量子力學(xué)：11-氫原子

1量子力學(xué)

氫原子堿金屬原子2目錄一、中心力場問題回顧二、氫原子三、堿金屬原子的價電子3H的本征方程1.哈密頓算符xz球坐標(biāo)ry此式使用了L2

的表達(dá)式：（一）中心力場下的能量本征方程問題回顧4（2）分離變量求解方程()yymmErVrLrrrr=ú?ùê?é++????-222222?)(2h5角向方程的解中心力場問題可以分離變量簡化為兩個方程，一個是角向方程，另一個是徑向方程。下面來分別討論

角向方程就是角動量平方算符的本征值方程,它的解已得到了.于是中心力場問題歸結(jié)為求解徑向方程：顯然，對于不同的值，有不同的徑向方程。先求得方程的通解，再考慮波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件，即可得到能級和波函數(shù)。一般講，能級和徑向波函數(shù)：它們都與兩個量子數(shù)n和l有關(guān)。6波函數(shù)的統(tǒng)計解釋對波函數(shù)漸進(jìn)行為的要求

_波函數(shù)平方可積7一、中心力場的守恒量-角動量二、中心力場能級簡并

角動量算符的對易關(guān)系三、中心力場力學(xué)量完全集四、無限深球方勢阱五、三維各向同性諧振子勢8原子的穩(wěn)定性問題

原子塌陷與氫原子光譜

按經(jīng)典理論，如果采用盧瑟福的原子有核模型，電子繞核做加速運動，因而以連續(xù)譜的形式向外輻射能量，并最終因能量耗盡而掉到原子核里，原子的壽命約為1ns。實驗觀測到:氫原子光譜是彼此分裂的線狀光譜，每一條譜線具有確定的波長（或頻率）玻爾的假設(shè)?9二、氫原子 量子力學(xué)發(fā)展史上最突出得成就之一是對氫原子光譜和化學(xué)元素周期律給予了相當(dāng)滿意的解釋。氫原子是最簡單的原子，其Schrodinger方程可以嚴(yán)格求解，氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。氫原子中一個電子在庫倫勢中相對于核運動的波函數(shù)

(r)所滿足的方程，相對運動能量E就是氫原子的能級。10二、氫原子(1)11二、氫原子(2)12二、氫原子(3)我們只討論束縛態(tài)E<013二、氫原子(4)14二、氫原子(5)15二、氫原子(6)5、氫原子能級圖Bohr半徑主量子數(shù)Lyman線系Balmer線系Paschen線系連續(xù)譜16二、氫原子(7)17下面列出了前幾個徑向波函數(shù)Rnl表達(dá)式：對于氫原子Z=118二、氫原子(8)19二、氫原子(9)20二、氫原子(10)21（1）能級和波函數(shù)（2）能級簡并性能量只與主量子數(shù)n有關(guān)，而本征函數(shù)與n,,m有關(guān)，故能級存在簡并。n=nr++l=0,1,2,...nr=0,1,2,...（三）小結(jié)22能級En

是n2度簡并(不考慮自旋).當(dāng)n=1對應(yīng)于能量最小態(tài)，稱為基態(tài)能量，E1=μZ2e4/22，相應(yīng)基態(tài)波函數(shù)是ψ100=R10Y00，所以基態(tài)是非簡并態(tài)。當(dāng)n確定后，

=n-nr-1，所以最大值為n-1。當(dāng)確定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1個值。所以對于En能級其簡并度為：2324（4）簡并度與力場對稱性

由上面求解過程可以知道，由于中心力場是球?qū)ΨQ的，所以徑向方程與

m無關(guān)，而與

有關(guān)。因此，對一般的有心力場，解得的能量E不僅與徑量子數(shù)

nr有關(guān)，而且與

有關(guān)，即

E=Enl，簡并度就為

(2+1)

度。

但是對于庫侖場

-Ze2/r

這種特殊情況，得到的能量只與

n=nr++1有關(guān)，所以又出現(xiàn)了對

的簡并度。這是由于庫侖場具有比一般中心力場

有更高的對稱性的表現(xiàn)。

25n=1的態(tài)是基態(tài)，E1=-(e4/22)，當(dāng)n→∞時，E∞=0，則電離能為：ε=E∞-E1=-E1=μe4/22=13.579eV.（1）能級1.基態(tài)及電離能2.氫原子譜線線狀光譜！26（2）波函數(shù)和電子在氫原子中的幾率分布1.氫原子的徑向波函數(shù)272.徑向幾率分布例如：對于基態(tài)電子在(r,θ,)點附近體積元d=r2sindrdd

內(nèi)的幾率在半徑rr+dr球殼內(nèi)找到電子的幾率考慮球諧函數(shù)的歸一化28二、氫原子(11)29二、氫原子(12)30二、氫原子(13)31二、氫原子(14)323.幾率密度隨角度變化Rnl(r)已歸一電子在(θ,)附近立體角d

內(nèi)的幾率下面圖示出了各種,m態(tài)下，Wm()關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，由于它與角無關(guān)，所以圖形都是繞z軸旋轉(zhuǎn)對稱的立體圖形。該幾率與角無關(guān)例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，與也無關(guān)，是一個球?qū)ΨQ分布。xyz33例2.=1,m=±1時，W1,±1(θ)=(3/8π)sin2

。在

=π/2時，有最大值。在

=0沿極軸方向（z向）W1,±1=0。例3.=1,m=0時，W1,0()={3/4π}cos2。正好與例2相反，在

=0時，最大；在

=π/2時，等于零。zzyxxyZxz球坐標(biāo)ry34m=-2m=+2m=+1m=-1m=0

=235二、氫原子(15)36（1）原子中的電流密度電子在原子內(nèi)部運動形成了電流，其電流密度1.由于ψnlm的徑向波函數(shù)Rnl(r)和與有關(guān)的函數(shù)部分Plm(cos)都是實函數(shù)，所以代入上式后必然有：（四）原子中的電流和磁矩372.繞z軸的環(huán)電流密度j

是上式電流密度的向分量：最后得：38（2）軌道磁矩則總磁矩（沿z軸方向）是：j

是繞z軸的旋轉(zhuǎn)對稱的,通過截面d

的電流元對磁矩的貢獻(xiàn)是圓面積S=(rsin)2波函數(shù)已歸一rsindjxzyor39幾點討論：1.由上式可以看出，磁矩與m有關(guān)，這就是把m稱為磁量子數(shù)的理由。2.對s態(tài)，(=0)，磁矩MZ=0，這是由于電流為零的緣故。3