第二章多變量最優(yōu)化

數(shù)學(xué)建模方法與分析第2章多變量的最優(yōu)化2.1無約束最優(yōu)化最簡單的多變量最優(yōu)化問題是在一個(gè)比較好的區(qū)域上求一個(gè)可微的多元函數(shù)的最大值或最小值。我們在后面會看到，當(dāng)求最優(yōu)值的區(qū)域比較復(fù)雜時(shí)，問題就會變得復(fù)雜。問題1：一家彩電制造商計(jì)劃推出兩種新產(chǎn)品：一種19英寸立體聲彩色電視機(jī)，制造商建議零售價(jià)為339美元。另一種21英寸立體聲彩色電視機(jī)，零售價(jià)為399美元。公司付出的成本為19英寸彩店每臺195美元，21英寸彩電每臺225美元，還要加上400000美元的固定成本。在競爭的銷售市場中，每年售出的彩電數(shù)量會影響彩電的平均售價(jià)。據(jù)估計(jì)，對每種類型的彩電，每多售出一臺，平均銷售價(jià)格會下降1美分。而且19英寸彩電的銷售會影響21英寸彩電的銷售，反之也是如此。據(jù)估計(jì)，每售出一臺21英寸彩電，19英寸彩電的平均售價(jià)會下降0.3美分，而每售出一臺19英寸彩電，21英寸彩電的平均售價(jià)會下降0.4美分。問題是：每種彩電應(yīng)該各生產(chǎn)多少臺？清晰問題：問每種彩電應(yīng)該各生產(chǎn)多少臺，使得利潤最大化？2.1五步法1.提出問題2.選擇建模方法3.推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式4.求解模型5.回答問題1.提出問題-變量問題1中的全部變量包括：s=19英寸彩電的售出數(shù)量（臺）；t=21英寸彩電的售出數(shù)量（臺）；p=19英寸彩電的平均銷售價(jià)格（美元/臺）；q=21英寸彩電的平均銷售價(jià)格（美元/臺）；C=生產(chǎn)彩電的成本（美元）；R=彩電銷售的收入（美元）；P=彩電銷售的利潤（美元）。1.提出問題-變量問題1中的全部變量包括：s=19英寸彩電的售出數(shù)量（臺）；t=21英寸彩電的售出數(shù)量（臺）；p=19英寸彩電的平均銷售價(jià)格（美元/臺）；q=21英寸彩電的平均銷售價(jià)格（美元/臺）；C=生產(chǎn)彩電的成本（美元）；R=彩電銷售的收入（美元）；P=彩電銷售的利潤（美元）。1.提出問題-常量問題1中的全部常量包括：1.兩種彩電的初始定價(jià)：339美元和399美元；2.其對應(yīng)的成本分別為：195美元和225美元；3.每種彩電多銷售一臺，平均售價(jià)下降系數(shù)a=0.01美元（稱為價(jià)格彈性系數(shù)），兩種彩電之間的銷售相互影響系數(shù)分別為0.004美元和0.003美元；4.固定成本為400000美元。1.提出問題-變量間相互關(guān)系確定假設(shè)

1：對每種類型的彩電，每多售出一臺，平均銷售價(jià)格會下降1美分,用a表示（即價(jià)格彈性系數(shù)a=0.01美元/臺）。

2：據(jù)估計(jì)，每售出一臺21英寸彩電，19英寸的彩電平均售價(jià)會下降0.3美分，而每售出一臺19英寸的彩電，21英寸彩電的平均售價(jià)會下降0.4美分。變量間關(guān)系因此，19英寸彩電的銷售價(jià)格為：

p=339-a×s-0.003×t，此處a=0.011.提出問題-變量間相互關(guān)系確定21英寸彩電的銷售價(jià)格為：

q=399-0.01×t-0.004×s因此，總的銷售收入為：

R=p×s+q×t生產(chǎn)成本為：

C=400000+195×s+225×t凈利潤為：

P=R-C因此，原問題轉(zhuǎn)化為求s≥0和t≥0，使得y=P取得最大值。2.選擇建模方法概述選定的建模方法這個(gè)問題我們視為無約束的多變量最優(yōu)化問題。這類問題通常在多元微積分得入門課程中都有介紹。我們這里只給出模型的要點(diǎn)和一般的求解過程。2.選擇建模方法給定定義在n維空間的子集S上的函數(shù)。我們要求在集合S上的最大值或最小值。一個(gè)定理給出：若在S的某個(gè)點(diǎn)內(nèi)達(dá)到極大值或極小值，設(shè)在這點(diǎn)可微，則在這個(gè)點(diǎn)上。也就是說，在極值點(diǎn)有

