第11章振動(dòng)與波動(dòng)之1機(jī)械振動(dòng)wzj

第四篇振動(dòng)與波動(dòng)OscillationsandWaves第四篇振動(dòng)與波動(dòng)OscillationsandWaves第一部分機(jī)械振動(dòng)第二部分機(jī)械波第三部分電磁振蕩與電磁波第11章振動(dòng)與波動(dòng)OscillationsandWaves第1節(jié)諧振動(dòng)第3節(jié)阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)與共振第2節(jié)振動(dòng)的合成和分解第4節(jié)非線性振動(dòng)與相圖法第5節(jié)機(jī)械波第6節(jié)聲波地震波第7節(jié)波的衍射和波的干涉第8節(jié)多普勒效應(yīng)第9節(jié)電磁振蕩與電磁波(重點(diǎn)1)(重點(diǎn)2)(重點(diǎn)3)(自學(xué))第11章振動(dòng)與波動(dòng)第一部分機(jī)械振動(dòng)

一物理量在某一定值附近周期性變化的現(xiàn)象稱振動(dòng)。力學(xué)量（如位移）機(jī)械振動(dòng)電磁振動(dòng)最基本、最簡單、最重要的振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。電磁量（如i、u、E、B）問：廣義地說什么是振動(dòng)？振動(dòng)與波動(dòng)是與人類生活和科學(xué)技術(shù)密切相關(guān)的一種基本運(yùn)動(dòng)形式。第一節(jié)諧振動(dòng)SimpleHarmonicMotionxokx運(yùn)動(dòng)學(xué)特征一、諧振動(dòng)特征mgNF動(dòng)力學(xué)特征

由微分方程特征

x可代表任意物理量m以彈簧振子為例得出普遍結(jié)論：回復(fù)力二、諧振動(dòng)規(guī)律速度加速度位移振動(dòng)方程vtxa解可得三、描述諧振動(dòng)的基本量由A,,.由系統(tǒng)性質(zhì)決定（故稱固有頻率）。由初始條件決定。（重點(diǎn)?。┯沙跏紬l件決定。位相為

稱初位相。，

角頻率（2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù))。位相（決定振動(dòng)狀態(tài)的物理量）。振幅（最大位移的絕對(duì)值）。勢(shì)能動(dòng)能總能守恒！四、諧振動(dòng)的能量，位移，速度設(shè)得簡諧振動(dòng)問題類型：（1）證明為簡諧振動(dòng)，并求周期？（2）寫出振動(dòng)方程？已知：M,m,h,k.

例1.（1）證明物m從靜止落下與板粘在一起后作簡諧振動(dòng)，并求周期。（2）當(dāng)物m與板相碰時(shí)作為記時(shí)起點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程。解：（1）首先選一坐標(biāo)系，原點(diǎn)放在受力平衡處。hmMkLxoxFFPP任意處分析受力：LhmMkoxxFFPP為簡諧振動(dòng)由為簡諧振動(dòng)得即其中任意處分析受力：合力=？hmMkLoxxFFPP（2）（注意正負(fù)號(hào)?。┱駝?dòng)方程為代入公式得討論：若軸向上為正，寫方程有那些變化？x取第3象限值取第1象限值oxx

例2.

兩輪的軸互相平行，相距2d,兩輪轉(zhuǎn)速相同而方向相反，將質(zhì)量為

m

的一勻質(zhì)薄板擱在兩輪上，板與輪的摩檫系數(shù)為

，若板的質(zhì)心C起初距一輪較近（如圖所示）試證明板作簡諧振動(dòng)，并求周期。雙輪的諧振動(dòng)證明：建立坐標(biāo)系如圖，研究對(duì)象：板mg

N1

N2

f1

f2板受力：選過O點(diǎn)的直線為轉(zhuǎn)軸是簡諧振動(dòng)！例3.

單擺長（1）證明小角度擺動(dòng)為簡諧振動(dòng)，并求周期。

（2）若將擺拉至最大角度放手為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程。解：（1）擺沿圓弧運(yùn)動(dòng)，只需分析任意角位移處切向力：切向力大小(小角度….)考慮方向（線性振動(dòng)）（非線性振動(dòng)混沌）單擺簡諧振動(dòng)！又即角振幅初角位移，初角速度？（2）振動(dòng)方程取值范圍[0，2)或(

，]之間。哪一個(gè)是的正確值？故應(yīng)取初位相振動(dòng)方程物理之美-單擺系四、旋轉(zhuǎn)矢量表示法注意各量對(duì)應(yīng)關(guān)系！矢量圖矢量圖表達(dá)用旋轉(zhuǎn)矢量很容易求出簡諧振動(dòng)的位相和初位相例4.

已知位相，求狀態(tài).如：位相，問狀態(tài)？,且向x負(fù)向運(yùn)動(dòng).，且向x正向運(yùn)動(dòng).位相，問狀態(tài)？如：o例5.

已知狀態(tài)求位相（特別是初位相）求初相？如：或o注意四個(gè)特殊狀態(tài)的值！求初相？如：例6.

