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空間向量解決立體幾何問(wèn)題的六大題型 知識(shí)要點(diǎn)1、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離已知直線(xiàn)的單位方向向量為,是直線(xiàn)上的定點(diǎn),是直線(xiàn)外一點(diǎn).設(shè),則向量在直線(xiàn)上的投影向量,在中,由勾股定理得:2、點(diǎn)到平面的距離如圖,已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的定點(diǎn),是平面外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn),交平面于點(diǎn),則是直線(xiàn)的方向向量,且點(diǎn)到平面的距離就是在直線(xiàn)上的投影向量的長(zhǎng)度.3、用向量運(yùn)算求兩條直線(xiàn)所成角已知a,b為兩異面直線(xiàn),A,C與B,D分別是a,b上的任意兩點(diǎn),a,b所成的角為,則①②.4、用向量運(yùn)算求直線(xiàn)與平面所成角設(shè)直線(xiàn)的方向向量為,平面的法向量為,直線(xiàn)與平面所成的角為,與的角為,則有①②.(注意此公式中最后的形式是:)5、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖,若于A,于B,平面PAB交于E,則∠AEB為二面角的平面角,∠AEB+∠APB=180°.若分別為面,的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角;若二面角為銳二面角(取正),則;若二面角為頓二面角(取負(fù)),則;題型一:利用空間向量求點(diǎn)線(xiàn)距典型例題例題1.(2022·江蘇徐州·高二期末)已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),且方向向量為,則點(diǎn)到的距離為(
)A. B. C. D.【答案】B解:點(diǎn),直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),且一個(gè)方向向量為,,所以直線(xiàn)的一個(gè)單位方向向量,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選:.例題2.(2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè))點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn),是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量,則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是______.【答案】由題意,點(diǎn)和,可得,且,所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是.故答案為:.例題3.(2022·江西南昌·高二期中(理))如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體中,為的中點(diǎn),點(diǎn)在線(xiàn)段上,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為_(kāi)______.【答案】##在正方體中,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,因點(diǎn)P在線(xiàn)段上,則,,,向量在向量上投影長(zhǎng)為,而,則點(diǎn)Р到直線(xiàn)的距離,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,所以點(diǎn)Р到直線(xiàn)的距離的最小值為.故答案為:同類(lèi)題型歸類(lèi)練1.(2022·河北滄州·高二期末)在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為(
)A. B. C. D.6【答案】C由題意,,,的方向向量,,則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選:C.2.(2022·天津·靜海一中高二期末)已知點(diǎn)P(5,3,6),直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(2,3,1),且一個(gè)方向向量為,則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為(
)A. B. C. D.【答案】B由題意,,,,,,到直線(xiàn)的距離為.故選:B.3.(2022·福建省同安第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知,,,則點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為(
)A.3 B. C. D.【答案】D因?yàn)?,,所以.設(shè)點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為d,則故選:D4.(2022·山東濱州·高二期末)已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),,,則點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為(
)A. B. C. D.【答案】D,0,,,1,,,,,,在上的投影為,則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選:D.題型二:利用空間向量求點(diǎn)面距典型例題例題1.(2022·江蘇省揚(yáng)州市教育局高二期末)已知是平面的一個(gè)法向量,點(diǎn)在平面內(nèi),則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)________.【答案】##由題可得,又是平面的一個(gè)法向量,∴則點(diǎn)P到平面的距離為.故答案為:.例題2.(2022·河南·高二階段練習(xí)(理))已知平面的法向量為,點(diǎn)在平面內(nèi),若點(diǎn)到平面的距離為,則________.【答案】-1或-11##-11或-1由題意,由空間中點(diǎn)到面距離的向量公式,即,解得或-11.故答案為:-1或-11同類(lèi)題型歸類(lèi)練1.(2022·河南·濮陽(yáng)一高高二期中(理))如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,若E,F(xiàn)分別是上底棱的中點(diǎn),則點(diǎn)A到平面的距離為_(kāi)_____.