電磁學(xué) 第一章 矢量分析與場(chǎng)論

矢量分析與場(chǎng)論——電磁場(chǎng)理論的理論基礎(chǔ)與重要數(shù)學(xué)工具格林定理與亥姆霍茲定理標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的環(huán)流、旋度矢量與場(chǎng)量的基本概念、坐標(biāo)系變換矢量場(chǎng)的通量、散度1.1矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)一、矢量與矢量場(chǎng)

標(biāo)量與矢量標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向的物理量（溫度，高度等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，電、磁場(chǎng)強(qiáng)度）

矢量的表示方式注：矢量書(shū)寫(xiě)時(shí)，印刷體為場(chǎng)量符號(hào)加粗，如。教材上符號(hào)即為印刷體。矢量可表示為：其中為其模值，表征矢量的大??；

為其單位矢量，表征矢量的方向；

矢量的運(yùn)算則：說(shuō)明：矢量間不存在除法運(yùn)算。4（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法

在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：矢量的加減符合交換律和結(jié)合律結(jié)合律交換律5（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角6（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫(xiě)成行列式形式為若，則若，則7（5）矢量的混合運(yùn)算——

分配律——

分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積

標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)

按物理量的性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)物理量為標(biāo)量（溫度場(chǎng),電位場(chǎng)）矢量場(chǎng)物理量為矢量（電場(chǎng)、磁場(chǎng)）場(chǎng)概念的引入：物理量（如溫度、電場(chǎng)、磁場(chǎng)）在空間中以某種形式分布，若每一時(shí)刻每個(gè)位置該物理量都有一個(gè)確定的值，則稱(chēng)在該空間中確定了該物理量的場(chǎng)。

按物理量變化特性靜態(tài)場(chǎng)物理量不隨時(shí)間的變化而變化

時(shí)變場(chǎng)（動(dòng)態(tài)場(chǎng)）物理量隨時(shí)間的變化而變化場(chǎng)的分類(lèi)：二、常用正交坐標(biāo)系

直角坐標(biāo)系單位矢量：矢量表示：位置矢量：基本變量：

圓柱坐標(biāo)系單位矢量：矢量表示：位置矢量：基本變量：

球面坐標(biāo)系單位矢量：矢量表示：位置矢量：基本變量：

坐標(biāo)變換

圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系

球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系1.2矢量場(chǎng)的通量散度一、矢量線（力線）矢量場(chǎng)的通量

矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向

若S為閉合曲面

若矢量場(chǎng)分布于空間中，在空間中取任意曲面S，定義：為矢量沿有向曲面S的通量。物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的通量的代數(shù)和。

二、矢量場(chǎng)的散度

面元矢量定義：面積很小的有向曲面：面元面積，其值可認(rèn)為無(wú)限?。唬好嬖ň€方向，垂直于面元平面。

通過(guò)閉合面S的通量的物理意義

若，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源

若，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源

若，閉合面內(nèi)不一定無(wú)源三、矢量場(chǎng)的散度

散度的定義

在場(chǎng)空間中任意點(diǎn)M處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為，則定義場(chǎng)矢量在M點(diǎn)處的散度為：討論：

散度的物理意義

矢量場(chǎng)的散度表征了矢量場(chǎng)的通量源的分布特性

矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量,其大小表征散發(fā)（吸收）通量的強(qiáng)度

矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)

矢量場(chǎng)的散度值表征空間中通量源的密度

若，則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為有源場(chǎng)，為源密度

若處處成立，則該矢量場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)源場(chǎng)

討論：在矢量場(chǎng)中，(正源)

負(fù)源)(無(wú)源）式中：哈密頓算符

散度的計(jì)算

直角坐標(biāo)系下：

圓柱坐標(biāo)系下：

球面坐標(biāo)系下：四、散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）

該公式表明了矢量場(chǎng)的散度在體積V內(nèi)的積分等于矢量場(chǎng)在限定該體積的邊界面S上的積分（通量）。散度定理的證明散度定理的證明從散度定義有：則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：得證！散度的有關(guān)公式：例：已知是一個(gè)無(wú)源場(chǎng)，求a,b,c的值解：由于該矢量場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，那么其散度為0若使得有a=2,b=-1,c=-21.3矢量場(chǎng)的環(huán)流旋度一、矢量的環(huán)量

