流體力學(xué)-02 流體靜力學(xué)

第二章流體靜力學(xué)流體靜力學(xué)研究流體在靜止?fàn)顟B(tài)下的受力平衡規(guī)律及其在工程中的應(yīng)用根據(jù)力學(xué)平衡條件研究靜壓強(qiáng)的空間分布規(guī)律，確定各種承壓面上靜壓強(qiáng)產(chǎn)生的總壓力，是流體靜力學(xué)的主要任務(wù)§2.1流體靜壓強(qiáng)及其特性§2.2流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律§2.3壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和量度單位§2.4液柱測(cè)壓計(jì)§2.5平面上的總壓力計(jì)算§2.6曲面上的總壓力計(jì)算§2.7流體平衡微分方程§2.8液體的相對(duì)平衡2/6/2023§2.1流體靜壓強(qiáng)及其特性

1、流體靜壓強(qiáng)的定義2、靜壓強(qiáng)的垂向性3、靜壓強(qiáng)的各向等值性2/6/2023

1、流體靜壓強(qiáng)的定義2/6/2023式中——微元面積；——作用在表面上的總壓力大小。微元表面上的流體靜壓力矢量表達(dá)式為負(fù)號(hào)說(shuō)明流體靜壓力的方向是沿受壓面的內(nèi)法線方向。在平衡（靜止或相對(duì)靜止）流體中，當(dāng)面積△A無(wú)限縮小到a點(diǎn)時(shí)，比值趨近于某一個(gè)極限值，此極限位稱(chēng)為a點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)，以p表示。即：2/6/2023baAcBPn(1)作用面的內(nèi)法向方向2、流體靜壓強(qiáng)的特性（1）靜壓強(qiáng)的垂向性2/6/2023（2）靜壓強(qiáng)的各向等值性（1）表面力

2/6/2023（2）質(zhì)量力

2/6/20232/6/2023由于

2/6/2023同理

靜水壓強(qiáng)是空間點(diǎn)坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)

2/6/2023§2.2流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律一、液體靜壓強(qiáng)的基本方程式2/6/20231、2、3、2/6/20232/6/2023現(xiàn)在，把壓強(qiáng)關(guān)系式應(yīng)用于求靜止液體內(nèi)某一點(diǎn)的壓強(qiáng)。設(shè)液面壓強(qiáng)為P0，液體容重為，該點(diǎn)在液面下深度為h，則根據(jù)上式有：

