信號與系統(tǒng) 第八章 濾波器和均衡器中的應用

第八章濾波器和均衡器中的應用濾波器是對信號的頻率成分進行選擇和調整的工具。使用濾波器對信號進行選擇的前提，是所需要信號的頻率成分與寄生（無用）信號的頻率成分之間是分離的。均衡器是從輸出信號中恢復輸入信號的工具。利用拉普拉斯變換和z變換，可以實現(xiàn)濾波器和均衡器的設計。理想濾波器概念是濾波器設計的基礎，從理想濾波器概念出發(fā)，可以實現(xiàn)實際濾波器的設計。低通濾波器設計是高通濾波器和帶通濾波器等濾波器設計的基礎方法以連續(xù)時間系統(tǒng)的角度設計的濾波器是模擬濾波器，以離散時間系統(tǒng)角度設計的濾波器是數(shù)字濾波器。§8.1引言§8.2無失真?zhèn)鬏敆l件如果輸出信號y(t)只是輸入信號x(t)幅度的尺度變換和恒定的時間延遲，則稱系統(tǒng)對輸入信號進行了無失真的傳輸。系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件可以表示為其中

C和

t0均是常數(shù)，分別代表幅度變換程度和傳輸過程中的時間延遲。LTI系統(tǒng)輸入信號x(t)輸出信號y(t)=C

x(t-t0)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的傅里葉變換為線性非時變無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應和沖激響應分別為§8.2無失真?zhèn)鬏敆l件無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度響應為常數(shù)：無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的相位響應，是以系統(tǒng)延遲時間的負值為斜率、隨頻率變化的直線。無時移系統(tǒng)的相位響應為常數(shù)。0ω|H(jω)|C0ωarg{H(jω)}斜率=-t0離散信號無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應ωΔt

對所有頻率§8.3理想低通濾波器實際信號隨時間的變化率一般都有一定的上下限，即信號的頻譜只占有有限的頻率范圍。我們可以通過對系統(tǒng)進行設計，使其具有選擇讓某些頻率范圍的信號通過，并阻斷某些頻率范圍信號的功能，實現(xiàn)這種功能的方法或工具稱為濾波器。實際系統(tǒng)都只能對一定頻率范圍的信號做出響應，因此從廣義上說，實際系統(tǒng)本身就具有濾波器的功能。濾波器的頻率響應通過通帶和阻帶體現(xiàn)其特性，通帶與阻帶之間由過渡帶（保護帶）隔離開，過渡帶往往是系統(tǒng)為保證完整而無失真地取得有用信號的冗余保障。濾波器有低通、高通、帶通和帶阻等類型，分別對應系統(tǒng)需要傳輸?shù)皖l、高頻、中頻及除中頻外頻段信號的特性。低通濾波器是具有讓頻率從零至某一最大頻率范圍信號通過，而阻斷其他高頻信號通過的系統(tǒng)。允許所有通帶內的低頻信號無失真通過，通帶外的高頻信號完全不能通過的濾波器是為理想低通濾波器。低通濾波器設計方法是其他濾波器設計的基礎?！?.3理想低通濾波器理想低通濾波器的頻率響應：0ω|H(jω)|1ωc-ωc0ωarg{H(jω)}1ωc-ωc斜率=-t0理想低通濾波器通帶內幅度響應為1，相位響應為直線，即：§8.3理想低通濾波器理想低通濾波器的沖激響應：主瓣寬度：2π/ωc上升時間：π/ωct

<0時，h(t)≠0由于t

<0時，h(t)≠0，理想低通濾波器不具有因果性。

8.3.1時域矩形脈沖信號通過理想低通濾波器后的特性輸入為矩形脈沖信號通過理想低通濾波器后的輸出信號為其中：

8.3.1矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特性而稱為正弦積分正弦積分的基本特點:正弦積分是奇函數(shù)；正弦積分在π的整數(shù)倍位置上有極大值或極小值；隨著|u|的增加，正弦積分趨向于極限值±π/2。

