第6章期權(quán)定價(jià)

期權(quán)定價(jià)是所有衍生金融工具定價(jià)中最復(fù)雜的，它涉及到隨機(jī)過(guò)程等較為復(fù)雜的概念。而期權(quán)定價(jià)又是整個(gè)金融工程學(xué)科的重要基礎(chǔ)。本章將從證券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)規(guī)律講起，逐步推導(dǎo)出BS期權(quán)定價(jià)模型。期權(quán)價(jià)格的影響因素期權(quán)價(jià)格的影響因素主要有六個(gè):（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格（二）期權(quán)的有效期（三）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率（四）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益（六）紅利

期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來(lái)源主要就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。(相對(duì)定價(jià)法)期權(quán)的價(jià)值正是來(lái)源于簽訂合約時(shí)，未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化。證券價(jià)格的變化還要受到市場(chǎng)的影響，也就是說(shuō)市場(chǎng)狀況使所有證券價(jià)格發(fā)生變化的基礎(chǔ)和環(huán)境。為什么我們要研究證券價(jià)格的變化過(guò)程？

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說(shuō)。該假說(shuō)認(rèn)為，1）投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；2）證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；3）市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過(guò)渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的1、弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來(lái)變動(dòng)有用的信息，也就是說(shuō)不能通過(guò)技術(shù)分析獲得超過(guò)平均收益率的收益。2、半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開(kāi)信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無(wú)助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。3、強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對(duì)挑選證券都沒(méi)有用處。從定性到定量從規(guī)范到實(shí)證效率市場(chǎng)假說(shuō)是從定性的角度研究證券市場(chǎng)的，為進(jìn)一步的研究提供了基礎(chǔ)和背景，但是它并不能告訴我們證券價(jià)格是怎樣變動(dòng)的。為此，需要找到某種方法描述證券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)，并從中找到證券價(jià)格變動(dòng)的規(guī)律。人們?cè)趯?duì)證券的價(jià)格進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)過(guò)程能夠很好地反映證券價(jià)格的變化，從而實(shí)現(xiàn)了從定性研究到定量研究，從規(guī)范研究到實(shí)證研究的轉(zhuǎn)變。

隨機(jī)過(guò)程（StochasticProcess）是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過(guò)程。根據(jù)時(shí)間是否連續(xù)和變量取值范圍是否連續(xù)，隨機(jī)過(guò)程可以做如下的劃分：

從嚴(yán)格意義上說(shuō)，證券價(jià)格的變化過(guò)程屬于離散變量的離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，為了研究方便，可以把它近似為連續(xù)變量的連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程。

一般認(rèn)為，弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。馬爾可夫過(guò)程是一種特殊類型的隨機(jī)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過(guò)程，則意味著其未來(lái)價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格，這顯然和弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)是一致的。

布朗運(yùn)動(dòng)（BrownianMotion）起源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒(méi)于液體或氣體中的小粒子運(yùn)動(dòng)的描述。

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)：設(shè)代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，代表變量z在時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足：=其中，代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。

當(dāng)0時(shí)，可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：

1、為何定義=而非？

當(dāng)需要考察任意時(shí)間長(zhǎng)度間隔中的變量變化的情況時(shí)，獨(dú)立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時(shí)間長(zhǎng)度成比例，不受時(shí)間劃分方法的影響。相應(yīng)的一個(gè)結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)?/p>

2、符合標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形：令z（T）－z(0)表示變量z在T中的變化量，顯然該變量又可被看作是在N個(gè)長(zhǎng)度為的小時(shí)間間隔中z的變化總量，其中N=T/Δt。很顯然，這是n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和：因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為NΔt=T，標(biāo)準(zhǔn)差。普通布朗運(yùn)動(dòng)若變量x遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)：其中：1、a和b均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。2、a為漂移率（DriftRate），是指單位時(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值。3、b2為方差率（VarianceRate），是指單位時(shí)間的方差。普通布朗運(yùn)動(dòng)的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為1、遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量x是關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程，其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時(shí)間為a。第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過(guò)程添加的噪音。這種噪音是由維納過(guò)程的b倍給出的。2、在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。3、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率a為0,方差率為1。

普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，就可以得到，這就是伊藤過(guò)程（ItoProcess）其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

隨機(jī)分析學(xué)是概率論的一個(gè)重要分支,它誕生于20世紀(jì)40年代,創(chuàng)始人K.Ito獲得1987年Wolf數(shù)學(xué)獎(jiǎng).在對(duì)獲獎(jiǎng)工作的評(píng)價(jià)中寫(xiě)到:“他的隨機(jī)分析可以看作隨機(jī)王國(guó)中的牛頓定律.它提供的支配自然現(xiàn)象的偏微分方程和隱藏著的概率機(jī)制之間的直接翻譯過(guò)程。.……。

