向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義說(shuō)課稿教案教學(xué)設(shè)計(jì)

向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)分析向量的數(shù)乘運(yùn)算，其實(shí)是加法運(yùn)算的推廣及簡(jiǎn)化，與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運(yùn)算.教學(xué)時(shí)從加法入手，引入數(shù)乘運(yùn)算，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系 .實(shí)數(shù)與向量的乘積，仍然是一個(gè)向量，既有大小，也有方向.特別是方向與已知向量是共線向量 ，進(jìn)而引出共線向量定理.共線向量定理是本章節(jié)中重要的內(nèi)容 ，應(yīng)用相當(dāng)廣泛，且容易出錯(cuò).尤其是定理TOC\o"1-5"\h\z的前提條件：向量a是非零向量.共線向量定理的應(yīng)用主要用于證明點(diǎn)共線或平行等幾何性質(zhì)，且與后續(xù)的知識(shí)有著緊密的聯(lián)系 .三維目標(biāo).通過(guò)經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過(guò)程 ，掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義 ，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律 ..理解兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件 ，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行 ^.通過(guò)探究，體會(huì)類比遷移的思想方法，滲透研究新問(wèn)題的思想和方法 ，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)取精神.通過(guò)解決具體問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作用 .重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.實(shí)數(shù)與向量積的意義.2.實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律.3.兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用.教學(xué)又t點(diǎn)：對(duì)向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用 .課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.前面兩節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算，這一節(jié)，我們將在加法運(yùn)算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡(jiǎn)便計(jì)算及推廣.在代數(shù)運(yùn)算中，a+a+a=3a,故實(shí)數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡(jiǎn)便計(jì)算方法，那么相同向量的求和運(yùn)算是否也有類似的簡(jiǎn)便計(jì)算 ^思路2.一物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為a,那么在同一方向上3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？是 3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題①已知非零向量a,試一試作出a+a+a和（-a）+（-a）+（-a）.②你能對(duì)你的探究結(jié)果作出解釋 ，并說(shuō)明它們的幾何意義嗎？③引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎 ？怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)并猜想結(jié)果 ，對(duì)于運(yùn)算律的驗(yàn)證，點(diǎn)撥學(xué)生通過(guò)作圖來(lái)進(jìn)行通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手作圖，讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律及其幾何意義 .教師要引導(dǎo)學(xué)生特別注意0-a=0,而不是0-a=0.這個(gè)零向量是一個(gè)特殊的向量 ，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會(huì)出錯(cuò)，所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系 .實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加、減運(yùn)算，比如入+a,入-a都無(wú)法進(jìn)行.向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相似，只是數(shù)乘運(yùn)算的分配律有兩種不同的形式:（入+（1）a=入a+a和入（a+b）=入a+入b,數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等 ，方向相同.判斷兩個(gè)向量是否平行（共線）,實(shí)際上就是看能否找出一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得這個(gè)實(shí)數(shù)乘以其中一個(gè)向量等于另一個(gè)向量 .