yàn)如果比較的樣本有配對關(guān)系,就需要進(jìn)行配對樣本的T檢驗(yàn),如同一組工作人員,在進(jìn)行某種技能培訓(xùn)前后,測量其工作效率,培訓(xùn)前后的測量數(shù)據(jù)構(gòu)成配對樣本，在檢驗(yàn)培訓(xùn)是否起作用時(shí)，就需進(jìn)行配對樣本的T檢驗(yàn)。兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)

(配對樣本)假定條件兩個(gè)總體配對差值構(gòu)成的總體服從正態(tài)分布配對差是由差值總體中隨機(jī)抽取的

數(shù)據(jù)配對或匹配(重復(fù)測量(前/后))檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量樣本差值均值樣本差值標(biāo)準(zhǔn)差

總體參數(shù)檢驗(yàn)

例5.4某企業(yè)為研究廣告對銷量的影響，選取了12個(gè)地區(qū)，分別收集了廣告發(fā)布前后的周銷量（件）。問廣告的發(fā)布對銷量是否有顯著影響?根據(jù)題意可計(jì)算原假設(shè)和被擇假設(shè)：

匹配樣本

(數(shù)據(jù)形式)

觀察序號樣本1樣本2差值1x11x21d1=x11-x212x12x22d2=x12-x22MMMMix1ix2idi

=x1i

-x2iMMMMnx1nx2ndn

=x1n-x2n

總體參數(shù)檢驗(yàn)

地區(qū)編號廣告前銷量廣告后銷量差值d15560525558334748143842453032266865-3716204850533923285103634-21125272122322-1配對樣本調(diào)查表

幾種常見的假設(shè)檢驗(yàn)總體均值的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)條件量拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μz0z0正態(tài)總體σ2已知總體均值的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)條件量拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μz0z00非正態(tài)總體n≥30σ2已知或未知總體均值的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)條件量拒絕域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

t(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μt0t00正態(tài)總體σ2未知(n＜30)兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)條件檢驗(yàn)條件量拒絕域H0、H1(