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高等數學A第3章一元函數積分學3.1不定積分3.1.4不定積分的換元積分法

中南大學開放式課堂教學3.1不定積分3.1.4換元積分法

第二換元積分法第一換元積分法

第二換元積分法應用習例18-20第一換元積分法應用習例1-17

常見的一些湊微分形式基本積分表2小結與思考題

換元積分法3.1.4不定積分的換元法

利用積分性質和簡單的積分表可以求出不少函數的原函數,但實際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的.

現在介紹與復合函數求導法則相對應的積分方法——不定積分換元法.它是在積分運算過程中進行適當的變量代換,將原來的積分化為對新的變量的積分,而后者的積分是比較容易積出的.原函數?被積表達式?也是被積表達式?一、第一換元積分法

積分形式不變性引理例如？原式變形為第一換元法(湊微分法)定理1注意:(2)第一換元法的過程是:實際解題時,常常省略上述過程中的第三與第四等號.二、常見的一些湊微分形式萬能湊冪法常見的一些湊微分形式:例1例2計算例3計算例4計算例5計算例6計算例7計算例8計算例9計算例10計算三、第一換元積分法習例例11計算例12計算例13計算例14計算例15計算例17例16計算例1解例2計算解例3計算解例4

計算解例5計算解作為公式想到公式練習題

解練習題

例6

計算想到解(直接配元)例7

計算解例8

計算解例9

計算解例10

計算解類似例11

計算解例12

計算解注意:當被積函數是三角函數相乘時，拆開奇次項去湊微分.例13

計算解例14

計算解(1)（使用了三角函數恒等變形）解(2)同理可得例15

計算

解例16

解（1）

用萬能湊冪法解(2)解(3)解例17另解問題方法改變中間變量的設置方法.（應用“湊微分”即可求出結果）四、第二換元積分法定理2證設為的原函數,則有換元公式令則注意:(2)一般規(guī)律如下：當被積函數中含有可令可令可令(3)以上三種代換稱為三角代換.通常通過三角代換去根號.五、第二換元積分法習例例19

計算例20

計算例18

計算解令則∴原式例18

計算例19

計算解令例20

計算解令注意：以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是消去根式.一般規(guī)律如下：當被積函數中含有可令可令可令基本積分表基本積分表2—公式16-24小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換基本積分表(2)在第一類換元法中

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