一定要切實(shí)理解兩向量共線的條件 ，它是證明幾何中的三點(diǎn)共線和兩直線平行等問(wèn)題的有效手段對(duì)問(wèn)題①,學(xué)生通過(guò)作圖 1可發(fā)現(xiàn)，OC=OA+AB+BC=a+a+a.類似數(shù)的乘法,可把a(bǔ)+a+a記作3a,即OC=3a.顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，即13a|=3|a|.同樣，由圖1可知,圖1PN=PQQMMN=(-a)+(-a)+(-a),即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).顯然3(-a)的方向與a的方向相反,3(-a)的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，這樣,3(-a)=-3a.對(duì)問(wèn)題②，上述過(guò)程推廣后即為實(shí)數(shù)與向量的積 .我們規(guī)定實(shí)數(shù) 入與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作入a,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)1入a|=|入||a|;(2)當(dāng)入＞0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)入＜0時(shí)，入a的方向與a的方向相反.由(1)可知，入=0時(shí)，入a=0.根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)入、科為實(shí)數(shù)，那么⑴…a)=(入科)a;(2)(入+(1)a=入a+a;(3)入(a+b)=入a+入b.特別地，我們有(-入)a=-(入a)=入(-a),入(a-b)=入a-入b.對(duì)問(wèn)題③，向量共線的等價(jià)條件是：如果a(aw。)與b共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 入，使b=入a.推證過(guò)程教師可引導(dǎo)學(xué)生自己完成，推證過(guò)程如下：對(duì)于向量a(aw。)、b,如果有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使b=Xa,那么由向量數(shù)乘的定義，知a與b共線.反過(guò)來(lái)，已知向量a與b共線，aw0,且向量b的長(zhǎng)度是向量a的長(zhǎng)度的W倍，即|b|=科|a|,那么當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b=a;當(dāng)a與b反方向時(shí),有b=-科a.關(guān)于向量共線的條件，教師要點(diǎn)撥學(xué)生做進(jìn)一步深層探究 ，讓學(xué)生思考，若去掉aw0這一條件，上述條件成立嗎？其目的是通過(guò) 0與任意向量的平行來(lái)加深對(duì)向量共線的等價(jià)條件的認(rèn)識(shí).在判斷兩個(gè)非零向量是否共線時(shí) ，只需看這兩個(gè)向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個(gè)向量的長(zhǎng)度無(wú)關(guān).在沒(méi)有指明非零向量的情況下 ，共線向量可能有以下幾種情況 ：(1)有一個(gè)為零向量；(2)兩個(gè)都為零向量;(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.討論結(jié)果：①數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量，向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定，大小由|入|?Ia|確定.

②它的幾何意義是把向量 a沿a的方向或a的反方向放大或縮小,直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn),又包含兩個(gè)向量在同一條直線上的情形 .,直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn),又包含兩個(gè)向量在同一條直線上的情形 .思路1,可讓學(xué)生自己完成，要求學(xué)生熟練運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算例1計(jì)算：⑴(-3)X4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;⑶(2a+3b-c)-(3a-2b+c).活動(dòng)：本例是數(shù)乘運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用的運(yùn)算律.教學(xué)中，點(diǎn)撥學(xué)生不能將本題看作字母的代數(shù)運(yùn)算 ，可以讓他們?cè)诖鷶?shù)運(yùn)算的同時(shí)說(shuō)出其幾何意義，使學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的特點(diǎn) .同時(shí)向?qū)W生點(diǎn)出，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量a、b,以及任意實(shí)數(shù)入、科1、科2,恒有入(ia±2b)=入ia土入112b.解：(1)原式=(-3X4)a=-12a;(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用向量運(yùn)算的運(yùn)算律，解決向量的數(shù)乘.其運(yùn)算過(guò)程可以仿照多項(xiàng)式運(yùn)算中的“合并同類項(xiàng)”.