這就是液體靜力學(xué)的基本方程式。它表示靜止液體中，壓強(qiáng)隨深度按直線變化的規(guī)律。靜止液體中任一點(diǎn)的壓強(qiáng)是由液面壓強(qiáng)和該點(diǎn)在液面下的深度與容重的乘積兩個(gè)部分所組成。從這兩個(gè)部分可以看出，壓強(qiáng)的大小與容器的形狀無(wú)關(guān)。因此，不淪盛液容器的形狀怎么復(fù)雜，只要知道液面壓強(qiáng)P0和該點(diǎn)在液面下的深度h，就可用此式求出該點(diǎn)的壓強(qiáng)。2/6/2023結(jié)論：1）僅在重力作用下，靜止流體中某一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)隨深度按線性規(guī)律增加。2）僅在重力作用下，靜止流體中某一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)等于表面壓強(qiáng)加上流體的容重與該點(diǎn)淹沒(méi)深度的乘積。3）自由表面下深度h相等的各點(diǎn)壓強(qiáng)均相等——只有重力作用下的同一連續(xù)連通的靜止流體的等壓面是水平面。4）推廣：已知某點(diǎn)的壓強(qiáng)和兩點(diǎn)間的深度差，即可求另外一點(diǎn)的壓強(qiáng)值。5）液面壓強(qiáng)P0有所增減，則內(nèi)部壓強(qiáng)P亦相應(yīng)地有所增減。2/6/20232/6/2023poz21例已知=800kg/m3,p1=64kpa,p2=79.68kpa求z=?解:z1+p1/g=z2+p2/gz=z1–z2=(p2–p1)/g=(79.68–64.0)103/(9.8800)z=2m2/6/20232/6/2023二、分界面和自由面是水平面2/6/20232/6/2023三、氣體壓強(qiáng)的計(jì)算四、非均質(zhì)流體的等密面是水平面1）非均質(zhì)流體的水平面是等壓面2）等壓面是等密面2/6/2023例A1P2P1A2已知A1=0.2m2,A2=10.0m2,P1=100kN試求P2=?解:P2=pA2=(P1/A1)A2=(10.0/0.2)100=5000(kN)2/6/2023一、靜壓強(qiáng)的兩種計(jì)算基準(zhǔn)壓強(qiáng)計(jì)算基準(zhǔn)絕對(duì)壓強(qiáng)p’相對(duì)壓強(qiáng)p§2.3壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和量度單位定義：以完全真空為基準(zhǔn)計(jì)算的壓強(qiáng)稱(chēng)為絕對(duì)壓強(qiáng)，記作p’。以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)pa為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)稱(chēng)為相對(duì)壓強(qiáng)，記作p。相對(duì)壓強(qiáng)、絕對(duì)壓強(qiáng)和當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)的相互關(guān)系是：2/6/2023相對(duì)壓強(qiáng)可正可負(fù)，當(dāng)相對(duì)壓強(qiáng)為正時(shí)，稱(chēng)該壓強(qiáng)為正壓（也叫壓力表讀數(shù)或簡(jiǎn)稱(chēng)表壓）；當(dāng)相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，稱(chēng)為負(fù)壓，負(fù)壓的絕對(duì)值又稱(chēng)為真空度(即真空表讀數(shù))，記作pv國(guó)際上規(guī)定，1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)=101325。工程上采用工程大氣壓強(qiáng)，1工程大氣壓強(qiáng)=2/6/2023為了區(qū)別以上幾種壓強(qiáng)，現(xiàn)以A點(diǎn)和B點(diǎn)壓強(qiáng)為例，將它們的關(guān)系表示在圖2-14上2/6/20232/6/20231at=10mH2O=736mmHg=9.8104paat工程大氣壓工程大氣壓法1mmHg=13.6mmH2O=133.3pammHg毫米汞柱液柱高度法1mH2O=9.8103pamH2O米水柱液柱高度法1pa=1N/m2

pa帕應(yīng)力單位法單位換算關(guān)系單位符號(hào)單位名稱(chēng)壓強(qiáng)度量方法壓強(qiáng)度量單位的換算關(guān)系2/6/20232/6/2023[補(bǔ)充例題]封閉盛水容器中的玻璃管兩端開(kāi)口，如圖（2—7）所示，已知玻璃管伸入水面以下h=1.5m時(shí)，既無(wú)空氣通過(guò)玻璃管進(jìn)入容器，又無(wú)水進(jìn)入玻璃管。試求此時(shí)容器內(nèi)水面上的絕對(duì)壓強(qiáng)和相對(duì)壓強(qiáng)。[解]將式（）用于容器內(nèi)水面上任一點(diǎn)和玻璃管底部，有當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)在沒(méi)有特別說(shuō)明情況下，一般以1個(gè)工程大氣壓強(qiáng)計(jì)。故由式（2—26）求得h液體靜力學(xué)的基本方程式2/6/2023測(cè)量流體的壓強(qiáng)是工程上極其普遍的要求，如鍋爐、壓縮機(jī)、水泵、風(fēng)機(jī)、鼓風(fēng)機(jī)等均裝有壓力計(jì)及真空計(jì)。常用的有彈簧金屬式、電測(cè)式和液柱式三種。一、測(cè)壓管：測(cè)壓管是一根直管或U形管，一端連接在需要測(cè)定的器壁孔口上，另一端斤開(kāi)口，直接和大氣相通，如圖所示。由于相對(duì)壓強(qiáng)的作用，水在管中上升或下降，與大氣相接觸的液面相對(duì)壓強(qiáng)為零。這就可根據(jù)管中水面到所測(cè)點(diǎn)的高度直接讀出水柱高度。§2.4液柱測(cè)壓計(jì)液柱式儀表測(cè)量精度高，量程小，適用于低壓實(shí)驗(yàn)場(chǎng)所。下面介紹幾種常用的液柱式測(cè)壓計(jì)：2/6/20232/6/2023

