2022年高考數(shù)學一輪復習 三定問題及最值（精練）（解析版）

9.6三定問題及最值（精練）【題組一定點】1．（2021·北京新農(nóng)村中學高三開學考試）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于、兩點，設點關于軸對稱點為.直線與軸的交點是否為定點？請說明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為橢圓的離心率為，點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的標準方程；（2），直線AB的方程為，聯(lián)立，消去y得，由韋達定理得，直線的方程為，令，得，又，所以，所以直線與軸的交點是定點，其坐標是.2．（2021·全國高三開學考試（理））已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經(jīng)過點．（1）求雙曲線C的方程；（2）設斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過點，且直線，與雙曲線C分別交于A，B兩點（A，B異于點Q），若，試判斷直線AB是否經(jīng)過定點，若存在定點，求出該定點坐標；若不存在，說明理由．【解析】（1）離心率為，則，，即雙曲線方程為．又點在雙曲線C上，所以，解得，，所以雙曲線C的方程為．（2）當直線AB的斜率不存在時，點A，B關于x軸對稱，設，，則由，解得，即，解得，不符合題意，所以直線AB的斜率存在．不妨設直線AB的方程為，代入，整理得，設，，則，由，得，即，整理得，所以，整理得：，即，所以或．當時，直線AB的方程為，經(jīng)過定點；當時，直線AB的方程為，經(jīng)過定點，不符合題意．綜上，直線AB過定點（0，1）．3．（2021·江蘇周市高級中學高三開學考試）在平面直角坐標系中，已知動點到點的距離與它到直線的距離之比為．記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，．交曲線于，兩點，交曲線于，兩點，線段的中點為，線段的中點為．證明：直線過定點，并求出該定點坐標．【答案】（1）（2）直線過定點，證明見解析.【解析】（1）設，由題意可得：，即兩邊同時平方整理可得：，所以曲線的方程為：；（2）若直線，斜率都存在且不為，設：，則：，由可得：，當時，即，方程為，此時只有一解，不符合題意，當時，，由韋達定理可得：，所以點的橫坐標為，代入直線：可得：，所以線段的中點,用替換可得，，所以線段的中點，當時，，直線的方程為：，整理可得：，此時直線過定點，若時，則，，或，，直線的方程為，此時直線也過點，若直線，中一個斜率不存在，一個斜率為，不妨設斜率為，則：，：，此時直線的方程為，此時直線也過點，綜上所述：直線過定點，4（2021·全國）已知雙曲線（，）的左焦點為，，是雙曲線上關于原點對稱的兩點，直線與雙曲線的另一個交點是，直線與雙曲線的另一個交點是．當點的坐標為時，．（1）求雙曲線的標準方程；（2）當點在雙曲線上運動時，證明：直線經(jīng)過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題，知，因為，，所以，得，所以．①因為點在雙曲線上，所以，②由①②得，，，所以雙曲線的標準方程為．（2）由（1）得，設，則，易知或，當時，直線的方程為將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消去得．因為在雙曲線上，所以，所以，得．由題易知，，所以，即，所以，則，同理，．所以，所以直線的方程為，由對稱性可知，若直線過定點，則定點在軸上，在直線的方程中令，得，所以直線過定點．當時，直線的方程為，代入的方程，得，不妨設，則，，可得直線的方程為，與的方程聯(lián)立，可得，解得或，將代入，可得，得則直線的方程為，令，得即直線過點．綜上，當點在雙曲線上運動時，直線經(jīng)過定點．5（2021·全國高三）雙曲線經(jīng)過點，且虛軸的一個頂點到一條漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）過點的兩條直線，與雙曲線分別交于，兩點(，兩點不與點重合)，設直線，的斜率分別為，，若，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題得雙曲線的一條漸近線方程為，虛軸的一個頂點為，依題意得，即，即，①又點在雙曲線上，所以，即，②由①②解得，，所以雙曲線的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，點，關于軸對稱，設，，則由，解得，即，解得，不符合題意，所以直線的斜率存在.不妨設直線的方程為，代入，整理得，，設，，則，，由，得，即，整理得，所以，整理得，即，所以或.當時，直線的方程為，經(jīng)過定點；當時，直線的方程為，經(jīng)過定點，不符合題意.綜上，直線過定點.6．（2021·全國高三專題練習）已知曲線，為曲線上一動點，過作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和.（1）當運動到時，求的值；（2）設直線（不與軸垂直）與曲線交于、兩點，與軸正半軸交于點，與軸交于點，若，，且，求證為定點.【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】解：（1）由曲線，得漸近線方程為，作示意圖如圖所示：設，，則則，又，.（2）設，，，設直線的斜率為，則，又，得得，由，則，即，得，同理，由，則得，則，得，又，得，即為定點.