數(shù)字濾波器第二講課件

《數(shù)字信號(hào)處理》課程2010-2011學(xué)年度秋季學(xué)期——IIR數(shù)字濾波器

引言IIR濾波器是極零點(diǎn)濾波器，也即該濾波器既具有零點(diǎn)也具有極點(diǎn)。極點(diǎn)的存在說(shuō)明了反饋的存在，因而導(dǎo)致了無(wú)限長(zhǎng)的沖激響應(yīng)。用差分方程來(lái)描述一個(gè)離散時(shí)間IIR濾波器：

IIR濾波器的主要優(yōu)點(diǎn)：

結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算量相對(duì)FIR較低；易于表示成級(jí)聯(lián)的形式，使得高階的濾波器能夠由低階濾波器的級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

IIR濾波器的主要缺點(diǎn)：

由于極點(diǎn)的存在，造成了IIR濾波器的不穩(wěn)定；較難滿足線性相位。主要內(nèi)容系統(tǒng)的全通分解與最小相位系統(tǒng)；IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程；IIR模擬濾波器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介；模擬和數(shù)字之間的轉(zhuǎn)換和逼近方法。1.系統(tǒng)的全通分解

若一個(gè)因果系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)對(duì)于所有的頻率都等于1或某個(gè)常數(shù)則該系統(tǒng)稱(chēng)為全通系統(tǒng)。一個(gè)最簡(jiǎn)單的全通系統(tǒng)是

該系統(tǒng)表明其輸出信號(hào)僅僅是輸入信號(hào)的延遲。

一個(gè)全通系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)關(guān)于單位圓鏡像對(duì)稱(chēng)其分子分母多項(xiàng)式是互為鏡像的多項(xiàng)式，即其中為N階實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。進(jìn)一步可以證明

最小相位系統(tǒng)由于IIR濾波器難以滿足線性相位的要求，因此分析全通系統(tǒng)的意義在于一個(gè)全通系統(tǒng)和一個(gè)最小相位系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)可以做到在不改變系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)的前提下，實(shí)現(xiàn)對(duì)相位的矯正，使得系統(tǒng)的相位響應(yīng)盡可能接近線性或者實(shí)現(xiàn)常數(shù)相位。一個(gè)因果、穩(wěn)定的系統(tǒng)要求極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，如果一個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)。若零點(diǎn)全部在單位圓外，則系統(tǒng)為最大相位系統(tǒng)；若單位圓內(nèi)外均有零點(diǎn)，則為混合相位系統(tǒng)

最小相位濾波器具有一些重要的性質(zhì)，首先最小相位濾波器相對(duì)于零相位（軸）具有最小的相位偏移，因此其沖激響應(yīng)也具有最小的遲延。在反卷積和系統(tǒng)辨識(shí)的應(yīng)用中，逆系統(tǒng)是一個(gè)非常重要的概念，給定一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)則其逆系統(tǒng)，也就是逆濾波器當(dāng)且僅當(dāng)是最小相位濾波器時(shí)，逆濾波器才是穩(wěn)定的、因果的，也即物理可實(shí)現(xiàn)的最小相位濾波器另一個(gè)重要的用途就是和全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，也即所謂的全通分解性質(zhì)。任何一個(gè)非最小相位的因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)均可以由一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)構(gòu)成證明：2.IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程

設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器首先應(yīng)該考慮濾波器的應(yīng)用前提，明確濾波器在一個(gè)系統(tǒng)中的作用比如要設(shè)計(jì)的是一個(gè)低通、帶通還是高通濾波器…？是否要求線性相位？其次考慮實(shí)現(xiàn)的方式，是軟件實(shí)現(xiàn)還是硬件實(shí)現(xiàn)？然后再考慮所要求的濾波器的性能如何，也就說(shuō)明確濾波器的技術(shù)指標(biāo)，如對(duì)通帶、阻帶和過(guò)渡帶的要求

典型的幅度技術(shù)指標(biāo)

通帶：，為通帶截止頻率，為通帶波紋阻帶：，為阻帶截止頻率，為阻帶波紋；峰值通帶波紋：最小阻帶衰減：過(guò)渡帶寬度：模擬和數(shù)字濾波器的幅頻指標(biāo)的對(duì)應(yīng)