8.3.1矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特性矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特點1、ωc＞4π/T0時，輸出信號y(t)與輸入矩形脈沖x(t)的持續(xù)時間大致相同，但是：a）與輸入信號的陡峭上升和下降不同，輸出信號具有一定的上上升和下降時間，上升和下降時間的長短與截止頻率ωc成反比，截止頻率越大，上升和下降時間越短；b）輸出信號y(t)在上升和下降沿的前后存在過沖和振蕩（吉布斯現(xiàn)象），最大頂部上沖量約為正弦積分極限值的9%。

2、ωc=2π/T0時，輸出響應y(t)可以看成一個脈沖信號。脈沖的上升時間和下降時間之和與輸入矩形脈沖的持續(xù)時間幾乎是相同的，可以近似反映輸入信號的有無和持續(xù)時間過程。3、當ωc＜2π/T0時，響應y(t)可以粗略地看作輸入脈沖的失真模式。ωc>4π/T0ωc=2π/T0ωc＜2π/T0x(t)y(t)

8.3.1矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特性（第7節(jié)課，2014年12月15日，金工實習停課6周后第六次課講到此。）

矩形脈沖通過理想低通濾波器后的特點ωcT0

=10π時，矩形脈沖通過理想低通濾波器后的輸出：1）上升和下降時間較ωcT0

=4π時明顯減?。?）平均振蕩幅度較ωcT0

=4π時明顯減??；3）其過沖（最大振蕩幅度）基本保持不變，約為平均極限響應的9%。ωcT0

=20π時，矩形脈沖通過理想低通濾波器后的輸出：1）上升和下降時間較ωcT0

=10π時進一步減??；2）平均振蕩幅度進一步減??；3）其過沖（最大振蕩幅度）基本保持不變，約為平均極限響應的9%。§8.4濾波器設計理想低通濾波器具有的三項功能：讓位于通帶內的所有頻率成分無失真通過；濾除所有位于阻帶內的頻率成分；從通帶到阻帶的過渡是陡峭的。但是這三項功能實際上是難以實現(xiàn)的。實際濾波器是在允許存在一定誤差的條件下來實現(xiàn)的。

實際低通濾波器的設計原則:1）濾波器的幅度響應的平方控制在1與1-ε之間，即1-ε≤|H(jω)|2≤1對于0≤ω≤ωp

其中ωp是通帶的截止頻率，

ε是容限參數(shù)；2）阻帶內濾波器的幅度的平方小于δ，即

|H(jω)|2≤δ對于|ω|≥ωs

其中ωs是阻帶的截止頻率，

δ是容限參數(shù)；3）過渡帶的帶寬是有限值，為：ωs-ωp，即阻帶最小頻率與通帶最大頻率之差。11-εδ|H(jω)|2ωsωp0通帶阻帶過渡帶§8.4濾波器設計實際低通濾波器的設計步驟:1）通過表示穩(wěn)定因果系統(tǒng)的有理傳遞函數(shù)，將預定的頻率響應（包括幅度及相位響應）作近似表示；2）通過實際的物理系統(tǒng)實現(xiàn)以上近似表示的傳遞函數(shù)。

實際低通濾波器的設計方法:1）對模擬系統(tǒng)采用模擬方法實現(xiàn)濾波器設計；2）在已經知道的模擬濾波器基礎上設計數(shù)字濾波器，稱為模擬—數(shù)字方法；3）直接進行數(shù)字濾波器的設計方法?！?.5實現(xiàn)實際濾波器設計的近似函數(shù)

實際濾波器的設計沒有固定和唯一的方法，只能根據(jù)需要問題的要求，從一個優(yōu)化的原則和技術出發(fā)，得到符合一定規(guī)范條件下的解決方案。濾波器設計中常用的兩種優(yōu)化方案是最大平坦幅度響應和等紋波幅度響應。a）最大平坦幅度響應

如果幅度響應|H(jω)|對ω的各階偏導數(shù)在ω=0時均為零，稱該濾波器|H(jω)|是關于ω=0點最大平坦的。即最大平坦幅度響應滿足：§8.5實現(xiàn)實際濾波器設計的近似函數(shù)b）等紋波幅度響應