【題組二定值】1．（2021·湖北襄陽市·襄陽五中高三月考）已知雙曲線：的左、右頂點分別為，過右焦點的直線與雙曲線的右支交于兩點（點在軸上方）．（1）若，求直線的方程；（2）設直線的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設點，，由，可得：，即，將，代入雙曲線方程得，消去，解得：，又點在軸上方，點在軸下方，，，，直線的方程為.（2）過右焦點的直線與雙曲線的右支交于兩點，，可設直線的方程為，，，聯(lián)立方程，消去整理得：，則，解得：，，，又，，，，，又，，即為定值.2．（2021·廣東珠海市·高三月考）已知雙曲線的一個焦點為，且經(jīng)過點（1）求雙曲線C的標準力程；（2）己知點A是C上一定點，過點的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點，若為定值，求點A的坐標及實數(shù)的值．【答案】（1）；（2），，或者，．【解析】（1）由題意．且．聯(lián)立解得，所以雙曲線C的標準方程為．（2）設，過點的動直線為：．設，，聯(lián)立得，-所以，由且，解得且，，即，即，．化簡得，所以，．化簡得，由于上式對無窮多個不同的實數(shù)t都成立，所以如果，那么，此時不在雙曲線C上，舍去．因此，從而，所以，代入得，解得，此時在雙曲線C上．綜上，，，或者，．3．（2021·福建高三月考）已知雙曲線：(，)的左、右焦點分別為，，雙曲線的右頂點在圓：上，且．(1)求雙曲線的標準方程；(2)動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點、，問(為坐標原點)的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．【答案】(1)；(2)的面積是為定值，定值為1.【解析】(1)不妨設，，因為，從而，，故由，又因為，所以，又因為在圓：上，所以，所以雙曲線的標準方程為：.(2)由于動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點、，當動直線的斜率不存在時，，，當動直線的斜率存在時，且斜率，不妨設直線：，故由，從而，化簡得，，又因為雙曲線的漸近線方程為：，故由，從而點，同理可得，，所以，又因為原點到直線：的距離，所以，又由，所以，故的面積是為定值，定值為1.4．（2021·全國高三月考）已知雙曲線與有相同的漸近線，點為的右焦點，為的左，右頂點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線過點交雙曲線的右支于兩點，設直線斜率分別為，是否存在實數(shù)入使得?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）的漸近線為，，，，所以雙曲線的標準方程.（2）由已知，，過點與右支交于兩點，則斜率不為零，設，由，消元得，因為與雙曲線右支交于兩點，所以，解得，，，，，，，存在使得.5．（2021·河北唐山·高三開學考試）已知雙曲線E：的離心率為2，點在E上.（1）求E的方程：（2）過點的直線1交E于不同的兩點A，B（均異于點P），求直線PA，PB的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得，∴，解得①又∵點在E上，∴②由①②可得，.∴雙曲線E的方程為.（2）過點的直線l斜率顯然存在，設l的方程為：，，，將l的方程代入雙曲線E的方程并整理得，依題意，且，所以且，因此，可得，.∴.6．（2021·渝中·重慶巴蜀中學）已知雙曲線的漸近線方程為：，且過點（1）求雙曲線的標準方程（2）過右焦點且斜率不為的直線與交于，兩點，點坐標為，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可得：解得：，所以所以雙曲線的標準方程為；（2），所以，設直線：，，，由可得：，所以，，，所以.【題組三定直線】1．（2021·北京二中高三）已知橢圓的離心率為，橢圓C的下頂點和上項點分別為，且，過點且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點.（1）求橢圓C的標準方程；（2）當k=2時，求△OMN的面積；（3）求證：直線與直線的交點T恒在一條定直線上.【答案】(1);(2);(3)證明見解析.【解析】(1)因為，所以，即，因為離心率為，則，設，則，又，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓的標準方程為.(2)設，由直線的點斜式方程可知，直線的方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立，，整理得，則，所以，原點到的距離，則的面積.(3)由題意知，直線的方程為，即，設，則，整理得，則，因為直線和橢圓有兩個交點，所以，則，設，因為在同一條直線上，則，因為在同一條直線上，則，所以，所以，則交點T恒在一條直線上.2．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學）已知橢圓的左、右焦點分別為、，且橢圓上存在一點P，滿足，.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知A、B分別是橢圓C的左、右頂點，過的直線交橢圓C于M、N兩點，記直線的交點為T，是否存在一條定直線l，使點T恒在直線l上？【答案】（1）；（2）存在.