（2-1）

據(jù)此我們可以在求極大或極小點(diǎn)時(shí)，不考慮那些在S內(nèi)部使的某一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不為0的點(diǎn)。因此，要求極大或極小點(diǎn)，我們就要求解方程組(2-1)給出的n個(gè)未知數(shù)、n個(gè)方程的聯(lián)立方程組。然后我們還要檢查S的邊界上的點(diǎn),以及那些一個(gè)或多個(gè)偏導(dǎo)數(shù)沒有定義的點(diǎn)。3.推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式

由上述分析與基本假設(shè)，原問題的數(shù)學(xué)模型如下：4.利用第二步確定的標(biāo)準(zhǔn)過程求解

第四步中的計(jì)算有點(diǎn)繁瑣，這種情況下，可以采用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)來進(jìn)行所需的計(jì)算。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)可以求導(dǎo)數(shù)、求積分、解方程組、化簡代數(shù)表達(dá)式。大多數(shù)的軟件還可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、畫圖、求解微分方程組。利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)求解問題有幾項(xiàng)優(yōu)點(diǎn)：它可以提高效率，結(jié)果更準(zhǔn)確。4.利用第二步確定的標(biāo)準(zhǔn)過程求解圖2.2給出了函數(shù)P的3維圖象，圖象顯示，y在內(nèi)部達(dá)到最大值；圖2.3給出了P的水平集圖，從中我們可以估計(jì)出y的最大值出現(xiàn)在x1=5000,x2=7000附近。函數(shù)y是一個(gè)拋物面，其最高點(diǎn)為方程組的唯一解。圖2.1彩電問題的利潤y關(guān)于19英寸彩電的生產(chǎn)量s和21英寸彩電的生產(chǎn)量t的3維圖象圖2.2彩電問題中關(guān)于19英寸彩電的生產(chǎn)量x1和21英寸彩電的生產(chǎn)量x2的利潤函數(shù)有的水平集圖5.回答第一步中提出的問題簡單來說，這家公司今年可以通過生產(chǎn)4735臺19英寸彩電和7043臺21英寸彩電來獲得最大利潤，每年獲得的凈利潤為553641美元。

19英寸彩電的每臺平均售價(jià)為270.52美元；21英寸彩電的每臺平均售價(jià)為309.63美元；生產(chǎn)總支出為2907950美元，相應(yīng)的利潤率為19%。這些數(shù)據(jù)顯示有利可圖，因此建議公司推出新產(chǎn)品。2.2靈敏性分析由于在模型中我們假設(shè)19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)a=0.01美元/臺，所以應(yīng)該研究它的微小變化對模型結(jié)果的影響。而模型主要求的是生產(chǎn)量以及最大利潤，所以我們只考慮a的微小變化對這兩個(gè)的影響.2.2靈敏性分析1）產(chǎn)量對a的靈敏性分析

在模型中我們假設(shè)a=0.01美元/臺，將其帶入前面利潤的公式中，我們得到：令y關(guān)于x1，x2的偏導(dǎo)數(shù)為零，則：

（2-2）2.2靈敏性分析

圖2.3,2.4畫出了x1(a)，x2(a)關(guān)于a的曲線圖。由圖上顯示，19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)a的提高，會導(dǎo)致19英寸彩電的最優(yōu)生產(chǎn)量x1的下降，及21英寸彩電的最優(yōu)生產(chǎn)量x2的提高。圖2.5x1關(guān)于a的靈敏性曲線圖2.6x2關(guān)于a的靈敏性曲線靈敏性分析可以用相對改變量衡量結(jié)果對參數(shù)的敏感程度。s對a的靈敏性記作,定義為當(dāng)a=0.01時(shí)有：同理可得：