【答案】1以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)平面的法向量,則有,令得:,故,其中,則點(diǎn)A到平面的距離為故答案為:12.(2022·廣東·高二階段練習(xí))在直三棱柱中,,,E,F(xiàn)分別為棱、的中點(diǎn),G為棱上的一點(diǎn),且,則點(diǎn)G到平面的距離為_(kāi)_____.【答案】解法一:以為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如圖:則,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,∴點(diǎn)G到平面的距離為:.解法二:∵,∴平面,點(diǎn)G到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,易證平面平面,在中,設(shè)點(diǎn)到的距離為d,則,∴,∴.故答案為:3.(2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二期末)在棱長(zhǎng)為1的正方體中,E為的中點(diǎn),則點(diǎn)A到平面的距離為_(kāi)__________.【答案】以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),,,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,令,得,.所以.所以點(diǎn)A到平面的距離為.故答案為:.4.(2022·全國(guó)·高二期末)如圖,已知長(zhǎng)方體中,,,則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_________.【答案】以為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則.設(shè),則,,設(shè)平面的法向量為,則,,即,所以,可取.又,點(diǎn)到平面的距離為,即點(diǎn)到平面的距離為.故答案為:.題型三:轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用典型例題例題1.(2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí))在棱長(zhǎng)為的正方體中,、分別是、的中點(diǎn),求平面與平面之間的距離.【答案】解:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、、、,,,則,因?yàn)?、不在同一條直線(xiàn)上,則,平面,平面,則平面,同理可證平面,,故平面平面,設(shè)平面的法向量為,,,由,取,可得,又因?yàn)?,因此,平面與平面之間的距離為.例題2.(2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí))在正方體中,,,,分別為,,,的中點(diǎn),棱長(zhǎng)為4,求平面與平面之間的距離.【答案】.以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量是,則,取得,又,,所以平面MNA與平面EFBD之間的距離.同類(lèi)題型歸類(lèi)練1.(2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí))已知正方體的棱長(zhǎng)為a,則平面與平面的距離為(
)A. B. C. D.【答案】D由正方體的性質(zhì),∥,∥,,,易得平面平面,則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,,.連接,由,,且,可知平面,得平面的一個(gè)法向量為,則兩平面間的距離.故選:D2.(2022·全國(guó)·高二)在棱長(zhǎng)為的正方體中,則平面與平面之間的距離為A. B.C. D.【答案】B建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,即,解得,故,顯然平面平面,所以平面與平面之間的距離.3.(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))兩平行平面,分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn),且兩平面的一個(gè)法向量,則兩平面間的距離是A. B. C. D.【答案】B兩平行平面,分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn),,且兩平面的一個(gè)法向量?jī)善矫骈g的距離,故選B.4.(2022·山東·濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中)在棱長(zhǎng)為的正方體中,平面與平面間的距離是________.【答案】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、、、,設(shè)平面的法向量為,,,由,取,可得,設(shè)平面的法向量為,,,由,取,可得,因?yàn)?,平面與平面不重合,故平面平面,,所以,平面與平面間的距離為.故答案為:.題型四:利用向量方法求兩異面直線(xiàn)所成角典型例題例題1.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))如圖,在三棱錐中,平面,是邊長(zhǎng)為的正三角形,,是的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是(
)A.B.C. D.【答案】D解法一:設(shè)E為BC的中點(diǎn),連接FE,如圖,∵E是BC的中點(diǎn),∴∥,,,;在中,由余弦定理可知∴異面直線(xiàn)BE與AF所成角的余弦值為,解法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,AM所在直線(xiàn)分別為y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,易知,,,所以,,則,∴異面直線(xiàn)BE與AF所成角的余弦值為.故選:D例題2.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))如圖,在平行六面體中,底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱的長(zhǎng)度為2,且.(1)求的長(zhǎng);(2)直線(xiàn)與所成角的余弦值.【答案】(1)(2)(1)由題意,,,,.(2),,,所以,所以直線(xiàn)與所成角的余弦值為.例題3.(2022·江蘇鹽城·高一期末)在四棱錐中,已知底面是菱形,,,,若點(diǎn)為菱形的內(nèi)切圓上一點(diǎn),則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值的取值范圍是___________.