圖測(cè)壓管測(cè)壓如下圖可測(cè)水中大于大氣壓的相對(duì)壓強(qiáng)2/6/2023U形水銀測(cè)壓管

如果需要測(cè)定氣體壓強(qiáng)，可以采用u形管盛水，如右圖所示。2/6/20232、壓差計(jì)定義：測(cè)量?jī)牲c(diǎn)壓強(qiáng)差的儀器叫做壓差計(jì)，常用U形管制成，根據(jù)壓差的大小和各種不同容重的液體，仍然應(yīng)用等壓面規(guī)律進(jìn)行壓差進(jìn)行計(jì)算。下圖為a為測(cè)定A，B兩處液體壓強(qiáng)差的空氣壓差計(jì)，圖b為測(cè)定壓差較大時(shí)的情況，此時(shí)我們采用水銀壓差計(jì)。ba2/6/2023對(duì)于圖a有：對(duì)于圖b有：2/6/2023管道上部為倒U形管式水柱差計(jì)，忽略空氣密度，則計(jì)算公式為：比較上面兩式，在儀器管一定的前提下，汞差壓計(jì)量程大，而水柱差壓計(jì)的準(zhǔn)確度高。如下圖所示。水管下部為U形管式汞差壓計(jì)，它的計(jì)算公式為：差壓計(jì)2/6/20233、微壓計(jì)測(cè)量較小壓強(qiáng)或壓強(qiáng)差的儀器叫做微壓計(jì)。如圖2—21所示就是其中一種。定義：2/6/2023例水銀密度為2,酒精密度為1,如果水銀面的高度讀數(shù)為z1,z2,z3,z4

求:壓差(PA-PB)=?解:界面2的壓強(qiáng)PA-2g(z2-z1)界面3的壓強(qiáng)PA-2g(z2-z1)+1g(z2-z3)界面4的壓強(qiáng)PA-2g(z2-z1)+1g(z2-z3)-

2g(z4-z3)=PB界面1的壓強(qiáng)PAPA-PB=2g(z2-z1+z4-z3)-1g(z2-z3)4312BA122/6/2023例：對(duì)于壓強(qiáng)教高的封閉容器，可以采用復(fù)式U水銀測(cè)壓計(jì)，測(cè)壓管中各液面標(biāo)高為：1=1.5m，2=0.2m，3=1.2m，4=0.4m，5=2.1m。試確定管中液面5（A點(diǎn)）壓強(qiáng)。[解]根據(jù)等壓面的規(guī)律，2-2，3-3及4-4都為等壓面。則：2/6/2023作業(yè)：2-3，2-12，2-252/6/2023大寫(xiě)小寫(xiě)英文注音中文讀音大寫(xiě)小寫(xiě)英文注音中文讀音Δδdelta德?tīng)査Ζ苲eta截塔Εεepsilon伊普西龍Ππpi派Ωωomega歐米伽Ρρrho肉Ηηeta艾塔Σσsigma西格馬Θθ西塔Ττtau套Λλlambda蘭布達(dá)Ψψpsi普西Μμmu繆Φφphi佛愛(ài)Ννnu紐Χχchi西2/6/2023§2.5作用于平面上的總壓力計(jì)算一、解析法2/6/20231.靜止液體總壓力的大小作用在微小面積上的水靜壓力為：作用在受壓平面上的水靜壓力為：2/6/20232.靜止液體總壓力的作用點(diǎn)2/6/20232/6/20232/6/2023二、圖解法適用于上、下邊與水面平行的矩形平面上的靜水總壓力及其作用點(diǎn)位置。第一步：繪制水靜壓強(qiáng)分布圖2/6/2023第三步：確定靜止液體總壓力的作用點(diǎn)

