量子力學(xué)總復(fù)習(xí)-2014

第一公設(shè)：波函數(shù)公設(shè)“一個(gè)微觀粒子體系的狀態(tài)，用一個(gè)波函數(shù)ψ(x,t)來完全描述，它（可以）是粒子的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。而且在ψ(x,t)的分布區(qū)域中找到粒子的幾率由dP=ψ?ψdv表示，這里ψ?為ψ的復(fù)數(shù)共軛。從而，ψ(x,t)在其分布區(qū)域中必須處處單值、連續(xù)、可微(除個(gè)別點(diǎn)、線、面之外)，對(duì)此區(qū)域的任意部分都是平方可積的?！斌w系的量子態(tài)用Hilbert空間中的態(tài)矢量表示?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋Hilbert空間中存在不同的力學(xué)量表象§4.1態(tài)的表象波函數(shù)的歸一化問題波函數(shù)的性質(zhì)，要求流密度的意義與應(yīng)用波函數(shù)的意義，幾率詮釋，性質(zhì)力學(xué)量本征態(tài)在自身表象中的表達(dá)波函數(shù)的幾率解釋波函數(shù)的要求。歸一化幾率及幾率流密度

束縛態(tài)，非束縛態(tài)態(tài)矢態(tài)疊加原理希爾伯特空間第二公設(shè)：算符公設(shè)“各力學(xué)量(可觀察的物理量)均分別以線性厄米算符表示。這些算符作用于態(tài)的波函數(shù)。在這種由力學(xué)量到算符的眾多對(duì)應(yīng)規(guī)則中，基本的規(guī)則是坐標(biāo)x和動(dòng)量p向它們算符、的對(duì)應(yīng)。這個(gè)對(duì)應(yīng)要求?！辈⒉皇撬辛孔恿W(xué)的力學(xué)量算符都有經(jīng)典力學(xué)量與之對(duì)應(yīng)。，例如，量子力學(xué)中的自旋

§3.1表示力學(xué)量的算符§3.2動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符第一公設(shè)和第二公設(shè)結(jié)合：如果有一個(gè)特殊的態(tài)存在，是的本征值為an的本征函數(shù)只要是可觀察力學(xué)量，也即的本征函數(shù)構(gòu)成完備集，則一定可用的本征函數(shù)族將任意態(tài)展開：Ex.自由粒子的動(dòng)量算符的本征態(tài)定態(tài)本征函數(shù)完全系正交歸一性定態(tài)特點(diǎn)，定態(tài)性質(zhì)定態(tài)的疊加表象§3.5厄米算符本征函數(shù)的正交性力學(xué)量算符在表象中的表示第三公設(shè)：測量公設(shè)或平均值公設(shè)

“一個(gè)微觀粒子體系處于波函數(shù)為的狀態(tài)，若對(duì)它測量可觀測力學(xué)量的數(shù)值，所測得的的平均值(期望值)為若ψ(r)是歸一的，則§3.6力學(xué)量算符與力學(xué)量的關(guān)系平均值

的計(jì)算第一，平均值是指對(duì)大量相同的態(tài)作多次觀測的平均結(jié)果。這里有所謂多次平均測量結(jié)果和單次測量結(jié)果。第二，如果不是算符的本征函數(shù)，只要是可觀察力學(xué)量，也即的本征函數(shù)構(gòu)成完備集，則一定可用的本征函數(shù)族展開：這里是的本征值為an的本征函數(shù)，在單次測量中，測得的數(shù)值必定總是的本征值之一，不可能是本征值以外的數(shù)值，這是和經(jīng)典力學(xué)測量截然不同之處；得到該力學(xué)量某個(gè)本征值的幾率是被測態(tài)波函數(shù)對(duì)該力學(xué)量本征態(tài)展式的相應(yīng)系數(shù)的模方。作為決定幾率權(quán)重的這些系數(shù)隨被測態(tài)的演化可能會(huì)隨時(shí)間變化。處于某力學(xué)量本征態(tài)下，對(duì)該力學(xué)量的測量取確定值。第三，即使在量子力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，測量的數(shù)值總應(yīng)當(dāng)是實(shí)數(shù)(力學(xué)量的取值總應(yīng)當(dāng)是實(shí)數(shù))，所以要求對(duì)任一波函數(shù)，均為實(shí)數(shù)。事實(shí)上這是被保證了的。因?yàn)槭嵌蛎姿惴?，于是有第四，每次測量之后，態(tài)即受嚴(yán)重干擾，并總是向該次測量中所得本征值的本征態(tài)突變過去。就某一單次測量而言(除非已是該被測力學(xué)量的某一本征態(tài))，究竟向哪個(gè)本征態(tài)突變，就象測得的本征值一樣，是完全不能預(yù)先預(yù)言的。就是說，由測量引起的突變總是向被測力學(xué)量的本征態(tài)之一突變，而且這種突變是隨機(jī)的、無法預(yù)計(jì)的、不可逆的、超出量子力學(xué)描述范圍的。