環(huán)流的計(jì)算在場(chǎng)矢量空間中，取一有向閉合路徑l，則稱(chēng)沿l積分的結(jié)果稱(chēng)為矢量沿l的環(huán)量。即：

環(huán)流意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流不為零，則回路所圍面積中存在產(chǎn)生矢量場(chǎng)的漩渦源。

在直角坐標(biāo)系中：討論：二、矢量的旋度

環(huán)流面密度

矢量場(chǎng)的旋度

旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。用表示，即：式中：表示矢量場(chǎng)旋度的方向；M

表示矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的漩渦源密度；其值與方向有關(guān)。在場(chǎng)矢量空間中，圍繞空間某點(diǎn)M取一面元S，其邊界曲線為C，面元法線方向?yàn)椋?dāng)面元面積無(wú)限縮小時(shí)，可定義在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)量面密度

旋度的物理意義

旋度的計(jì)算

矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；

矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度；

在直角坐標(biāo)系下：旋度之所以得名，是因?yàn)樵谒俣葓?chǎng)

中個(gè)點(diǎn)處的旋度，跟場(chǎng)在該點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角速度正好差一個(gè)常數(shù)因子2：三、斯托克斯定理由旋度的定義

對(duì)于有限大面積s，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有斯托克斯定理的證明：＝得證！

意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于該矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。24旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零26例：已知矢量：求在處的旋度求27散度和旋度的區(qū)別

計(jì)算旋度與散度的Jacobi矩陣設(shè)矢量場(chǎng)定義如下形式的矩陣：散度旋度的三個(gè)分量1.4標(biāo)量場(chǎng)的梯度一.等值面（線）

由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面(線)，即為等值面(線)。即若標(biāo)量函數(shù)為，則等值面方程為：二.標(biāo)量場(chǎng)的梯度

梯度的定義式中：為垂直于等值面（線）的方向。

梯度的性質(zhì)

標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)

標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征空間某點(diǎn)處場(chǎng)的變化規(guī)律：方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)增加最快的方向，幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大變化率梯度描述了空間某點(diǎn)處標(biāo)量場(chǎng)隨位置變化的規(guī)律。

梯度的運(yùn)算在球面坐標(biāo)系中

柱面坐標(biāo)系中

直角坐標(biāo)系下三.梯度的重要性質(zhì)標(biāo)量場(chǎng)的梯度恒等于零。32標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。討論：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面）33

例設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：

(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；

(2)求該函數(shù)沿單位矢量el=

excos60＋ey

cos45

＋ezcos60方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。

解

(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為34表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為35而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。36例

已知

證明解（1）373839拉普拉斯運(yùn)算與格林定理

1、拉普拉斯運(yùn)算

標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系40

矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：412.格林定理

設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)滿足下列等式。

根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫(xiě)成式中S

為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場(chǎng)

在S表面的外法線en

方向上的偏導(dǎo)數(shù)。以上兩式稱(chēng)為標(biāo)量第一格林定理。SV,4243基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱(chēng)為標(biāo)量第二格林定理。

格林定理說(shuō)明了區(qū)域V中的場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題。

此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。

格林定理廣泛地用于電磁理論。441.5亥姆霍茲定理

一、亥姆霍茲定理

在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場(chǎng)由矢量場(chǎng)的散度、旋度和邊界條件（即矢量場(chǎng)在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是亥姆霍茲定理的內(nèi)容。

二、矢量場(chǎng)的分類(lèi)根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類(lèi)：調(diào)和場(chǎng)

若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：和則在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng)。注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。有源無(wú)旋場(chǎng)

若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有，則稱(chēng)在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)為有源無(wú)旋場(chǎng)。

結(jié)論：有源無(wú)旋場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。有源無(wú)旋場(chǎng)也稱(chēng)保守場(chǎng)。無(wú)源有旋場(chǎng)

若矢量場(chǎng)在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有，則稱(chēng)在該區(qū)域V內(nèi)，場(chǎng)為無(wú)源有旋場(chǎng)。討論：由于旋度為零，由斯托克斯定理說(shuō)明：式中為矢量場(chǎng)漩渦源密度。