變式訓(xùn)練若3m+2n=a,m>3n=b,其中a,b是已知向量，求mn.TOC\o"1-5"\h\z解：因3m+2n=a, ①m-3n=b. ②3X②得3m-9n=3b. ③①-③得11n=a-3b.11 11將④代入②，有m=b+3n=—a+—b.11 11點(diǎn)評(píng)：此題可把已知條件看作向量 mn的方程，通過(guò)方程組的求解獲得mn.在此題求解過(guò)程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、 結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致 ^百W圖2例2如圖2,已知任意兩個(gè)非零向量 a、b,試彳OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.你能判斷A日C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎 ？為什么？活動(dòng)：本例給出了利用向量共線判斷三點(diǎn)共線的方法 ，這是判斷三點(diǎn)共線常用的方法 .教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生作圖，通過(guò)觀察圖形得到 A,B,C三點(diǎn)共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點(diǎn)共線 .本題只要引導(dǎo)學(xué)生理清思路 ，具體過(guò)程可由學(xué)生自己完成.另外，本題是一個(gè)很好的與信息技術(shù)整合的題材 ，教學(xué)中可以通過(guò)計(jì)算機(jī)作圖，進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，揭示向量a、b變化過(guò)程中，A、日C三點(diǎn)始終在同一條直線上的規(guī)律 .圖3解：如圖3分別作向量OA、OBOC過(guò)點(diǎn)A、C作直線AC.觀察發(fā)現(xiàn),不論向量a、b怎樣變化，點(diǎn)B始終在直線AC上，猜想AB、C三點(diǎn)共線.事實(shí)上，因?yàn)锳B=OB-OA=a+2b-(a+b尸b,而AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b,于是AC=2AB.所以A、RC三點(diǎn)共線.點(diǎn)評(píng)：關(guān)于三點(diǎn)共線問(wèn)題，學(xué)生接觸較多，這里是用向量證明三點(diǎn)共線 ，方法是必須先證明兩個(gè)向量共線，并且有公共點(diǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生解完后進(jìn)行反思 ，體會(huì)向量證法的新穎獨(dú)特.例3如圖4,|匚ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) M,且AB=a,aD=b，你能用a、b表示MA、MRMC、和MD嗎？圖4活動(dòng)：本例的解答要用到平行四邊形的性質(zhì) .另外，用向量表示幾何元素(點(diǎn)、線段等)是TOC\o"1-5"\h\z用向量方法證明幾何問(wèn)題的重要步驟 ，教學(xué)中可以給學(xué)生明確指出這一點(diǎn) .解：在.「ABCD^,AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b,又二.平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分 ，?MA=—AC=—(a+b)=—a-—b,2 2 2 2MB=—DB=—(a-b)=—a-1b,2 2 2 2MC=—AC=—a+—b,2 2 2MD=MB=-1DB=-1a+1b.2 2 2

,將兩個(gè)向量的和或差表示點(diǎn)評(píng)：結(jié)合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則出來(lái)，這是解決這類幾何題的關(guān)鍵 .,將兩個(gè)向量的和或差表示思路2例1凸四邊形ABC曲邊ARBC的中點(diǎn)分別為E、F,求證：EF=1(AB+DC).2活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生探究，能否構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決，或創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間關(guān)系.鼓勵(lì)學(xué)生多角度觀察思考問(wèn)題.圖5圖5解：方法一：過(guò)點(diǎn)C在平面內(nèi)作CG=AB,則四邊形ABG%平行四邊形,故F為AG中點(diǎn).(如圖5)??.EF是4ADG的中位線.?.EfM1DG.2EF=1DG.2而DG=DC+CG=DC+AB,EF=1(AB+DC).2方法二：如圖6,連接erec,則有EB=EA+AB,EC=ED+DC,圖6圖6又7E是AD之中點(diǎn)，??.有EA+ED=0,即有EB+EC=AB+DC.以EB與EC為鄰邊作UEBGC則由F是BC之中點(diǎn)，可得F也是EG之中點(diǎn).EF=1EG=1(EB+EC)=1(AB+DC).2 2 2點(diǎn)評(píng)：向量的運(yùn)算主要從以下幾個(gè)方面加強(qiáng)練習(xí) :(1)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練，畫出草圖幫助解決問(wèn)題；(2)加強(qiáng)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用練習(xí) ，做到準(zhǔn)確熟練運(yùn)用例2已知OA和OB是不共線向量AP=tAB(t￡R),試用OA、OB表示OP.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，由AP=tAB(t￡R)知AB、P三點(diǎn)共線，而OP=OA+AP,然后以AB表示AP,進(jìn)而建立OA,OB的聯(lián)系.本題可讓學(xué)生自己解決，教師適時(shí)點(diǎn)撥解：OP=OA+AP=OA+t?AB=OA+