第二公設(shè)和第三公設(shè)結(jié)合：厄米算符力學(xué)量算符矩陣的特點(diǎn)：厄米矩陣第四公設(shè)：微觀體系動(dòng)力學(xué)演化公設(shè)或Schr?dinger方程公設(shè)

如果說在“測量公設(shè)”中所涉及的狀態(tài)坍縮是隨機(jī)的、不可預(yù)測的，不符合經(jīng)典觀念的因果律的話，那么在本公設(shè)中完全規(guī)定了狀態(tài)波函數(shù)隨空間和時(shí)間的變化規(guī)則。這里不存在任何隨機(jī)的、不可預(yù)測的成分。就是說，描述狀態(tài)的波函數(shù)是完全遵循經(jīng)典觀念下的因果律的。這兩方面——態(tài)演化的決定論形式和態(tài)測量的隨機(jī)坍縮形式的有機(jī)結(jié)合就是微觀世界的新的因果律，是deBroglie波達(dá)到因果律。“一個(gè)微觀粒子體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足如下薛定諤方程這里為體系的哈密頓算符，又稱為體系的哈密頓量，定態(tài)問題§2.3薛定諤(Schr?dinger)方程幾個(gè)薛定諤方程解析求解的體系：一維無限深勢阱一維線性諧振子庫倫場（氫原子）本征能量本征函數(shù)本征函數(shù)本征能量§2.6一維無限深勢阱§2.7線性諧振子§3.3電子在庫侖場中的運(yùn)動(dòng)§3.4氫原子能級(jí)的簡并量子力學(xué)的第五個(gè)公設(shè)：全同性原理公設(shè)

全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，其對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上。2

個(gè)Fermi子體系，其反對(duì)稱化波函數(shù)是以但粒子波函數(shù)表示波色子費(fèi)米子全同粒子

第一章黑體輻射譜密度光電發(fā)射康普頓散射經(jīng)典物理理論結(jié)構(gòu)特征絕對(duì)黑體：輻射、反射、吸收、譜波長紅限普朗克常數(shù)所有本課提及的物理史的重要實(shí)驗(yàn)§1.0經(jīng)典物理理論的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)特征§1.1輻射（光）的微粒性波爾原子論（波三點(diǎn)）德布羅意波概念波長與波矢§1.3原子結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的Bohr理論定態(tài)滿足量子化條件：原子具有能量不連續(xù)的E1,E2,......,En（穩(wěn)）定（狀）態(tài)；定態(tài)之間存在量子躍遷；同時(shí)將發(fā)射（吸收）一個(gè)光子。光子的頻率：§1.4德布羅意wave-particleduality假設(shè)波粒二象性性的概念與表述，辨析錯(cuò)誤“顆粒性”+衍射、干涉；疊加原理成立態(tài)：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（幾率和幾率密度）、標(biāo)準(zhǔn)條件、歸一化涵義§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋§2.2態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理表述，涵義（貫穿所有章節(jié)）混合態(tài)的幾率§2.3薛定諤(Schr?dinger)方程意義、形式（自由粒子、勢場中）i的含義§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律三種密度三種流密度數(shù)學(xué)形式§2.5定態(tài)薛定諤方程（能量本征值方程）：所有體系的薛定諤方程：自由粒子、一維無限深勢阱、一維線性諧振子、庫倫場中的電子、氫原子的電子，本征波函數(shù)、本征值。定態(tài)薛定諤方程，及其意義、所有體系本征值、本征函數(shù)、歸一化、簡并與宇稱第二章勢壘貫穿概念，透射系數(shù)及其影響因素

§2.6一維無限深勢阱§2.7線性諧振子本征波函數(shù)能量本征值定態(tài)Schr?dinger方程：

§2.8勢壘貫穿本征波函數(shù)本征能量：（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)3.再論波函數(shù)的性質(zhì)a.描寫粒子的波函數(shù)ψ(r,t)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即,dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτb.已知ψ(r,t)，則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，即，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。c.知道體系所受力場和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)?！?.1表示力學(xué)量的算符厄米算符的定義和性質(zhì)算符的運(yùn)算（和、積、等）、共軛

、轉(zhuǎn)置、厄密共軛通過內(nèi)積定義厄米算符的本征值和平均值為實(shí)數(shù)本征方程本征值Ψ稱為其本征函數(shù)力學(xué)量算符為線性的厄米算符

第三章§3.2動(dòng)量算符與角動(dòng)量算符動(dòng)量算符、角動(dòng)量算符的本征方程問題動(dòng)量算符的表達(dá)（表象有關(guān)）、本征波函數(shù)及其歸一化、本征值。角動(dòng)量算符的構(gòu)成（坐標(biāo)系有關(guān)）、本征波函數(shù)及其Ylm歸一化、本征值。

的本征值：

的本征值:

（1）球諧函數(shù)系是與有共同的本征函數(shù)系（2）簡并情況

的本征值僅由角量子數(shù)l確定，而本征函數(shù)卻由l和m確定。對(duì)于一個(gè)l值，可取，共有2l+1個(gè)l值相同而m值不同的本征函數(shù)與同一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)。

