2022年云南高考理科數(shù)學真題及答案

》》》》》》歷年考試真題——2023年最新整理《《《《《《》》》》》》歷年考試真題——2023年最新整理《《《《《《》》》》》》歷年考試真題——2023年最新整理《《《《《《2022年云南高考理科數(shù)學真題及答案注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則（）A．B．C．D．2．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3．設全集，集合，則（）A．B．C．D．4．如圖，網格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）A．8B．12C．16D．205．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（）A．B．C．D．6．當時，函數(shù)取得最大值，則（）A．B．C．D．17．在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A．B．AB與平面所成的角為C．D．與平面所成的角為8．沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（）A．B．C．D．9．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A．B．C．D．10．橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A．B．C．D．11．設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．12．已知，則（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設向量，的夾角的余弦值為，且，則_________．14．若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．15．從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．16．已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分．17．（12分）記為數(shù)列的前n項和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．18．（12分）在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．19．（12分）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．20．（12分）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程；（2）設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．21．（12分）已知函數(shù)．（I）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，則環(huán)．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．（1）寫出的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，求與交點的直角坐標，及與交點的直角坐標．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）若，則．

理科數(shù)學解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的運算即可得解.【詳解】故選：C2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

則（）A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【解析】【分析】由圖表信息，結合中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯；講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差,所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.故選:B.3.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.【詳解】由題意，，所以,所以.故選：D.4.如圖，網格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）

A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【解析】【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積.故選：B.5.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質逐項排除即可得解.詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當時，，所以，排除C.故選：A.6.當時，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.7.在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角定義以及長方體的結構特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設，依題以及長方體的結構特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，，，，C錯誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（）

A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.10.橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，則，根據(jù)斜率公式結合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結合離心率公式即可得解.【詳解】解：，設，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：A.11.設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結合正弦函數(shù)的性質得到不等式組，解得即可．【詳解】解：依題意可得，因，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．12.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由結合三角函數(shù)的性質可得；構造函數(shù)，利用導數(shù)可得，即可得解.【詳解】因為,因為當所以,即,所以；設，，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【解析】【分析】設與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．【詳解】解：設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．14.若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．【答案】【解析】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．故答案為：．16.已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．【答案】##【解析】【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.【詳解】設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17.記為數(shù)列的前n項和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）由（1）及等比中項的性質求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質計算可得．【小問1詳解】解：因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．【小問2詳解】解：由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時．18.在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以；【小問2詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設平面的法向量，

則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.19.甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．【小問1詳解】設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．【小問2詳解】依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.20.設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程；（2）設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）設點的坐標及直線，由韋達定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設直線，結合韋達定理可解.【小問1詳解】拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】設，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用拋物線方程對斜率進行化簡，利用韋達定理得出坐標間的關系.21.已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，則環(huán)．【答案】（1）（2）證明見的解析【解析】【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉化要證明條件，再利用導數(shù)即可得證.【小問1詳解】的定義域為，令,得當單調遞減當單調遞增