【答案】設(shè),連接,四邊形為菱形,為中點(diǎn),,,,,又,平面,平面;又,則以為坐標(biāo)原點(diǎn),正方向?yàn)檩S,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,四邊形為菱形,為四邊形各內(nèi)角的平分線(xiàn),即為四邊形的內(nèi)切圓圓心,四邊形內(nèi)切圓的半徑;,,;,,,設(shè),,,,(其中),,,即異面直線(xiàn)與所成角的余弦值的取值范圍為.故答案為:.同類(lèi)題型歸類(lèi)練1.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在三棱錐P—ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=PB=PC,M、N分別為AC、AB的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)PN和BM所成角的余弦值為(
)A. B. C. D.【答案】B以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,令,則,,,,則,,設(shè)異面直線(xiàn)PN和BM所成角為,則.故選:B.2.(2022·河南安陽(yáng)·高二階段練習(xí)(理))在正三棱柱中,,點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn),則和所成角的余弦值為(
)A. B. C. D.【答案】A取的中點(diǎn),連接,設(shè),因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形,則,因?yàn)槠矫?,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,,,,因此,和所成角的余弦值為.故選:A.3.(2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二期末)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,向量分別為異面直線(xiàn)方向向量,則異面直線(xiàn)所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】因?yàn)椋?因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成角的范圍為,所以異面直線(xiàn)所成角的余弦值為.故答案為:4.(2022·湖南岳陽(yáng)·高二期末)如圖,在直三棱柱中,側(cè)面?zhèn)让娣謩e為的中點(diǎn),;(1)求證:直線(xiàn)面;(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明:取的中點(diǎn)P,連因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以且,又在直三棱柱中,且,所以且.所以四邊形為平行四邊形,所以因?yàn)槠矫嫫矫?,所以直線(xiàn)平面;(2)解在直三棱柱中平面,所以,又側(cè)面?zhèn)让?,平面平面,所以平面,分別以所在直線(xiàn)為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則由題意可知,所以;所以.所以異面直線(xiàn)MC1與BN所成角的余弦值為.5.(2022·浙江·效實(shí)中學(xué)高一期中)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,,面,,點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)(1)求證:面;(2)求異面直線(xiàn)與所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明:由面建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,垂直于AD以及為方向建立軸,如圖所示:由底面是等腰梯形以及可知:,,,又由點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn),可知,,設(shè)為平面的法向量,故可知:,解得令,可知平面的法向量一個(gè)法向量為:根據(jù)線(xiàn)面平行的向量法判斷法則可知面(2)解:由題意得:由(1)分析可知,可知向量互相垂直,故異面直線(xiàn)與所成角的大小為題型五:利用向量方法求直線(xiàn)與平面所成角典型例題例題1.(2022·福建龍巖·高二期中)如圖,正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等,,,分別為,,的中點(diǎn),則與平面所成角的正弦值為(
)A. B. C. D.【答案】A設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn),連接,,分別以,,所在的直線(xiàn)為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,取,則,,故為平面的一個(gè)法向量,EF與平面所成角為,則EF與平面所成角的正弦值為,故選:A.例題2.(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))如圖,在四棱錐中,底面,四邊形為正方形,且,為的重心,設(shè)與平面所成角的正弦值為_(kāi)______.【答案】如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,故,設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為,則,取,可得,故設(shè)PG與平面PAC所成角為,則,故答案為:例題3.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))如圖,由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中,,,,,平面平面.為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)______時(shí),直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【答案】1解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系.所以,所以.設(shè)平面的法向量,所以所以,所以平面的一個(gè)法向量,設(shè),所以,所以,解得或(舍,所以.因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?同類(lèi)題型歸類(lèi)練1.(2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))平行六面體中,,則與底面所成的線(xiàn)面角的正弦值是(