即屬于本征值的線性獨(dú)立本征函數(shù)有2l+1個(gè)。因此,的本征值是2l+1度簡并的。

§3.3電子在庫侖場中的運(yùn)動(dòng)輳力場、有心力場、中心力場、庫倫力場的關(guān)系。電子受核的吸引，其勢為庫侖勢庫倫場中電子的力場的Schrodinger方程：磁量子數(shù)

角量子數(shù)

主量子數(shù)電子處在束縛態(tài)時(shí)能量本征值和波函數(shù)3．電子的能量本征值與波函數(shù)是

的共同本征函數(shù)系關(guān)于能量簡并度問題，與n的關(guān)系及其條件與力場的關(guān)系波函數(shù)的宇稱問題，具有l(wèi)宇稱?！?.4氫原子氫原子外電子的Schrodinger方程：氫原子外電子的勢能氫原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)定態(tài)Schrodinger方程的解及其意義：氫原子核外電子的概率分布：徑向分布、角分布§3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性屬于厄米算符的不同本征值的本征函數(shù)相互正交?！?.6算符與力學(xué)量的關(guān)系可能的測量值與幾率、平均值的求法。內(nèi)積：§3.7算符對(duì)易關(guān)系、兩力學(xué)量同時(shí)可測的條件、測不準(zhǔn)關(guān)系對(duì)易子、（注意順序）基本力學(xué)量算符的對(duì)易關(guān)系、力學(xué)量同時(shí)有確定值的（必要）條件測不準(zhǔn)關(guān)系(不確定原理)（HeisenbergUncertaintyPrinciple）§3.8力學(xué)量隨時(shí)間的變化守恒律力學(xué)量守恒的條件1．坐標(biāo)算符、動(dòng)量算符的表示形式及它們間的對(duì)易關(guān)系；2．角動(dòng)量算符的表示形式及相關(guān)的對(duì)易關(guān)系；3．動(dòng)量算符本征函數(shù)的兩種歸一化：箱歸一化和函數(shù)歸一化；4．角動(dòng)量算符的共同本征函數(shù)及所對(duì)應(yīng)的本征值；5．正點(diǎn)電荷庫倉場中電子運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程及其求解的基本步驟；定態(tài)波函數(shù)的表達(dá)形式；束縛態(tài)的能級(jí)及其簡并度；氫原子的能級(jí)、光譜線的規(guī)律；電子在核外的概率分布；電離能和里德伯常數(shù)；6．量子力學(xué)的力學(xué)量與厄米算符的關(guān)系；厄米算符的本征函數(shù)組成正交完備集；7．在什么情況下力學(xué)量具有確定值；力學(xué)量可能值、概率、平均值的計(jì)算方法，兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件；8．不確定關(guān)系及其應(yīng)用；9．守恒量的判斷方法。內(nèi)容一個(gè)基本概念：厄米算符（作用及其基本性質(zhì)）；兩個(gè)假設(shè)：力學(xué)量用厄米算符表示；狀態(tài)用厄米算符本征態(tài)表示，力學(xué)量算符的本征值為力學(xué)量的可測值三個(gè)力學(xué)量計(jì)算值：確定值、可能值、平均值；四個(gè)力學(xué)量算符的本征態(tài)及本征值：坐標(biāo)算符，動(dòng)量算符，角動(dòng)量算符及能量算符（哈密頓算符）及它們的本征值。一個(gè)關(guān)系：力學(xué)量算符間的對(duì)易關(guān)系（特別是坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，角動(dòng)量算符對(duì)易關(guān)系）三個(gè)定理:

共同本征態(tài)定理（包括逆定理）不確定關(guān)系力學(xué)量守恒定理重點(diǎn)掌握內(nèi)容展開系數(shù)：任一狀態(tài)ψ可展開：在這樣的表象中，Ψ可以用一個(gè)列矩陣表示：Hilbert空間：滿足態(tài)迭加原理的狀態(tài)全體構(gòu)成的復(fù)線性空間態(tài)矢量：

Hilbert空間中的矢量，即體系的狀態(tài)波函數(shù)視為一個(gè)矢量稱為態(tài)矢量（簡稱態(tài)矢）第四章§4.1態(tài)的表象坐標(biāo)表象動(dòng)量表象§4.2算符的矩陣表示顯而易見，對(duì)角矩陣元為實(shí)數(shù)1．歸一化條件2、平均值公式§4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示3、本征值方程4.Schrodinger方程的矩陣形式設(shè)算符的正交歸一本征函數(shù)系為

算符的正交歸一本征函數(shù)系為幺正矩陣定義§4.4幺正變換幺正變換性質(zhì)幺正變換不改變算符的本征值矩陣的跡不因幺正變換而改變。狄喇克符號(hào)刃矢|>─表示態(tài)矢量空間中一個(gè)態(tài)矢量,又稱為右矢刁矢<|─表示對(duì)偶態(tài)矢量空間中一個(gè)態(tài)矢量,又稱為左矢定義標(biāo)積