激光原理與技術：第11講 平行平面腔自再現模式

激光原理與技術·原理部分第11講平行平面腔自再現模式11.0平行平面腔平行平面腔優(yōu)點：光束方向性好、模體積較大、容易獲得單橫模振蕩；缺點：調整精度要求較高、損耗比穩(wěn)定腔大；分析平行平面腔的方法分析平平腔的主要內容就是分析其振蕩模式，也就是求解平平腔條件下的菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式；公式的解存在，但是很難求解，因此多使用數值方法來求近似解；11.1平行平面腔自再現模式的迭代解法Fox-Li數值迭代法GardnerFox

和厲鼎毅在1961年發(fā)表文章ResonantModesinaMaserInterferometer首次提出了用計算機迭代方法求解衍射積分方程來研究平平腔內模式的方法；優(yōu)點理論上可以研究任何類型的光學諧振腔；通過迭代法近似計算證明了自再現模的存在性；計算過程與開腔模式的物理機制類似，方便理解；缺點收斂性不好，計算量大；對高階模式的計算誤差較大；11.1平行平面腔自再現模式的迭代解法平行平面鏡腔如圖所示的矩形鏡平平腔，滿足條件：兩腔鏡上兩點之間距離為：將其作級數展開：或者11.1平行平面腔自再現模式的迭代解法當滿足條件時，積分核可以寫成：則衍射積分公式改寫為：對方形或矩形反射鏡能夠對光場表達式進行分離變量：式(1)表示一個平平腔，其反射鏡在x方向上的寬度為2a，y方向上無限延伸的條狀腔的自再現模；式(2)表示的是另一個方向的條狀腔的自再現模。11.1平行平面腔自再現模式的迭代解法滿足上述方程的函數E(x)和E(y)可以有很多個，用Em(x)和En(Y)分別表示其中的第m和第n個解，對應的復常數為γm、γn，則上述方程可以表示為：(1)式在數學上稱為本征方程，只有在γm和γn為一系列分立的值，對應m、n取不同的正整數時，方程才成立，因此γm和γn又被稱為方程的本征值；對不同的γm和γn，能夠使方程成立的解Em(x)和En(y)被稱為相應的本征函數；本征函數決定了鏡面上的場分布；本征值決定了光波模的傳播特性，例如模的衰減、相移、諧振頻率等；此時的自再現模為：復常數為：11.1平行平面腔自再現模式的迭代解法由此可得到數值計算中的迭代公式為：要進行迭代需要設置初始值u1，從前面我們對開腔物理模型的分析知道，理論上任何形式的初始模式在經過足夠多次的傳播后都會產生穩(wěn)定的自再現模，因此不妨設u1(x)=1，由于arg[u1(x)]=0，它代表了一個等相位面就是反射鏡平面，且在等相位面上振幅均勻分布的平面波。11.1平行平面腔自再現模式的迭代解法將u1帶入迭代公式可以求出第二個鏡面上的光波u2。由于我們只對相位和振幅的相對分布感興趣，因此對u2進行歸一化。將歸一化后的u2作為輸入參數帶入迭代公式可以求出u3，依次循環(huán)計算下去，直到得到的歸一化的uq+1和uq之間只相差一個與坐標無關的常數因子為止；此時求出的uq是迭代方程的穩(wěn)定解，也就是本征函數；此時求出的與坐標無關的常數因子是本征值；11.2平行平面腔自再現模式的特征Fox-Li對條件下的平平腔進行了迭代計算，得到了穩(wěn)定存在的自再現模并分析了其特征。1、鏡面上的振幅分布右圖是300次迭代后得到的穩(wěn)定自再現模的相對振幅分布，具有以下的特點：鏡面中心處振幅最大；從中心到邊緣振幅逐漸下降；振幅分布具有藕對稱性；具有這種特征的模是腔的最低階偶對稱模，或者稱為基模。在條狀腔中用TEM0，在矩形鏡和圓形鏡腔中用TEM00來表示基模。菲涅耳數N描述了光腔衍射損耗的大小，N越大，衍射損耗越小，鏡邊緣處的相對振幅越小；11.2平行平面腔自再現模式的特征在平平腔中除了基模外，還有其他類型的模。在平平腔迭代中如果選取初值條件為：可以通過迭代得到另一種形式的穩(wěn)定解，如右圖所示，圖中的相對振幅在鏡中心處為零，在鏡邊緣處也為最小值，然而在鏡中心和邊緣中間存在兩個極值，在鏡面上出現了場振幅為零的節(jié)線位置，整體的分布具有奇對稱特性，這樣的模稱為條狀腔的最低階奇對稱模，以TEM1表示。腔中還存在著其他的高階模式；11.2平行平面腔自再現模式的特征2、鏡面上的相位分布右上圖是基模在鏡面上的相位分布，從其分布可知TEM0模不是嚴格意義的平面波，但當菲涅耳數較大時，仍然可以近似為平面波，特別是在鏡面中心及附近區(qū)域；只有在鏡邊緣波前才發(fā)生微小的彎曲；右下圖是TEM1模的相位分布，在節(jié)線附近相位會發(fā)生突變，在被波節(jié)隔開的各個區(qū)域中都可以被近似為平面波。11.2平行平面腔自再現模式的特征3、單程相移與諧振頻率A、單程總相移計算方法：在迭代過程中，對鏡面上的任一點，計算光波在腔內渡越一次后，在另一個鏡面上坐標相同的點的振幅和相位的相對變化，即可得到相移；表達式： 其中kL為幾何相移，為附加相移，與N有關，不同的橫模有不同的附加相移；11.2平行平面腔自再現模式的特征右圖為不同橫模的單程相移隨N變化的曲線，從曲線中可以得出結論：N相同時，基模的附加相移最小，高階模的附加相移較大；N較大時，在對數坐標中附加相移隨N的變化曲線基本為直線；11.2平行平面腔自再現模式的特征B、諧振頻率由自再現模穩(wěn)定存在的條件可知：以νmnq表示TEMmn模的諧振頻率，則：與前面得到的平面波理論中的諧振頻率公式相比較，多了一項，它是由TEMmn模的附加相移引起的。11.2平行平面腔自再現模式的特征4、單程功率損耗對于橫模，無論是什么類型