梯形壓強(qiáng)分布三角形壓強(qiáng)分布第二步：計(jì)算水靜壓力2/6/2023

[例題]一鉛直矩形閘門(mén)，如圖2-28，頂邊水平，所在水深h1=1m，閘門(mén)高h(yuǎn)=2m，寬b=1.5m，試用解析法及圖解法求水靜壓力P的大小及作用點(diǎn)。2/6/2023

[補(bǔ)充例題]如下圖所示，一矩形閘門(mén)兩面受到水的壓力，左邊水深，右邊水深，閘門(mén)與水面成傾斜角。假設(shè)閘門(mén)的寬度，試求作用在閘門(mén)上的總壓力及其作用點(diǎn)。

[解]作用在閘門(mén)上的總壓力系左右兩邊液體總壓力之差，即因此2/6/2023所以由于矩形平面壓力中心坐標(biāo)根據(jù)合力矩定理，對(duì)通過(guò)O點(diǎn)垂直于圖面的軸取矩，得所以這就是作用在閘門(mén)上的總壓力的作用點(diǎn)距閘門(mén)下端的距離。2/6/20232-33.某處設(shè)置安全閘門(mén)如圖所示，閘門(mén)寬b=0.6m，高h(yuǎn)1=1m，鉸接裝置于距離底h2=0.4m，閘門(mén)可繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求閘門(mén)自動(dòng)打開(kāi)的水深h為多少米。解：當(dāng)

時(shí)，

閘

門(mén)

自

動(dòng)

開(kāi)

啟

將

代

入

上

述

不

等

式

得

hhhC122/6/2023作業(yè)：2-27，2-29，2-322/6/2023§2.6作用于曲面的液體壓力一、總壓力計(jì)算2/6/20232/6/20232/6/20232/6/2023二、液體總壓力的作用點(diǎn)2/6/2023三、壓力體的繪制壓力體由三部分構(gòu)成(1)曲面本身(2)通過(guò)曲面周界的鉛垂面(3)自由液面或其延續(xù)面實(shí)壓力體和虛壓力體2/6/2023四、潛體、浮體2/6/20232/6/20232/6/2023圖2—23水水2m4m[解]分左右兩部分計(jì)算左部：水平分力垂直分力[例題]如圖2—23。有一圓形滾門(mén)，長(zhǎng)1m（垂直園面方向），直徑為4m，兩側(cè)有水，上游水深4m，下游水深2m，求作用在門(mén)上的總壓力的大小及作用線的位置。2/6/2023合力右部：水平分力垂直分力合力作用線通過(guò)中心與鉛垂線成角度。2/6/2023作用線通過(guò)中心與垂線成角度。總水平分力：總垂直分力：合力2/6/20232-39畫(huà)出圖中圓柱曲面上的壓力體，并標(biāo)明方向。2/6/2023作業(yè)：2-37，2-402/6/2023§2.7流體平衡微分方程流體平衡微分方程的推導(dǎo)（1）表面力六面體中心點(diǎn)M(x，y，z)的壓強(qiáng)為p根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式