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程（以雙線性變換逼近法為例）

3.IIR模擬濾波器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介

由于數(shù)字IIR濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上是利用模擬濾波器的成果，因此有必要對(duì)于模擬濾波器的設(shè)計(jì)作一個(gè)簡(jiǎn)要的介紹。模擬濾波器的設(shè)計(jì)主要有Butterworth，Chebyshev和橢圓濾波器，這里只介紹前兩種濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器的設(shè)計(jì)采用的是函數(shù)逼近的方法來(lái)近似所要求的濾波器的幅頻特性。濾波器的技術(shù)指標(biāo)同濾波器的幅頻特性緊密相關(guān)的，通常采用幅度平方特性建立濾波器的幅度特性和技術(shù)指標(biāo)之間的函數(shù)聯(lián)系。模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟頻率的歸一化。由于濾波器的動(dòng)態(tài)范圍千差萬(wàn)別，為使設(shè)計(jì)工作規(guī)范化，通常需要將濾波器的頻率相對(duì)于某個(gè)頻率作一個(gè)歸一化的處理。對(duì)于低通濾波器，令，則，；由所要求的技術(shù)指標(biāo)來(lái)確定近似函數(shù)的參數(shù)，也即濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)；由求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，也即確定系統(tǒng)的極零點(diǎn)。Butterworth濾波器

Butterworth濾波器的定義：

其中C為待定的常數(shù)，N為濾波器的階數(shù)。設(shè)計(jì)的主要工作就是確定合適的C和N，進(jìn)而設(shè)計(jì)系統(tǒng)的極零點(diǎn)。頻率歸一化后，由于確定參數(shù)后，下面剩下的任務(wù)就是確定合適的了，這等效于求系統(tǒng)函數(shù)，和歸一化頻率相對(duì)應(yīng)，可以定義歸一化復(fù)變量進(jìn)一步有令考慮到所設(shè)計(jì)的濾波器應(yīng)該是穩(wěn)定的，因此將左半平面的極點(diǎn)賦予，即若N為偶數(shù)，則極點(diǎn)共軛成對(duì)出現(xiàn)，每一對(duì)共軛極點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)二階系統(tǒng)，這樣可以等效為個(gè)二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。若N為奇數(shù)，則等效為一個(gè)一階系統(tǒng)和個(gè)二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。因此高階系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為低階（一階和二階）系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。

Butterworth濾波器無(wú)論在通帶還是阻帶都是單調(diào)下降的，其過(guò)渡帶隨著N的增大而逐漸變窄

Chebyshev濾波器

Chebyshev-I型濾波器：幅度平方特性為其中頻率歸一化由于由于所以，令進(jìn)而，寫(xiě)出n的計(jì)算表達(dá)式下面確定濾波器的極點(diǎn)分布，由于的極點(diǎn)為的根，因此求解橢圓方程

該方程的根分布在一個(gè)橢圓的圓周上橢圓方程也因而得名。對(duì)于具體的求解步驟這里不再贅述，詳見(jiàn)相關(guān)的專(zhuān)著。上述方程左半平面的根就對(duì)應(yīng)濾波器的極點(diǎn)，進(jìn)而可以確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：Chebyshev-I型濾波器在通帶內(nèi)等波紋振蕩，在阻帶內(nèi)單調(diào)下降。該濾波器在相同的階數(shù)條件下，過(guò)渡帶明顯要窄于Butterworth濾波器。Chebyshev-I型濾波器的頻率特性Chebyshev-II型濾波器Chebyshev-II型濾波器的幅度平方定義為：

和I型相比，不難判斷其通帶和阻帶特性是相反的。同I型相反，II型在阻帶內(nèi)等波紋振蕩，在通帶內(nèi)單調(diào)下降。Chebyshev-II型濾波器的設(shè)計(jì)步驟這里就不詳細(xì)討論了。橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋振蕩的，且其過(guò)渡帶非常窄，橢圓濾波器不僅有極點(diǎn)而且還有零點(diǎn)，因此橢圓濾波器的設(shè)計(jì)更為復(fù)雜，對(duì)于橢圓濾波器這里同樣不作討論。

Chebyshev-II型濾波器的頻率特性4.數(shù)字－模擬－數(shù)字的逼近

數(shù)字IIR濾波器的設(shè)計(jì)主要是借助模擬IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法，將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化為模擬濾波器即可。問(wèn)題的實(shí)質(zhì)集中于數(shù)字－模擬的近似方法，主要有：雙線性變換法，導(dǎo)數(shù)逼近法和沖激響應(yīng)不變法（階躍響應(yīng)不變法）。

沖激響應(yīng)不變法

由于離散時(shí)間系統(tǒng)可以通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的采樣來(lái)定義。由于沖激響應(yīng)能夠表征一個(gè)LTI系統(tǒng)，因此也可以通過(guò)對(duì)沖激響應(yīng)的采樣來(lái)得到離散時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，從而確定一個(gè)數(shù)字濾波器。對(duì)應(yīng)的濾波器的頻率響應(yīng)的關(guān)系為：時(shí)域的采樣會(huì)引起頻域的延拓。若是帶限的，則因此，可以模擬頻率和數(shù)字頻率的關(guān)系式出發(fā)，首先將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)一個(gè)滿足要求的模擬濾波器對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)

