數(shù)學分析第二曲面積分

第二類曲面積分一、基本概念二、概念的引入三、概念及性質(zhì)四、計算法五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系對面積的曲面積分的定義性質(zhì)特別，復習計算法則三代：二換：一投：則三代：二換：一投：則三代：二換：一投：注意：這里曲面方程均是單值函數(shù)。一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì)觀察以下曲面的側(cè)(假設曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).上側(cè)下側(cè)外側(cè)決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.內(nèi)側(cè)上側(cè)下側(cè)左側(cè)右側(cè)前側(cè)后側(cè)?曲面分類

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播放莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶設連通曲面S上處處有連續(xù)設M0為曲面S上一點，確定方向為正方向，另一個方向為負方向.

L為S上任一經(jīng)過點M0且不超出S邊界的閉曲線.設點M從M0出發(fā)，沿L連續(xù)移動，M在M0點與M0變動的切平面（或法線）曲面在M0點的一個法線有相同的法線方向，當點M連續(xù)移動時，其法線方向也連續(xù)變動，最后當M沿L回到M0時，若這時M的法線方向仍與M0點的法線方向一致，則稱此曲面S為雙側(cè)曲面；若與M0的法線方向相反，則稱S為單側(cè)曲面曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:二、概念的引入實例:流向曲面一側(cè)的流量.1.分割則該點流速為.法向量為.則單位時間內(nèi)流經(jīng)小曲面Si的流量近似地等于其中ΔSi為小曲面Si的面積.記它們是Si的一側(cè)分別在坐標面面積的近似值，于是單位時間

yz,zx和xy上投影區(qū)域內(nèi)流經(jīng)小曲面Si的流量也近似地等于3、求和單位時間內(nèi)由曲面Σ

的一側(cè)流向另一側(cè)的總流量三、第二類曲面積分的定義向量函數(shù)v=(P,Q,R)設P,Q,R為定義在雙側(cè)曲面Σ

上的函數(shù)，在Σ

所指定的一側(cè)作分割T，把Σ分為n個小曲面S1,S2...,Sn,記

分別表示Si在三個坐標軸上的投影區(qū)域的面積,在Si

上任取一點若存在，則稱此極限為向量函數(shù)v=(P,Q,R)在曲面Σ

所指定一側(cè)上的第二類曲面積分，也稱為對坐標的曲面積分或記作常簡記為若令則第二類曲面積分也記作向量形式：由第二類曲面積分的定義，流體以速度從曲面的一側(cè)流向另一側(cè)的總流量稱為P在有向曲面Σ上對坐標y,z的曲面積分;稱為Q在有向曲面Σ上對坐標z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面Σ上對坐標x,y的曲面積分;若以-Σ表示Σ的另一側(cè)，則由定義可得存在條件:組合形式:物理意義:性質(zhì):四、計算法說明:如果積分曲面S取下側(cè),則若曲面Σ是母線平行于z軸的柱面（垂直于xy

坐標)則三定號：二代：一投：三定號：二代：一投：注意：曲面方程均是單值函數(shù).三定號：二代：一投：特別地，在上恒有，注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).解解例2計算其中是長方體表面的外側(cè).于是，于是，同樣，同樣，于是，例3.

計算

其中Σ是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所圍的四面體表面的外側(cè).解:

設取上側(cè)

S2是Σ的底部，取下側(cè)在xoy坐標面上的投影區(qū)域為Dxy

先計算積分由對稱性例4計算積分

因此,

因此,

因此,

綜上,

五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系如果取上側(cè)，則曲面Σ的法向量的方向余弦為又因此，兩類曲面積分之間的聯(lián)系向量形式內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)3.計算設上正下負注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).兩類曲面積分的聯(lián)系:解六、小結(jié)1、物理意義2、計算時應注意以