2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 三定問題及最值（精練）（解析版）

9.6三定問題及最值（精練）【題組一定點(diǎn)】1．（2021·北京新農(nóng)村中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為.直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？請說明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），直線AB的方程為，聯(lián)立，消去y得，由韋達(dá)定理得，直線的方程為，令，得，又，所以，所以直線與軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)，其坐標(biāo)是.2．（2021·全國高三開學(xué)考試（理））已知雙曲線的離心率為，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)斜率分別為，的兩條直線，均經(jīng)過點(diǎn)，且直線，與雙曲線C分別交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于點(diǎn)Q），若，試判斷直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】（1）離心率為，則，，即雙曲線方程為．又點(diǎn)在雙曲線C上，所以，解得，，所以雙曲線C的方程為．（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對稱，設(shè)，，則由，解得，即，解得，不符合題意，所以直線AB的斜率存在．不妨設(shè)直線AB的方程為，代入，整理得，設(shè)，，則，由，得，即，整理得，所以，整理得：，即，所以或．當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)，不符合題意．綜上，直線AB過定點(diǎn)（0，1）．3．（2021·江蘇周市高級中學(xué)高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，．交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)，證明見解析.【解析】（1）設(shè)，由題意可得：，即兩邊同時(shí)平方整理可得：，所以曲線的方程為：；（2）若直線，斜率都存在且不為，設(shè)：，則：，由可得：，當(dāng)時(shí)，即，方程為，此時(shí)只有一解，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，由韋達(dá)定理可得：，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入直線：可得：，所以線段的中點(diǎn),用替換可得，，所以線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為：，整理可得：，此時(shí)直線過定點(diǎn)，若時(shí)，則，，或，，直線的方程為，此時(shí)直線也過點(diǎn)，若直線，中一個(gè)斜率不存在，一個(gè)斜率為，不妨設(shè)斜率為，則：，：，此時(shí)直線的方程為，此時(shí)直線也過點(diǎn)，綜上所述：直線過定點(diǎn)，4（2021·全國）已知雙曲線（，）的左焦點(diǎn)為，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)是，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)是．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動時(shí)，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題，知，因?yàn)椋?，所以，得，所以．①因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，②由①②得，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）得，設(shè)，則，易知或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消去得．因?yàn)樵陔p曲線上，所以，所以，得．由題易知，，所以，即，所以，則，同理，．所以，所以直線的方程為，由對稱性可知，若直線過定點(diǎn)，則定點(diǎn)在軸上，在直線的方程中令，得，所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，代入的方程，得，不妨設(shè)，則，，可得直線的方程為，與的方程聯(lián)立，可得，解得或，將代入，可得，得則直線的方程為，令，得即直線過點(diǎn)．綜上，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動時(shí)，直線經(jīng)過定點(diǎn)．5（2021·全國高三）雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)的兩條直線，與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)(，兩點(diǎn)不與點(diǎn)重合)，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題得雙曲線的一條漸近線方程為，虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為，依題意得，即，即，①又點(diǎn)在雙曲線上，所以，即，②由①②解得，，所以雙曲線的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，設(shè)，，則由，解得，即，解得，不符合題意，所以直線的斜率存在.不妨設(shè)直線的方程為，代入，整理得，，設(shè)，，則，，由，得，即，整理得，所以，整理得，即，所以或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過定點(diǎn)，不符合題意.綜上，直線過定點(diǎn).6．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知曲線，為曲線上一動點(diǎn)，過作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和.（1）當(dāng)運(yùn)動到時(shí)，求的值；（2）設(shè)直線（不與軸垂直）與曲線交于、兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，，且，求證為定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】解：（1）由曲線，得漸近線方程為，作示意圖如圖所示：設(shè)，，則則，又，.（2）設(shè)，，，設(shè)直線的斜率為，則，又，得得，由，則，即，得，同理，由，則得，則，得，又，得，即為定點(diǎn).【題組二定值】1．（2021·湖北襄陽市·襄陽五中高三月考）已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方）．（1）若，求直線的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，，由，可得：，即，將，代入雙曲線方程得，消去，解得：，又點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方，，，，直線的方程為.（2）過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，消去整理得：，則，解得：，，，又，，，，，又，，即為定值.2．（2021·廣東珠海市·高三月考）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)力程；（2）己知點(diǎn)A是C上一定點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若為定值，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2），，或者，．【解析】（1）由題意．且．聯(lián)立解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，過點(diǎn)的動直線為：．設(shè)，，聯(lián)立得，-所以，由且，解得且，，即，即，．化簡得，所以，．化簡得，由于上式對無窮多個(gè)不同的實(shí)數(shù)t都成立，所以如果，那么，此時(shí)不在雙曲線C上，舍去．因此，從而，所以，代入得，解得，此時(shí)在雙曲線C上．綜上，，，或者，．3．