然后再對(duì)采樣，得到數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)為對(duì)應(yīng)的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為比較S平面上在處的極點(diǎn)變換為Z平面上處的極點(diǎn)，且和僅相差一個(gè)比例因子T。若穩(wěn)定，則其極點(diǎn)必位于左半平面，對(duì)應(yīng)的的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)。階躍響應(yīng)不變法和沖激響應(yīng)不變法的實(shí)質(zhì)是一樣的，但是這種的映射方法勢(shì)必會(huì)造成頻域的延拓和混疊，因此僅適用于帶限濾波器。

雙線性變換法雙線性變換是實(shí)現(xiàn)濾波器數(shù)字－模擬近似任務(wù)的一種主要的方法。該方法的思想是將Z平面通過(guò)雙線性變換映射為S平面，也就是建立一種變換由于Z平面上的單位圓對(duì)應(yīng)于S平面的軸，因此希望尋找一種滿足以下要求的變換：

S平面的軸映射為Z平面上的單位圓的一周，也即一一映射；若穩(wěn)定，則也穩(wěn)定；該映射變換是可逆的；若，則根據(jù)和

即可將模擬頻率換成數(shù)字頻率

這種想法最為直觀，但是滿足前面對(duì)于變換的要求嗎？在單位圓上將代入，則這樣在軸上，每隔便對(duì)應(yīng)映射單位圓的一周，從而引起頻域的混疊，不滿足上述一一映射的要求。雙線性變換是滿足要求的一種變換，定義為在軸上，對(duì)應(yīng)的頻率關(guān)系為：

這種頻率的映射實(shí)質(zhì)上是一種非線性的變換

模擬和數(shù)字頻率的正弦函數(shù)映射關(guān)系

設(shè)計(jì)步驟由給定的濾波器的頻率響應(yīng)的指標(biāo)通過(guò)變換求得對(duì)應(yīng)的模擬濾波器的指標(biāo)借助不同的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法得到模擬濾波器

利用雙線性變換求出對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器，也即

導(dǎo)數(shù)逼近法

模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換，另一個(gè)方法是用差分方程來(lái)近似連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程實(shí)質(zhì)上等效于線性常系數(shù)微分方程的數(shù)值解法。當(dāng)時(shí)，用后向差分替代微分其中T為采樣間隔，且模擬微分器的系統(tǒng)函數(shù)而數(shù)字差分系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為因此→同樣二階微分也可以由二次差分來(lái)表示對(duì)應(yīng)于頻域即為同理，可以導(dǎo)出的k階微分對(duì)應(yīng)于頻域?yàn)?/p>

由差分對(duì)于微分的近似，IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以由模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)來(lái)表示

該式實(shí)質(zhì)上給出了一種由S域到Z域的映射關(guān)系以替換s，又可以得到導(dǎo)數(shù)逼近法所建立的模擬和數(shù)字頻率的映射關(guān)系

當(dāng)沿著虛軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌跡映射到Z域上是一個(gè)以為圓心，半徑為1/2的圓。？？？？？？可以證明該映射將S域左半平面映射到了上述圓的內(nèi)部，右半平面映射為該圓的外部。然而該方法所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)會(huì)被限制在相對(duì)較小的頻率范圍之內(nèi)，這是因?yàn)镾域的左半平面僅僅對(duì)應(yīng)于上述圓的內(nèi)部，并且該圓在單位圓的內(nèi)部所占區(qū)域較小，從而限制了極點(diǎn)的范圍。因而該方法僅限于用來(lái)設(shè)計(jì)頻率響應(yīng)范圍相對(duì)較窄的低通或帶通濾波器。由于極點(diǎn)位置受限，采用上述導(dǎo)數(shù)逼近方法只能映射某些特定的高通濾波器，缺乏將任意的模擬高通濾波器映射成相應(yīng)的數(shù)字高通濾波器的能力。一些復(fù)雜的微分替代方法可以克服上述限制，特別是L階差分替換式的形式其中{}是一組系數(shù)用以?xún)?yōu)化逼近的性能。其對(duì)應(yīng)的S域到Z域映射即為當(dāng)時(shí)以代換s，則模擬頻率變量與數(shù)字頻率變量之間的關(guān)系為

選擇適當(dāng)?shù)南禂?shù){}，則可以實(shí)現(xiàn)將軸映射為Z域的單位圓，也可以滿足S域左半平面映射為單位圓內(nèi)部的要求。但是合適系數(shù)的選擇是相當(dāng)困難的。思考題

信號(hào)和干擾的頻譜是分離的，則采用上述經(jīng)典的濾波器，也即：低通、帶通、高通和帶阻濾波器即可慮除。但是如果信號(hào)和干擾的頻譜混合在一起，如何做到信噪的分離呢？（從經(jīng)典到現(xiàn)代）能否實(shí)現(xiàn)依相位頻率特性的濾波呢？FIR和IIR數(shù)字濾波器級(jí)聯(lián)而成的濾波器的頻率特性又該如何呢？5.數(shù)字濾波器小結(jié)

離散時(shí)間系統(tǒng)的基本理論是數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。模擬濾波器的