點(diǎn)的壓強(qiáng)為

2/6/2023點(diǎn)的壓強(qiáng)為

2/6/2023（2）質(zhì)量力

2/6/2023X方向平衡微分方程

2/6/2023

由瑞士學(xué)者歐拉于1775年首次導(dǎo)出，稱(chēng)為歐拉平衡微分方程2/6/2023有勢(shì)力場(chǎng)中的靜壓強(qiáng)2/6/2023等壓面性質(zhì)：質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)等于常數(shù)的面叫作等勢(shì)面，所以等壓面也是等勢(shì)面。2、等壓面與單位質(zhì)量力矢量垂直。式中是等壓面上任意線段。因而等壓面與單位質(zhì)量力矢量垂直。將式寫(xiě)成矢量形式：1、等壓面也是等式面；2/6/2023定義：除了重力場(chǎng)的流體平衡問(wèn)題外，工程上常見(jiàn)的有如下兩種：一、容器作勻加速直線運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)方向水平基面2勻加速直線運(yùn)動(dòng)如下圖，盛有液體的容器沿著與水平基面成角的斜面向下以勻加速度作直線運(yùn)動(dòng)。若盛液體的容器或機(jī)件對(duì)地面上的固定坐標(biāo)系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但液體質(zhì)點(diǎn)彼此之間卻沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱(chēng)為相對(duì)平衡?！?.8液體的相對(duì)平衡12/6/2023對(duì)于圖1，我們有：?jiǎn)挝毁|(zhì)量的重力在各軸向的分力為：由于質(zhì)點(diǎn)受牽連而隨容器作等加速直線運(yùn)動(dòng)，則作用在質(zhì)點(diǎn)上的牽連慣性力為：因此，單位質(zhì)量力在各軸向的分力為：所以，流體平衡微分方程式可寫(xiě)為：2/6/2023設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)處x＝z＝0，p=pa；，代入上式得C＝pa。以此再代入原式，則得液面下任一點(diǎn)處的壓強(qiáng)為：其相對(duì)壓強(qiáng)為：為什么這種運(yùn)動(dòng)也可以用水靜力學(xué)方程求壓強(qiáng)呢?我們對(duì)比兩者的平衡微分方程式來(lái)說(shuō)明；2/6/2023對(duì)于圖2，根據(jù)動(dòng)靜法，成相對(duì)平衡流體質(zhì)點(diǎn)上的質(zhì)量力有與加速度方向相反的虛構(gòu)慣性力；重力。由圖可得單位質(zhì)量分力為（2—35）2/6/2023將（2—35）式代入等壓面微分方程式可得即（2—36）積分上式得1、等壓面方程（2—37）因都是常數(shù)，故是一定值。等壓面（包括自由表面）是與水平基面成傾角的一族平行平面，這族平面應(yīng)與單位質(zhì)量力相垂直。說(shuō)明：2/6/2023靜壓強(qiáng)分布規(guī)律將（2—35）式代入（2—15）式中即得作不定積分得根據(jù)邊界條件（2—38）當(dāng)或時(shí)，即可得出容器水平或垂直勻加速直線運(yùn)動(dòng)。如圖（2—13）所示。運(yùn)動(dòng)方向水平基面水平基面運(yùn)動(dòng)方向圖2—13容器勻加速直線運(yùn)動(dòng)的兩種特例2/6/2023二、容器作等角速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

圖2—14容器作等角速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與容器作勻加速直線運(yùn)動(dòng)分析相同。單位質(zhì)量分力為：如圖2—14所示，盛有液體的容器繞鉛直軸z作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，待運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，液體形成如圖所示的自由表面，質(zhì)點(diǎn)之間不再有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。（2—39）2/6/20231、等壓面方程作不定積分得即（2—40）說(shuō)明：等壓面是一族繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。將式（2—39）代入等壓面微分方程中，得2/6/2023由上述方程，我們可以確定自由面方程，也可以根據(jù)自由面求任一點(diǎn)的壓強(qiáng)，其方法也是求出該點(diǎn)在濃面下的深度h，然后，用水靜力學(xué)方程計(jì)算。即:為什么繞鉛直軸作等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的液體，也可用水靜力學(xué)方程求壓強(qiáng)呢？我們?nèi)匀话褍烧叩钠胶馕⒎址匠踢M(jìn)行對(duì)比說(shuō)明。2/6/20232、靜壓強(qiáng)分布規(guī)律將式（2—39）代入式（2—15）中得作不定積分，則（2—41）式中積分常數(shù)可以根據(jù)如下三種情況來(lái)確定。（1）密封容器，液面上的壓強(qiáng)為。（如圖2—15）邊界條件代回（2—41），得（2—42）2/6/2023（2）容器盛滿(mǎn)液體，頂蓋中心接觸大氣。（如圖2—16）邊界條件