如果19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)在0.01美元/臺的基礎(chǔ)上提高10%，則我們應(yīng)該將19英寸彩電的生產(chǎn)量在4735臺上縮小11%，21英寸彩電的生產(chǎn)量在7043臺上擴(kuò)大2.7%。靈敏性分析2）利潤對a的靈敏性分析

19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)的變化會對利潤造成什么影響？直接把（2-2）帶入利潤的表達(dá)式，得

（2-3）2.2靈敏性分析圖2.7畫出了y關(guān)于a的曲線圖。由圖上顯示，19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)a的提高，會導(dǎo)致利潤的下降。而當(dāng)a=0.01時(shí)有：

說明當(dāng)19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)a提高10%時(shí)，利潤P只減少4%，a的微小變化對模型結(jié)果(利潤)的影響很小。圖2.7利潤關(guān)于a的靈敏性靈敏性分析在計(jì)算dy/da除了前面直接對(2-3)式的單變量求導(dǎo)外，還可以利用多變量函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t：由于在極值點(diǎn)都為零，則有這樣可直接得到dy/da，進(jìn)而求出.(2-4)式中的：有其實(shí)際意義

靈敏性分析導(dǎo)數(shù)dy/da中的這一部分代表了最優(yōu)生產(chǎn)量x1和x2的變化對利潤的影響。其和為零說明了生產(chǎn)量的微小變化對利潤幾乎沒有什么影響。從幾何上看，由于y(x1,x2)在極值點(diǎn)是平的，x1和x2的微小變化對y幾乎沒有什么影響。所以19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)10%的提高而導(dǎo)致的最優(yōu)利潤的下降幾乎全部是由售價(jià)的改變引起的。因此我們的模型給出的生產(chǎn)量幾乎是最優(yōu)的.靈敏性分析例如：設(shè)a=0.01,但實(shí)際的價(jià)格彈性系數(shù)比它高出了10%.我們用原來算出的最優(yōu)生產(chǎn)量(4735,7043),與a=0.011算出的最優(yōu)生產(chǎn)量(4251,7212)相比，我們會少生產(chǎn)出11%的19英寸彩電,而多生產(chǎn)約3%的21英寸彩電.而且利潤也會比最優(yōu)值低4%.

但我們?nèi)圆捎迷撃Ｐ偷慕Y(jié)果實(shí)際會損失什么呢？采用原來算出的最優(yōu)生產(chǎn)量(4735,7043),會得到利潤為531219美元，而采用現(xiàn)在算出的最優(yōu)生產(chǎn)量(4251,7212)會得到最優(yōu)利潤為533514美元。因此，采用我們模型的結(jié)果，雖然現(xiàn)在的生產(chǎn)量與最優(yōu)生產(chǎn)量有相當(dāng)?shù)牟罹啵@得的利潤僅僅比可能的最優(yōu)利潤損失了0.43%。在這意義下，我們的模型顯示了非常好的穩(wěn)健性。2.2拉格朗日乘子本節(jié)我們開始討論具有更復(fù)雜結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化問題。我們在上一節(jié)開始就提到，當(dāng)尋找最優(yōu)解的集合變得復(fù)雜時(shí)，多變量最優(yōu)化問題的求解就會復(fù)雜化。在實(shí)際問題中，由于存在著對獨(dú)立變量的限制條件，是我們不得不考慮這些更復(fù)雜的模型。問題2：在問題1中，我們假設(shè)公司每年有能力生產(chǎn)任何數(shù)量的彩電?，F(xiàn)在我們根據(jù)允許的生產(chǎn)能力引入限制條件。公司考慮投產(chǎn)者兩種新產(chǎn)品是由于計(jì)劃停止黑白電視機(jī)的生產(chǎn)。這樣裝配廠就有了額外的生產(chǎn)能力。這些額外的生產(chǎn)能力就可以用來提高那些現(xiàn)有產(chǎn)品的產(chǎn)量，但公司認(rèn)為新產(chǎn)品會帶來更高的利潤。據(jù)估計(jì)，現(xiàn)有的生產(chǎn)能力允許每年可以生產(chǎn)10000臺電視（約每周200臺）。公司有充足的19英寸、21英寸彩色顯像管、底盤及其他標(biāo)準(zhǔn)配件。但現(xiàn)在生產(chǎn)電視所需要的電路板供給不足。此外，19英寸彩電所需要的電路板與21英寸彩電的不同，這是由于其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)造成的。只有進(jìn)行較大的重新設(shè)計(jì)才能改變這一點(diǎn)，但公司現(xiàn)在不準(zhǔn)備做這項(xiàng)工作。電路板的供應(yīng)商每年可以提供8000塊21英寸彩電的電路板和5000塊19英寸彩電的電路板。考慮到所有這些情況，彩電公司應(yīng)該怎樣確定其生產(chǎn)量？清晰問題：問每種彩電應(yīng)該各生產(chǎn)多少臺，使得利潤最大化？2.1五步法1.提出問題2.選擇建模方法3.推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式4.求解模型5.回答問題1.提出問題-變量這里涉及的變量和問題１相同：s：19英寸彩電的售出數(shù)量（臺）；t：21英寸彩電的售出數(shù)量（臺）；p：19英寸彩電的售出價(jià)格（美元/臺）；q：21英寸彩電的售出價(jià)格（美元/臺）；C：生產(chǎn)彩電的成本（美元）；R：彩電銷售的收入（美元）；P：彩電銷售的利潤（美元）1.提出問題-常量這里涉及的常量同問題１：兩種彩電的初始定價(jià)分別為：339美元和399美元；每種彩電的生產(chǎn)成本分別為：195美元和225美元；每種彩電每多銷售一臺，平均售價(jià)下降系數(shù)a=0.01美元（稱為價(jià)格彈性系數(shù)）；種彩電之間的銷售相互影響系數(shù)分別為0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。1.提出問題-變量間相互關(guān)系確定假設(shè)1：對每種類型的彩電，每多售出一臺，平均銷售價(jià)格會下降1美分。假設(shè)２：對于每種類型的彩電，受到生產(chǎn)所需要的電路板的限制，其售出數(shù)量有限制