令幅度響應|H(jω)|的模平方具有如下形式：

如果函數(shù)F

2(ω)在整個通帶內只在最大值與最小值之間振蕩，那么就可以通過選擇適當?shù)摩弥担沟脇H(jω)|在通帶內只在1與1-ε之間變化，稱這種情況下的幅度響應為等紋波幅度響應。等紋波幅度響應舉例1：函數(shù)F

(ω)關于ω的K=3階導數(shù)存在，且ωc=1（i）F

2(ω)=0，當ω

=0，±ωa

（ii）F

2(ω)=1，當ω

=±ωb，

±1（iii）

，當ω

=±ωb，±ωa

其中：0＜ωb＜ωa＜1ωbωa011ωF

2(ω)§8.5實現(xiàn)實際濾波器設計的近似函數(shù)等紋波幅度響應舉例2：函數(shù)F

(ω)關于ω的K=4階導數(shù)存在，且ωc=1（i）F2

(ω)=0，當ω

=0，±ωa1

，±ωa2

（ii）F

2(ω)=1，當ω

=0，±ωb，

±1（iii）

，當ω

=0，±ωa1

，±ωb，±ωa2

其中：0＜ωa1

＜ωb＜ωa2

＜1ωa1ωa2011ωF

2(ω)ωb等紋波幅度響應舉例2：函數(shù)F

(ω)關于ω的K=4階導數(shù)存在，且ωc=18.5.1Butterworth低通濾波器K階

Butterworth低通濾波器的定義為Butterworth低通濾波器是關于ω的偶函數(shù)。

ωc是濾波器的截止頻率。ω/ωc|H(jω)|28.5.1Butterworth低通濾波器Butterworth低通濾波器的特點：1、ω=0時，|H(jω)|的2K-1階導數(shù)均為零，即Butterworth低通濾波器對于ω=0是最大平坦的；2、無論K為多少階，濾波器在ω=0

處無衰減；3、Butterworth低通濾波器是單調的，且無論K為多少階，濾波器在ω=±ωc

處的輸出為最大值的1/2，即以半功率輸出對應的頻率為截止頻率；截止頻率越大，通帶寬度越寬，截止頻率越小，則通帶寬度越窄；4、Butterworth低通濾波器的階數(shù)越大，通帶內不同頻率信號的增益越平坦；

Butterworth低通濾波器的階數(shù)越小，通帶內不同頻率信號的增益越不平坦；5、Butterworth低通濾波器的階數(shù)越大，通帶邊緣的上升和下降率就越大，

Butterworth低通濾波器的階數(shù)越小，通帶邊緣的上升和下降率就越小。ε=0.02ε=0.01ε=0.05ε=0.1Kωp/ωc8.5.1Butterworth低通濾波器由ω=ωp

時，

|H(jω)|2=1-ε

得到通帶特性：8.5.1Butterworth低通濾波器由ω=ωs

時，

|H(jω)|2=δ

得到阻帶特性：δ=0.01δ=0.02δ=0.05δ=0.1ωs/ωcK8.5.1Butterworth低通濾波器由s=jω替換

|H(jω)|2

中的ω，則Butterworth低通濾波器的傳遞函數(shù)：H(s)H(-s)的極點滿足：即：H(s)的極點位于半徑為ωc的圓周上(P603圖8.11)，且與虛軸沒有交點（這是傅里葉變換即頻率響應存在的必然結果），特別是如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，

Butterworth低通濾波器傳遞函數(shù)H(s)的極點將只位于s平面的左半平面內?！遠(t)為實函數(shù)時，H*(jω)=H(-jω)8.5.1Butterworth低通濾波器例題與習題：例8.3（P603）作業(yè)：習題8.2（P604），習題8.3（P604），8.5.1Butterworth低通濾波器例題與習題：

例8.3（P603）三階Butterworth濾波器的極點分布k=1k=2k=3k=4k=5k=68.5.1Butterworth低通濾波器例題與習題：例8.3（P603）四階Butterworth濾波器的極點分布k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=88.5.2Chebyshev（切比雪夫，橢圓）濾波器Chebyshev（切比雪夫）低通濾波器是一種等紋波濾波器，它的定義式比Butterworth濾波器復雜，分為Chebyshev-I型和Chebyshev-II型。Chebyshev-I型濾波器的定義：Chebyshev-II型濾波器的定義：