【解析】（1）設，△內(nèi)，由余弦定理得，化簡得，解得，故，，，所以橢圓的標準方程為；（2）由（1）知，，設，，，，，，①，②兩式相除得．又，故，③設的方程為，代入整理，得，△恒成立．把，，代入③，，得，得到，故點在定直線上．3．（2021·福建漳州三中高三）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，且滿足，點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設，，若過的直線與交于，兩點，且直線與交于點.證明：（i）點在定直線上；（ii）若直線與交于點，則.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】（1）由題意可知：，所以點到點與到點的距離之差為2，且，所以動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，設其方程為，其中，，所以，，所以，所以曲線的方程為.（2）（i）設直線的方程為，，，其中，.聯(lián)立，消去，可得，由題意知且，所以，.直線：，直線：①，由于點在曲線上，可知，所以，所以直線：②.聯(lián)立①②，消去可得，即，所以，所以，所以，所以點在定直線上.（ii）由題意，與（i）同理可證點也在定直線上.設，，由于在直線：上，在直線：上，所以，，所以，又因為，，所以，所以.4．（2021·上海高三）設直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點，，與雙曲線交于不同兩點，，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．【答案】9【解析】由消去化簡整理得設，，則①由消去化簡整理得設，，則②因為，所以，此時．由得．所以或．由上式解得或．當時，由①和②得．因是整數(shù)，所以的值為，，，，，，．當，由①和②得．因是整數(shù)，所以，，．于是滿足條件的直線共有9條．5．（2021·江蘇南通·高三）已知為拋物線上位于第一象限的點，為的焦點，與交于點(異于點).直線與相切于點，與軸交于點.過點作的垂線交于另一點.（1）證明：線段的中點在定直線上；（2）若點的坐標為，試判斷，，三點是否共線.【答案】（1）證明見解析；（2）點，，三點共線.【解析】（1）設，則，因為點在第一象限，所以，對兩邊求導得：，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，則，所以，所以線段的中點為所以線段的中點在定直線上.（2）若，則.所以，，因為，所以，所以，直線.由得，所以或2，所以，由得，所以或8，所以.因為，，，所以，，所以點，，三點共線.6．（2021·江蘇高三）已知拋物線，為拋物線外一點，過點作拋物線的切線交拋物線于，兩點，交軸于，兩點.（1）若，設的面積為，的面積為，求的值；（2）若，求證：的垂心在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設，，由得，所以，所以直線的斜率為.∴直線的方程為，整理得①同理可得的方程為②∵，均過，∴∴直線既過，也過，∴直線的方程為：設與軸交于點，則，所以，在①式中令，∴，同理∴，∴.（2）仿照（1）知方程為，，，，，由∴.∵為的垂心設，，，由∴∴，故的垂心在定直線上.【題組四最值（范圍）】1．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高三月考（理））已知橢圓的短軸長為，過下焦點且與軸平行的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若、分別為橢圓的右頂點與上頂點，直線與橢圓相交于、兩點，求四邊形的面積的最大值及此時的值.【答案】（1）；（2）四邊形的面積的最大值為，此時.【解析】（1）由題意可得，則，將代入橢圓方程可得，則，得，由題意可得，所以，，因此，橢圓的方程為；（2）易知點、，直線的方程為，即.不妨設、且，，，則，設到直線的距離為，到直線的距離為，當且僅當時，等號成立，因此，四邊形的面積的最大值為，此時.2．（2021·上海市控江中學高三開學考試）在平面直角坐標系中，拋物線，點，，為上的兩點，在第一象限，滿足.（1）求證：直線過定點，并求定點坐標；（2）設為上的動點，求的取值范圍；（3）記△的面積為，△的面積為，求的最小值.【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】（1）令，則，由知：，又，，∴，則，設直線為，聯(lián)立拋物線方程整理得：，則，∴，故直線為，即直線過定點.（2）設，則，，∴，令，∴且，∴當時，；當時，.∴.（3）由（1），直線為，聯(lián)立拋物線整理得：，∴，，有，由在第一象限，則，即，∴，可得.，又到的距離，∴，而，∴，∴，整理得，∴，即，又，得：.∴的最小值為.3．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學附中高三月考）已知直線過橢圓的右焦點，且交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點是.（1）求橢圓的方程；（2）過原點的直線與線段AB相交（不含端點）且交橢圓于C，D兩點，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直線與x軸交于點，所以橢圓右焦點的坐標為，故，因為線段AB的中點是，設，則，且，又，作差可得，則，得又，所以，因此橢圓的方程為.（2）由（1）聯(lián)立，解得或，不妨令，易知直線l的斜率存在，設直線，代入，得，解得或，設，則，