假設(shè)３：公司年內(nèi)的生產(chǎn)能力有上限c=10000臺，即；假設(shè)４：據(jù)估計(jì)，每售出一臺21英寸彩電，19英寸的彩電平均售價(jià)會下降0.3美分，而每售出一臺19英寸的彩電，21英寸彩電的平均售價(jià)會下降0.4美分。1.提出問題-變量間相互關(guān)系確定因此，19英寸彩電的銷售價(jià)格為：p=339-a×s-0.03×t，此處a=0.0121英寸彩電的銷售價(jià)格為：q=399-0.01×t-0.04×s因此，總的銷售收入為：R=p×s+q×t生產(chǎn)成本為：C=400000+195×s+225×t凈利潤為：P=R-C2.選擇建模方法概述選定的建模方法這個(gè)問題的模型為有約束的多變量最優(yōu)化問題，我們利用拉格朗日乘子法來求解。

給定一個(gè)函數(shù)及一組約束。我們這里假設(shè)這些約束可以用k個(gè)等式表示：2.選擇建模方法我們的目標(biāo)是在集合上對求最大值。一個(gè)定理保證了在極值點(diǎn)，一定有

這里稱為拉格朗日乘子。定理假設(shè)是線性無關(guān)向量。為了求出f在集合S上的極大或極小值點(diǎn)，我們要一起求解關(guān)于變量和的n個(gè)拉格朗日乘子方程2.選擇建模方法及k個(gè)約束方程：這里我們還要檢查那些不滿足梯度向量線性無關(guān)的異常點(diǎn)3.推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式

由上述分析與基本假設(shè)，原問題的數(shù)學(xué)模型如下：其中a=0.01.4.求解模型求解方法----Lagrange乘子法

這是一個(gè)帶有多個(gè)約束條件的多變量最優(yōu)化問題，可以使用Lagrange乘子法求解。

第1步：確定目標(biāo)函數(shù)y(x1,x2)的可行域S目標(biāo)函數(shù)y(x1,x2)的可行域S（見圖2.10）為：圖2.10目標(biāo)函數(shù)的可行域圖4.求解模型第2步：計(jì)算

在可行域S的內(nèi)部，，因此，最大值一定在邊界上達(dá)到。第3步：計(jì)算邊界上的極大值由于可行域由5條直線圍成，因此需要分別計(jì)算y(x1,x2)在每一條邊界線段上的極大值，下面分別計(jì)算，重點(diǎn)介紹如何計(jì)算y(x1,x2)在直線上的最大值。