可見，Chebyshev-II型（反Chebyshev

）濾波器是Chebyshev-I型濾波器的反濾波器。式中：

ε＜1，是通帶紋波參數(shù)；δ＜1，是阻帶紋波參數(shù)；而雙曲余弦函數(shù)：cosh(x)=(ex+e-x)/2|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωcK=2K=4K=6K=88.5.2Chebyshev（切比雪夫）濾波器Chebyshev-I型濾波器的功率譜Chebyshev-II型（反Chebyshev）濾波器的功率譜8.5.2Chebyshev（切比雪夫）濾波器|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2ω/ωcK=1K=3K=5K=7Chebyshev-I型濾波器在通帶內是等紋波的，紋波的極大和極小值的總數(shù)與濾波器階數(shù)K相同，阻帶內Chebyshev-I型濾波器是單調下降的。Chebyshev-II型濾波器在阻帶內是等紋波的，在通帶內Chebyshev-II型濾波器是單調下降的。Chebyshev-I型通帶內的等紋波性與Chebyshev-II型濾波器阻帶內的等紋波性結合可以減小過渡帶的帶寬。這時兩個Chebyshev濾波器的極點均位于橢圓上，稱這樣的濾波器為橢圓濾波器。

橢圓濾波器是最優(yōu)化濾波器，因為根據(jù)這樣的規(guī)范所設計濾波器的過渡帶寬最小，其傳遞函數(shù)在s平面上的零點是有限的，零點的數(shù)目由濾波器的階數(shù)K惟一確定。另外，Butterworth

和Chebyshev濾波器傳遞函數(shù)的所有零點都位于

s=∞處。8.5.2Chebyshev（切比雪夫）濾波器§8.6頻率變換—濾波器通帶之間的關系

截止ωc=1的低通濾波器稱為“原型”濾波器：通過改變截止頻率的值，可以得到具有任意截止頻率的低通濾波器；通過一定獨立變量代換，可以在不改變容差的情況下，由原型濾波器得到高通、帶通和帶阻濾波器。8.6.1低通濾波器到高通濾波器的轉換

低通濾波器的傳遞函數(shù)中，s平面內的s=0和s=∞分別代表通帶的頻率中點（零頻率）及阻帶中的漸近過程。高通濾波器的作用與低通濾波器的作用恰好相反，因此可以在低通濾波器中將sLP用ωc/sHP替代而得到高通濾波器的傳遞函數(shù)，其中ωc是高通濾波器的低頻截止頻率。即：sLP

ωc/sHP8.6.1低通濾波器到高通濾波器的轉換

進一步當已經得到了原型低通濾波器傳遞函數(shù)的部分分式，則原型低通濾波器傳遞函數(shù)到高通濾波器的轉換關系為：ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2從原型低通濾波器傳遞函數(shù)與高通濾波器的關系直接得到：8.6.2低通濾波器到帶通和帶阻濾波器的轉換

帶通濾波器抑制了信號的低頻和高頻成分，而只允許其中某一帶寬范圍內的頻率成分通過。帶通濾波器的頻率響應H(jω)具有如下特點：1、在以為ω0中心頻率、截止頻率為±ωc的通帶內，1/2≤|H(jω)|2≤1；2、在ω

遠離±ωc的地方，|H(jω)|2≈0。從原型低通濾波器傳遞函數(shù)得到帶通濾波器的功率譜傳遞函數(shù)：

相應地，可以建立零點位于s=0和s=∞處，極點位于s=±jω0處，通帶寬度為B的傳遞函數(shù)。sLP

（s2BP+ω20）/

BsBP

進一步當已經得到了原型低通濾波器傳遞函數(shù)的部分分式，則原型低通濾波器傳遞函數(shù)到帶通濾波器的轉換關系為：其中極點8.6.2低通濾波器到帶通和帶阻濾波器的轉換

帶阻濾波器抑制了信號的某一帶寬范圍內的頻率成分，而允許低頻和高頻成分通過。帶阻濾波器的頻率響應HBR(jω)具有如下特點：1、在以為ω0中心頻率、截止頻率為±ωc的阻帶內，0≤|H(jω)|2≤1/2；2、在ω