)A. B. C. D.【答案】A解:如圖所示,連接,相交于點(diǎn),連接.平行六面體中,且,不妨令,,都是等邊三角形.是等邊三角形.,,,平面平面,平面,平面平面,是與底面所成角.因?yàn)?,,所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,其中的坐標(biāo)計(jì)算如下,過(guò)作交于點(diǎn),因?yàn)椋?,所以,,因?yàn)樗?,所以,顯然平面的法向量為,設(shè)與底面所成的角為,則故選:A2.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,E,F(xiàn),G分別為AB,AA1,A1C1的中點(diǎn),則B1F與平面GEF所成角的正弦值為()A. B.C. D.【答案】A解:設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn),連接,,分別以,,所在的直線(xiàn)為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,0,,,,0,,,,,,.設(shè)平面的法向量為,則,取,則,,故為平面的一個(gè)法向量,所以,所以與平面所成角的正弦值為.故選:A.3.(2022·上海中學(xué)高一期末)在正方體中,棱與平面所成角的余弦值為_(kāi)_________.【答案】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,,則,設(shè)平面,,則,所以,棱與平面所成角為,所以,則.故答案為:.4.(2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)(理))一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖如圖所示.在該正方體中,以下命題正確的是___________.(填序號(hào))①;②平面;③與是異面直線(xiàn)且?jiàn)A角為;④與平面所成的角為;⑤二面角的大小為.【答案】①②③⑤解:由正方體的平面展開(kāi)圖可得正方體(其中與重合),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,令正方體的棱長(zhǎng)為,則,,,,,,,,,所以,,所以,所以,故①正確;,,所以,,即,,,平面,所以平面,即②正確;,顯然與是異面直線(xiàn),設(shè)與所成角為,則,因?yàn)?,所以,故③正確;,平面的法向量可以為,設(shè)與平面所成的角為,所以,故④錯(cuò)誤;,,設(shè)平面的法向量為,則,令,所以,設(shè)二面角為,顯然二面角為銳二面角,則,所以,故⑤正確;故答案為:①②③⑤5.(2022·浙江·高三期末)如圖,已知菱形,,沿直線(xiàn)將翻折成,分別為的中點(diǎn),與平面所成角的正弦值為,為線(xiàn)段上一點(diǎn)(含端點(diǎn)),則與平面所成角的正弦值的最大值為_(kāi)__________.【答案】解:設(shè)頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn),因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為,,所以,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,如圖1,在平面中,為等邊三角形,≌,所以平分,即,所以在中,,解得,(舍),所以點(diǎn)為的中心,故三棱錐是棱長(zhǎng)為的正四面體,故如圖2,以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)則,設(shè),則,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,令,得,因?yàn)?,設(shè)與平面所成角為,所以,令,則,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),與平面所成角的正弦值最大,最大值為故答案為:題型六:利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角典型例題例題1.(2022·四川省綿陽(yáng)普明中學(xué)高二階段練習(xí)(文))二面角的棱上有、兩點(diǎn),直線(xiàn)、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于,已知,,,,則該二面角的大小為(
)A.30° B.45° C.60° D.120°【答案】C由條件,知.,,即,所以二面角的大小為故選:C.例題2.(2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè))如圖,在四棱錐中,,分別是,的中點(diǎn),底面,,,,若平面平面,則二面角的正弦值是_________.【答案】##設(shè),則平面平面,由重心的性質(zhì)可得,因?yàn)榈酌?,,設(shè),,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,所以,,,設(shè)平面,的法向量為,則,,所以,由圖可知,二面角的平面角為鈍角,所以二面角的余弦值為,正弦值為.故答案為:例題3.(2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí))如圖,在四棱錐中,底面中,,側(cè)面平面,且,點(diǎn)在棱上,且.則二面角的余弦值為_(kāi)___________【答案】.如圖,取的中點(diǎn),連接,.由條件可知,,兩兩垂直,以,,所在直線(xiàn)分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,因?yàn)?,所以.所以,,,設(shè)平面的法向量為,則即令,則.設(shè)平面的法向量為,則即令,則=,,結(jié)合圖象可知二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.故答案為:同類(lèi)題型歸類(lèi)練1.(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))在一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面上,與二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為、,則這個(gè)二面角的余弦值為(
)A. B. C. D.或【答案】D解:在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為,,,,2,,則這兩個(gè)
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