其主要成分是Brown運(yùn)動(dòng)函數(shù)的微分和積分運(yùn)算.由此產(chǎn)生的理論是近代純粹與應(yīng)用概率論的基石.K.Ito(隨機(jī)分析簡(jiǎn)介)16

在伊藤過(guò)程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程：

其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這就是著名的伊藤引理。

在研究證券價(jià)格變化過(guò)程的時(shí)候，目標(biāo)是盡量找到一個(gè)合適的隨機(jī)過(guò)程表達(dá)式，來(lái)準(zhǔn)確地描述證券價(jià)格的變動(dòng)過(guò)程，同時(shí)盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡(jiǎn)單性。一般來(lái)說(shuō)，金融研究者認(rèn)為證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為μS、方差率為S2的伊藤過(guò)程來(lái)表示：兩邊同除以S得：

該隨機(jī)過(guò)程又可以稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。其中S表示證券價(jià)格，μ表示證券在瞬間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率），表示證券收益率瞬間的方差，表示證券收益率瞬間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility），dz表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。其中，μ和σ的時(shí)間度量單位一般都采用年。幾何布朗運(yùn)動(dòng)的離散形式為：

為什么證券價(jià)格可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)表示？

1、市場(chǎng)一般認(rèn)同股票市場(chǎng)符合“弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)”，而幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)項(xiàng)來(lái)源于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式效率的假說(shuō)。2、投資者感興趣的不是股票價(jià)格S，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。投資者不是期望股票價(jià)格以一定的絕對(duì)價(jià)格增長(zhǎng)，而是期望股票價(jià)格以一定的增長(zhǎng)率在增長(zhǎng)。3、幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：

可見(jiàn)，也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。也就是說(shuō)其中表示均值為m，標(biāo)準(zhǔn)差為s的正態(tài)分布。1、幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示T時(shí)刻（將來(lái)時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在T－t期間G的變化為：從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到：兩點(diǎn)重要結(jié)論：

也就是說(shuō)，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特性，以及符號(hào)的定義，可以得到:和從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到：2、股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)際上意味著對(duì)數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成比例。:1、幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率。

2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理，取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。3、較長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于，小于，這是因?yàn)檩^長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。1、證券價(jià)格的年波動(dòng)率，是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差2、一般從歷史的證券價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。*一般來(lái)說(shuō)時(shí)間距離計(jì)算時(shí)越近越好；時(shí)間窗口太長(zhǎng)也不好；一般來(lái)說(shuō)采用交易天數(shù)計(jì)算波動(dòng)率而不采用日歷天數(shù)。::假設(shè)：1、證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即和為常數(shù)；2、允許賣空標(biāo)的證券；3、沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付；5、不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；6、證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；7、衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。

由于證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，有：在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，S的變化值為：在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，f的變化值為：（2）設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：（1）構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價(jià)值，則：

(3)在時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化為：(4)

將式（1）和（2）代入式（4），可得：（5）由于式（5）中不含有，該組合的價(jià)值在一個(gè)小時(shí)間間隔后必定沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)，因此該組合在中的瞬時(shí)收益率一定等于中的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。因此：

(6)把式（3）和（5）代入上式得：化簡(jiǎn)為：（7）

這就是著名的布萊克——舒爾斯微分方程，適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。

受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率（）并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無(wú)論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。

因此，可以假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。盡管這只是一個(gè)人為的假定，但通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。

風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理:

在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理

在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T時(shí)刻）的期望值為：其中，

表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于將此期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：（8）

布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)方程的推導(dǎo)對(duì)（8）右邊求值是一種積分過(guò)程，結(jié)果為：其中，（9）

N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率），根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，有

。

在B-S公式中，1）N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說(shuō)是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率.2）e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。3）SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值

。

因此，這個(gè)公式的實(shí)質(zhì)就是未來(lái)收益期望值的貼現(xiàn)。對(duì)于布萊克－舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的理解無(wú)收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式

根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：(ppt54)（10）

期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)模型布萊克－舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式可為一個(gè)歐式看漲、看跌期權(quán)，以及美式無(wú)收益看漲期權(quán)定價(jià)，但是布萊克－舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式并不是萬(wàn)能的，尤其是美式看跌期權(quán)，因?yàn)槊朗娇吹跈?quán)有提前執(zhí)行的可能性。為股票期權(quán)定價(jià)的一個(gè)有用的和很常見(jiàn)的方法是構(gòu)造所謂的二叉樹(shù)圖（binomialtree）。這個(gè)樹(shù)圖表示了在期權(quán)有效期內(nèi)股票價(jià)格可能遵循的路徑。單步二叉樹(shù)模型例子：假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為20美元，3個(gè)月后的價(jià)格可能為22美元或18美元。假設(shè)：1）股票不付紅利，打算對(duì)3個(gè)月后以21美元的執(zhí)行價(jià)格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。2）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為12%。簡(jiǎn)單的二叉樹(shù)模型Stockprice=$20StockPrice=$22當(dāng)前股票價(jià)格為$20三個(gè)月以后$22or$18StockPrice=$18買權(quán)StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?