遠離±ωc的地方，|H(jω)|2≈1。從原型低通濾波器傳遞函數(shù)得到帶通和帶阻濾波器的功率譜傳遞函數(shù)：ω/ωc|H(jω)|2ω/ωc|H(jω)|2BB§8.6頻率變換例題與習題：作業(yè)：習題8.4（P607），習題8.5（P607），習題8.6（P608），習題8.7（P608）§8.7無源濾波器（P608）

（第8節(jié)課，2014年12月22日，金工實習停課6周后第七次課講到此。）

完全由無源電路元件（電阻、電容、電感等）組成的的濾波器稱為無源濾波器。無源濾波器的設計完全取決于電容和電感兩種電抗元件，電阻元件只作為輸入阻抗和輸出負載引入到設計中。濾波器的階數(shù)K往往由組成濾波器的電抗元件個數(shù)決定。濾波器的設計經常是根據(jù)信號的頻率分布特性來進行，即預先知道了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后根據(jù)傳遞函數(shù)來確定構成濾波電路的元件，這個過程稱為網絡綜合?！?.8數(shù)字濾波器

無源濾波器在電子系統(tǒng)和通信系統(tǒng)中發(fā)揮了重要的作用，但是隨著技術的進步、數(shù)字技術和計算機技術的發(fā)展，無源濾波器的主導地位逐漸被有源濾波器和數(shù)字濾波器所取代。數(shù)字濾波器通過計算實現(xiàn)對連續(xù)信號或離散信號的濾波處理。模數(shù)轉換器數(shù)字濾波器數(shù)模轉換器重構濾波器輸入信號x(t)輸出信號y(t)x[n]y[n]y’(t)含數(shù)字濾波器單元的連續(xù)時間濾波系統(tǒng)§8.8數(shù)字濾波器

數(shù)字濾波器設計和實現(xiàn)中需要注意的問題1、數(shù)字濾波器設計的理論基礎是離散信號處理理論。在那里，連續(xù)信號在時間上是經過離散抽樣的，但抽樣點對應信號值的精度是無限精確的。這樣設計的濾波器可以在數(shù)學處理和分析上帶來很大的方便。2、對于實際的數(shù)字信號，不僅在抽樣過程中產生了時間的離散，同時還在量化過程中產生了信號值的數(shù)字化，使數(shù)字信號與原信號值之間產生了誤差。因此在數(shù)字濾波器的實際應用中，由于計算或處理中舍入的門誤差，往往會導致濾波器的實際效果與理論設計結果之間存在一定的偏差。3、注意：第一種情況的準確描述應為離散時間濾波器，第二種情況才是真正的數(shù)字濾波器?！?.8數(shù)字濾波器

數(shù)字濾波器的分類1、有限持續(xù)時間沖擊響應（FIR：finite-durationimpulseresponse）數(shù)字濾波器：由一個非遞歸線性常系數(shù)差分方程描述，其傳遞函數(shù)是z-1的多項式。FIR濾波器具有以下特性：

●有限的記憶，因此，任何瞬時啟動的持續(xù)時間都是有限的；

●總是有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的；●能在滿足線性相位響應的無相位失真條件下，實現(xiàn)特定的幅度響應。

模擬濾波器的特性是通過時域的無限持續(xù)時間沖擊響應來體現(xiàn)，而數(shù)字濾波器對應的沖擊響應持續(xù)時間既有有限的，也有無限的。§8.8數(shù)字濾波器2、無限持續(xù)時間沖擊響應（IIR：infinite-durationimpulseresponse）數(shù)字濾波器：其輸入—輸出特性由一個遞歸線性常系數(shù)差分方程描述，其傳遞函數(shù)是z-1的有理多項式。對于給定頻率響應，使用IIR數(shù)字濾波器會比使用相應的FIR數(shù)字濾波器得到更短的濾波器長度，但這是以相位失真和瞬時啟動不一定是有限為代價的§8.9FIR數(shù)字濾波器