已知簡諧振動(dòng)A=10cm，T=2s,當(dāng)t=0時(shí)位移為x=5cm，且向x負(fù)向運(yùn)動(dòng)。

求（1）振動(dòng)方程。

（2）x=5cm，且向x正向運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度、加速度及從這一位置回到平衡位置的最小時(shí)間。解:

(1)由旋轉(zhuǎn)矢量，得（2）先求，由旋轉(zhuǎn)矢量法（半個(gè)周期）o由旋轉(zhuǎn)矢量法（用解析法也可求出?。├?.

已知x-t曲線,寫出振動(dòng)方程,并求它們的位相差？x解：或或1o位相差反映了兩振動(dòng)達(dá)到同一狀態(tài)有時(shí)間差討論：利用曲線2x2o若不給A=0.2m，如何求出A？第2節(jié)振動(dòng)的合成和分解一、兩同方向同頻率的簡諧振動(dòng)的合成分振動(dòng):x1=A1cos(t+

1)x2=A2cos(t+

2)合振動(dòng):x=x1+x2x

=A

cos(t+

)合振動(dòng)是簡諧振動(dòng),其頻率仍為，其中由矢量合成法，x可得CombinationofSimpleHarmonicMotions討論：兩種特殊情況1o若兩分振動(dòng)同相

21=2k(k=0,1,2,…)

2o若兩分振動(dòng)反相

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)如A1=A2,則A=0則，合振幅最大。則，合振幅最小。例8.

N個(gè)同方向同頻率的簡諧振動(dòng)的合成用矢量合成法多邊形法則設(shè)它們的振幅都為a，初位相依次相差一個(gè)，其表達(dá)式為：作外接圓，先求半經(jīng)R及圓心角由等腰三角形可知圓心角，則由三角形外角等于不相鄰內(nèi)角之和，得合振動(dòng)仍為同頻率的簡諧振動(dòng)。二、兩同方向不同頻率(相差較小)的簡諧振動(dòng)的合成演示：兩音叉合振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象稱為拍演示：拍現(xiàn)象合振動(dòng)x=x1+

x2設(shè)分振動(dòng)

x1=Acos1tx2=Acos2t用合振動(dòng)特點(diǎn)：（1）合振動(dòng)頻率（2）合振幅在0--2A之間隨

t

周期性變化，時(shí)強(qiáng)時(shí)弱，不是諧振動(dòng)。合振幅在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)（或減弱）的次數(shù)稱拍頻。拍頻則拍圓頻率為A(t)圓頻率的2倍，即（1）樂音調(diào)準(zhǔn)。混頻中放功放本機(jī)振蕩中頻（拍頻）（2）超外差收音機(jī)利用電磁振動(dòng)的拍現(xiàn)象。拍的利用電臺(tái)三、兩同頻率垂直振動(dòng)的合成直線橢圓方程，形狀決定于及、。分振動(dòng)消去t

，得合運(yùn)動(dòng)軌跡方程：（1、3象限）（2、4象限）正橢圓或圓為其它值斜橢圓=21在0--之間為右旋右旋左旋橢圓合成=21在--2之間為左旋演示：激光垂直合成為任意值時(shí)，合振動(dòng)的軌跡一般為橢圓

四、不同頻率垂直方向簡諧振動(dòng)的合成

稱為李薩如圖形。如：

兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比時(shí)，合成軌跡穩(wěn)定，一般軌跡曲線復(fù)雜，且不穩(wěn)定。由切點(diǎn)數(shù)之比可測頻率。李薩如圖形yxxyNN=ww五、諧振分析(SpectralAnalysis)2.振動(dòng)的分解(合成的逆過程):任一角頻率為的振動(dòng)都可以分解為一系列簡諧振動(dòng)，這些振動(dòng)的角頻率分別為(基頻)、2(二倍頻)、3(三倍頻)…即:

x(t)=b0+b1cost+c1sint+b2cos2t+c2sin2t+…叫做復(fù)雜振動(dòng)的傅里葉級(jí)數(shù).式中b0、b1、c1、

b2、c2、…均為常數(shù),表示相應(yīng)簡諧振動(dòng)在合振動(dòng)所占的相對(duì)大小.1.付里葉理論(FourierTheory):

任何一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng),都可以分解為一系列的SHM,每個(gè)分振動(dòng)的頻率都是合振動(dòng)頻率的整數(shù)倍.基頻(fundamentalfrequency):分=合倍頻或n次諧頻(harmonicfrequency):分=n合3.鋸齒波(掃描信號(hào))的傅里葉級(jí)數(shù)展開式:4.頻譜分析(SpectralAnalysis)

將一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng)的分振動(dòng)的角頻率為橫坐標(biāo)，振幅為縱坐標(biāo)，按順序表示為頻譜圖，稱為頻譜分析。在聽覺、噪聲、心電和腦電中的應(yīng)用.右上圖是鋸齒波的頻譜(frequencyspectrum)脈博振動(dòng)圖形及其頻譜圖中顯示了一位學(xué)生在安靜條件下的脈博圖形及其頻譜阻尼振動(dòng)受迫振