一個(gè)三個(gè)月的股票看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為$21

考慮一個(gè)投資組合: longDshares short1calloption

投資組合什么時(shí)候是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的：

22D–1=18DorD=0.2522D–118D建立一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合對(duì)投資組合進(jìn)行定價(jià)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合為: long0.25shares short1calloption三個(gè)月以后的價(jià)值：

22x0.25–1=4.50投資組合今天的價(jià)值：

4.5e–0.120.25

=4.3670x期權(quán)定價(jià)投資組合

long0.25shares short1option

組合當(dāng)前價(jià)值4.367

其中股票的價(jià)值

5.000(=0.2520)

所以期權(quán)的價(jià)值為

0.633(=5.000–4.367)x20221824.219.816.2無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價(jià)公式同樣是：有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價(jià)公式對(duì)于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。σ表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過(guò)程的波動(dòng)率，就可直接套用公式（9）和（10）分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（S－I）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。一般來(lái)說(shuō)，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個(gè)支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場(chǎng)平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。對(duì)于歐式期貨期權(quán)，可以將其當(dāng)成一個(gè)支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)。因此，此時(shí)布萊克－舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型為：（11）

（12）

其中，例假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國(guó)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為10%，求6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價(jià)格。解：由于英鎊會(huì)產(chǎn)生無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，現(xiàn)在的1英鎊等于6個(gè)月英鎊，而現(xiàn)在的英鎊等于6個(gè)月后的1英鎊，，并代入式（6.23）就可求出后的因此可令期權(quán)價(jià)格。通過(guò)查累積正態(tài)分布函數(shù)N（x）的數(shù)據(jù)表，我們可以得出：c=1.42680.4298-1.44840.4023=0.0305=3.05美分因此,6個(gè)月期英鎊歐式看漲期權(quán)價(jià)格為3.05美分。有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價(jià)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在提前執(zhí)行有可能是合理價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。

時(shí)刻到期的歐式看漲看漲期權(quán)的的，則要分別計(jì)算在T時(shí)刻和例假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年30%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價(jià)值。首先我們要看看該期權(quán)是否應(yīng)提前執(zhí)行。根據(jù)第5章的結(jié)論，美式看漲期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是：在本例中，D1=D2=1.0元，而第一次除權(quán)日前不等式右邊為：由于2.4385>1.0元，因此在第一個(gè)除權(quán)日前期權(quán)不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行。由于0.4148<1.0元，因此在第二個(gè)除權(quán)日前有可能提前執(zhí)行。第二次除權(quán)日前不等右邊為：然后，要比較1年期和11個(gè)月期歐式看漲期權(quán)價(jià)格。對(duì)于1年期歐式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，由于紅利的現(xiàn)值為：因此S=50-1.8716=48.1284元將S=48.1284，代入式（9）得：其中，

由于N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，因此對(duì)于11個(gè)月期的歐式看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，由于紅利的現(xiàn)值為：因此

S=50-0.9592=49.0408元

因此將S=49.0408元，代入式（9）得：其中，

由于，因此該美式看漲期權(quán)價(jià)值近似為7.2824元。美式看跌期權(quán)的定價(jià)美式看跌期權(quán)無(wú)論標(biāo)的資產(chǎn)有無(wú)收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價(jià)關(guān)系，因此我們一般通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求美式看跌期權(quán)的價(jià)值。對(duì)于精度問(wèn)題，我們可以運(yùn)用布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出期權(quán)價(jià)格的理論值，然后與市場(chǎng)上的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行比較。實(shí)證研究顯示：1、舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低2、高估實(shí)值期權(quán)的價(jià)格，低估虛值期權(quán)的價(jià)格。3、改變波動(dòng)率的估計(jì)的方式會(huì)提高布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式在預(yù)測(cè)實(shí)際價(jià)格時(shí)的表現(xiàn)。的期權(quán)。造成用布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格存在差異的原因主要有以下幾個(gè)：計(jì)算錯(cuò)誤；2.期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格偏離均衡；3.使用的錯(cuò)誤的參數(shù)；4.布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式建立在眾多假定的基礎(chǔ)上。評(píng)估組合保險(xiǎn)成本證券組合保險(xiǎn)是指事先能夠確定最大損失的投資策略。比如在持有相關(guān)資產(chǎn)的同時(shí)買入看跌期權(quán)就是一種組合保險(xiǎn)。假設(shè)你掌管著價(jià)值1億的股票投資組合，這個(gè)股票投資組合于市場(chǎng)組合十分類似。