4.求解模型（1）y(x1,x2)在約束直線上的極大值此時(shí)，需要求解問題其Lagrange乘子方程為，即與約束方程

聯(lián)立求解，得到代入目標(biāo)函數(shù)P(s,t)可得極大值為4.求解模型圖2.7給出了可行域以及y(x1,x2)的水平集圖像。水平集y(x1,x2)=C為一簇同心環(huán)，這些環(huán)與可行域相交，水平集y(x1,x2)=532308為最小的環(huán)。這個(gè)集合剛剛接觸到可行域S，且與直線在極值點(diǎn)相切。由圖2.7還可以看出，利用Lagrange乘子法在約束直線上找到的臨界點(diǎn)就是y(x1,x2)在整個(gè)可行域上的最大值。圖2.11可行域及水平集圖4.求解模型（2）y(x1,x2)在其它約束直線上的極大值采用與（1）類似的方法可以求出在剩余的其它約束直線上對P(s,t)的極大值點(diǎn)，結(jié)果如下：直線段：極大值點(diǎn)（5000，5000），極值為515000美元直線段：極大值點(diǎn)（2000，8000），極值為488000美元直線段：極大值點(diǎn)（0，8000），極值為352000美元；直線段：極大值點(diǎn)（5000，0），極值為70000美元。第4步：比較邊界極大值，求出最大值點(diǎn)比較函數(shù)y(x1,x2)在區(qū)域S的五段邊界直線上的最大值，可得到y(tǒng)(x1,x2)在區(qū)域上的最大值為532308美元，在點(diǎn)(3846,6154)處取得。5.結(jié)果解釋公司為獲得做大利潤應(yīng)生產(chǎn)3846臺19英寸彩電和6154臺21英寸彩電，從而每年的總生產(chǎn)量為10000臺，這樣的生產(chǎn)量用掉了所有額外的生產(chǎn)能力。能夠供應(yīng)的電路板的資源限制不是關(guān)鍵的。這樣可以得到預(yù)計(jì)每年532308美元的利潤。2.3靈敏性分析與影子價(jià)格我們先討論19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)a的靈敏性，即售出量s,t和利潤P關(guān)于a的靈敏性，然后討論最優(yōu)產(chǎn)量s,t，利潤P對可利用生產(chǎn)能力c=10000臺的靈敏性。彈性系數(shù)a的靈敏性分析仍利用Lagrange方法來求解該問題。Lagrange乘子方程為

即，

與約束方程聯(lián)立求解，得到彈性系數(shù)a的靈敏性分析計(jì)算可得從而在點(diǎn)s=3846，t=6154,a=0.01處，有將x1,x2代入f(x1,x2)，經(jīng)過計(jì)算可得彈性系數(shù)a的靈敏性分析代入數(shù)據(jù)a=0.01,y(3846,6154)=532308，可得彈性系數(shù)a的靈敏性分析我們可以得到：如果19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)a增加，我們要將一部分19英寸彩電的生產(chǎn)量轉(zhuǎn)為生產(chǎn)21英寸彩電；如果這一系數(shù)減少，我們則要多生產(chǎn)一些19英寸的彩電，少生產(chǎn)一些21英寸的彩電。在任一種情況下，只要(x1,x2)落在其他約束直線之間（0.007≤a≤0.022），總是可以生產(chǎn)總量為10000臺的彩電。彈性系數(shù)a的靈敏性分析我們可以得出結(jié)論：如果19英寸彩電的價(jià)格彈性系數(shù)a增加，將會導(dǎo)致利潤P下降。（同樣的，與無約束問題相同），而且?guī)缀跛械睦麧檽p失都是由19英寸彩電的銷售價(jià)格的降低所導(dǎo)致的。而且通過計(jì)算表明，如果a=0.011，即使用s=3846，t=6154來代替由（2.5）式確定的新的最優(yōu)解，也不會有太大的利潤損失。梯度向量

指向目標(biāo)函數(shù)值機(jī)利潤增加最快的方向?，F(xiàn)在即使不在最優(yōu)點(diǎn)出，但是從最優(yōu)值點(diǎn)到（3846，6154）的方向