對于一個沖激響應為h[n]的離散時間非周期系統(tǒng)，其頻率響應為H(ejΩ)，二者之間的關系為

FIR數(shù)字濾波器的特性是其相位響應是線性的。相位線性響應對應著沖激響應的固定時延，可以簡化FIR數(shù)字濾波器設計中的對幅度響應的近似處理。8.9.1離散時間非周期系統(tǒng)頻率響應與沖激響應的關系§8.9FIR數(shù)字濾波器

如果一系統(tǒng)理想頻率響應為Hd(ejΩ)，其對應的沖激響應為hd

[n]，hd

[n]一般是無限離散時間非周期函數(shù)。為了便于時域處理，需要通過一個窗口函數(shù)w[n]使實際沖激響應為h

[n]變?yōu)橛邢迺r間函數(shù)，實際上，由于信號采集的時間不可能無限長，實際沖激響應為h[n]總是有限的，這時其中窗口函數(shù)其傅里葉變換表示分別為H(ejΩ)和W(ejΩ)。8.9.2FIR數(shù)字濾波器的基本概念§8.9FIR數(shù)字濾波器

根據(jù)乘積的傅里葉變換性質，有限時間函數(shù)沖激響應h

[n]的頻率響應為：8.9.3FIR數(shù)字濾波器產生的誤差使用FIR數(shù)字濾波器前后，頻率響應誤差可以用均方誤差衡量:§8.9FIR數(shù)字濾波器

根據(jù)帕斯瓦爾定理，誤差可以在時域表示為：將窗口函數(shù)帶入，得到對矩形窗口，誤差為可見為了減少誤差，窗口函數(shù)的選擇應使殘留的沖激響應盡可能小。8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應矩形窗口函數(shù)漢明（Hamming）窗口函數(shù)漢寧（Hanning）窗口函數(shù)8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應矩形窗口函數(shù)矩形窗口函數(shù)的頻率響應8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應漢寧（Hanning）窗口函數(shù)漢寧（Hanning）窗口函數(shù)的頻率響應8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應漢明（Hamming）窗口函數(shù)漢明（Hamming）窗口函數(shù)的頻率響應8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應nwRect[n]nwHamming[n]nwHanning[n]窗口函數(shù)圖形8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應ΩW

(ejΩ)rectHammingHanning窗口函數(shù)的幅度譜（線性坐標）8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應ΩW

(ejΩ)rectHammingHanning窗口函數(shù)的幅度譜（線性坐標）8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應Ω20Log10|W

(ejΩ)|rectHammingHanning窗口函數(shù)的幅度譜（分貝）8.9.4常用的FIR數(shù)字濾波器窗口函數(shù)及其頻率響應Ω20Log10|W

(ejΩ)|rectHammingHanning窗口函數(shù)的幅度譜（分貝）8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用FIR數(shù)字濾波器的設計步驟：1、了解系統(tǒng)或信號的頻率響應或頻率成分Hd(ejΩ)；2、求Hd(ejΩ)的逆傅里葉變換得到對應的沖激響應hd

[n]，即3、選擇適當?shù)拇翱诤瘮?shù)w[n]，使理想沖激響應被調制為可實際應用的有限時間沖激響應為h

[n]，即4、求輸入信號x

[n]與有限時間沖激響應為h

[n]

的卷積和得到輸出信號y

[n]

，即8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5P613）0Ω|Hd(ejΩ)|10Arg[Hd(ejΩ)]Ωc-ΩcΩc-ΩcΩ頻譜成分及對應的沖激響應8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被窗口函數(shù)調制后的沖激響應8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被窗口函數(shù)調制后沖激響應的頻譜被窗口函數(shù)調制后沖激響應對應的輸出信號n沖激響應hrect[n]hd[n]8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=12）調制后沖激響應的圖形表示8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=12）調制后沖激響應的圖形表示8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=12）調制后沖激響應的圖形表示n沖激響應hHam[n]hd[n]8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=12）調制后沖激響應的圖形表示（紅線是矩形窗口調制的結果）8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=12）調制后沖激響應的圖形表示n沖激響應hHan[n]hd[n]8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=12）調制后沖激響應的圖形表示（紅線是矩形窗口調制的結果）8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=12）調制后沖激響應的頻譜Ω頻率響應Wrect(ejΩ)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*Wrect8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=12）調制后沖激響應的頻譜Ω頻率響應WHam(ejΩ)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHam8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=12）調制后沖激響應的頻譜Ω頻率響應WHan(ejΩ)Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHan8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=50）調制后沖激響應的頻譜Ω頻率響應Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WrectWrect(ejΩ)WHam(ejΩ)Ω頻率響應Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHam8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=50）調制后沖激響應的頻譜8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=50）調制后沖激響應的頻譜WHan(ejΩ)Ω頻率響應Hd(ejΩ)H(ejΩ)=Hd*WHan8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被矩形窗口函數(shù)（M=50）調制后的沖激響應8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hamming窗口函數(shù)（M=50）調制后的沖激響應8.9.5FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.5（P613）被Hanning窗口函數(shù)（M=50）調制后的沖激響應8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.6（P615）頻譜成分及對應的沖激響應0Ω|Hd(ejΩ)|π0Arg[Hd(ejΩ)]πΩ-π-π-πππM/2-πM/28.9.6FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.6（P615）經過M=12的矩形窗口調制后的沖激響應8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.6（P615）經過M=12的Hanming窗口調制后的沖激響應8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.6（P615）經過M=12的Hanming窗口調制后的沖激響應8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.6（P615）經過寬度為M=12矩形窗口的幅度響應8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.6（P615）經過寬度為M=12漢明窗口的幅度響應8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.6（P615）經過寬度為M=50矩形窗口的幅度響應8.9.6FIR數(shù)字濾波器的設計與應用—例8.6（P615）經過寬度為M=50漢明窗口的幅度響應習題講解：習題8.7（P608）§8.10IIR數(shù)字濾波器設計方法舉例連續(xù)信號的傳遞函數(shù)通過拉普拉斯變換得到，而離散信號的傳遞函數(shù)則由

z變換得到。當連續(xù)信號離散后，需要尋找拉普拉斯變換與z變換之間的對應關系，即模擬濾波器與IIR數(shù)字濾波器之間的轉換關系。由模擬濾波器到IIR數(shù)字濾波器之間的轉換方法有許多種，雙線性z變換是其中比較基礎的一種，它能夠讓s平面上的點與z平面上的點具有惟一的對應關系。雙線性z變換的基本思路是：首先將整個s平面壓縮到s平面內一條虛軸寬度（有限帶寬）為2π/Ts（-π/Ts＜ω＜π/Ts）的范圍內，之后再用關系

z=rest將此橫帶轉換到z平面上（如下頁圖所示）。≥2ωmax§8.10IIR數(shù)字濾波器設計方法舉例保證s平面與z平面具有一一對應的映射關系的條件為：1、

s平面上的整個虛軸

jω映射為z平面的單位圓上的一周；2、H(s)穩(wěn)定時，

H(z)也是穩(wěn)定的，因此s左半平面內收斂的H(s)必須映射到

z平面的收斂圓內，

s右半平面內收斂的H(s)必須映射到

z平面的某一圓外；3、這種映射應是可逆的，即：既可以由H(s)轉換為H(z)，也可以從H(z)

恢復H(s)；4、如果H(j0)=1，那么對應的H(ej0)=1。s平面σ

jω0z平面Im{z}Ωrz平面jω0-π/Tsπ/TsRe{z}§8.10IIR數(shù)字濾波器設計方法舉例雙線性變換是滿足上述4個條件的變換，其定義之一為：其中Ts是從

s域到

z域轉換的抽樣間隔，即由連續(xù)信號轉換為離散信號時的時間抽樣間隔。因此由拉氏變換傳遞函數(shù)H(s)到

z變換傳遞函數(shù)H(z)之間的變換關系為：因此:§8.10IIR數(shù)字濾波器設計方法舉例利用關系

s=σ+jω及

z=rejΩ

得到：而復角:§8.10IIR數(shù)字濾波器設計方法舉例從

s域到

z域傳遞函數(shù)轉換的對應關系為：1、當σ＜0時，r＜1，即：H(s)穩(wěn)定時，H(z)也是穩(wěn)定的；2、當σ＞0時，r＞1，即：

H(s)非穩(wěn)定時，

H(z)也