（2021·福建高三月考）已知雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的右頂點(diǎn)在圓：上，且．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)、，問(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．【答案】(1)；(2)的面積是為定值，定值為1.【解析】(1)不妨設(shè)，，因?yàn)椋瑥亩?，，故由，又因?yàn)椋?，又因?yàn)樵趫A：上，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.(2)由于動直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)、，當(dāng)動直線的斜率不存在時(shí)，，，當(dāng)動直線的斜率存在時(shí)，且斜率，不妨設(shè)直線：，故由，從而，化簡得，，又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為：，故由，從而點(diǎn)，同理可得，，所以，又因?yàn)樵c(diǎn)到直線：的距離，所以，又由，所以，故的面積是為定值，定值為1.4．（2021·全國高三月考）已知雙曲線與有相同的漸近線，點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，為的左，右頂點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線過點(diǎn)交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，設(shè)直線斜率分別為，是否存在實(shí)數(shù)入使得?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）的漸近線為，，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由已知，，過點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)，則斜率不為零，設(shè)，由，消元得，因?yàn)榕c雙曲線右支交于兩點(diǎn)，所以，解得，，，，，，，存在使得.5．（2021·河北唐山·高三開學(xué)考試）已知雙曲線E：的離心率為2，點(diǎn)在E上.（1）求E的方程：（2）過點(diǎn)的直線1交E于不同的兩點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)P），求直線PA，PB的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得，∴，解得①又∵點(diǎn)在E上，∴②由①②可得，.∴雙曲線E的方程為.（2）過點(diǎn)的直線l斜率顯然存在，設(shè)l的方程為：，，，將l的方程代入雙曲線E的方程并整理得，依題意，且，所以且，因此，可得，.∴.6．（2021·渝中·重慶巴蜀中學(xué)）已知雙曲線的漸近線方程為：，且過點(diǎn)（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過右焦點(diǎn)且斜率不為的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可得：解得：，所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2），所以，設(shè)直線：，，，由可得：，所以，，，所以.【題組三定直線】1．（2021·北京二中高三）已知橢圓的離心率為，橢圓C的下頂點(diǎn)和上項(xiàng)點(diǎn)分別為，且，過點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求△OMN的面積；（3）求證：直線與直線的交點(diǎn)T恒在一條定直線上.【答案】(1);(2);(3)證明見解析.【解析】(1)因?yàn)?，所以，即，因?yàn)殡x心率為，則，設(shè)，則，又，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)，由直線的點(diǎn)斜式方程可知，直線的方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立，，整理得，則，所以，原點(diǎn)到的距離，則的面積.(3)由題意知，直線的方程為，即，設(shè)，則，整理得，則，因?yàn)橹本€和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，則，設(shè)，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，所以，所以，則交點(diǎn)T恒在一條直線上.2．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學(xué)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足，.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知A、B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過的直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，記直線的交點(diǎn)為T，是否存在一條定直線l，使點(diǎn)T恒在直線l上？【答案】（1）；（2）存在.【解析】（1）設(shè)，△內(nèi)，由余弦定理得，化簡得，解得，故，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）知，，設(shè)，，，，，，①，②兩式相除得．又，故，③設(shè)的方程為，代入整理，得，△恒成立．把，，代入③，，得，得到，故點(diǎn)在定直線上．3．（2021·福建漳州三中高三）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，且滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設(shè)，，若過的直線與交于，兩點(diǎn)，且直線與交于點(diǎn).證明：（i）點(diǎn)在定直線上；（ii）若直線與交于點(diǎn)，則.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】（1）由題意可知：，所以點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之差為2，且，所以動點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)其方程為，其中，，所以，，所以，所以曲線的方程為.（2）（i）設(shè)直線的方程為，，，其中，.聯(lián)立，消去，可得，由題意知且，所以，.直線：，直線：①，由于點(diǎn)在曲線上，可知，所以，所以直線：②.聯(lián)立①②，消去可得，即，所以，所以，所以，所以點(diǎn)在定直線上.（ii）由題意，與（i）同理可證點(diǎn)也在定直線上.設(shè)，，由于在直線：上，在直線：上，所以，，所以，又因?yàn)?，，所以，所?4．（2021·上海高三）設(shè)直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．【答案】9【解析】由消去化簡整理得設(shè)，，則①由消去化簡整理得設(shè)，，則②因?yàn)椋?，此時(shí)．由得．所以或．由上式解得或．當(dāng)時(shí)，由①和②得．因是整數(shù)，所以的值為，，，，，，．當(dāng)，由①和②得．因是整數(shù)，所以，，．于是滿足條件的直線共有9條．5．（2021·江蘇南通·高三）已知為拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，與交于點(diǎn)(異于點(diǎn)).直線與相切于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn).（1）證明：線段的中點(diǎn)在定直線上；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，試判斷，，三點(diǎn)是否共線.【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)，，三點(diǎn)共線.【解析】（1）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，對兩邊求導(dǎo)得：，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，則，所以，所以線段的中點(diǎn)為所以線段的中點(diǎn)在定直線上.（2）若，則.所以，，因?yàn)椋?，所以，直線.由得，所以或2，所以，由得，所以或8，所以.因?yàn)椋?，，所以，，所以點(diǎn)，，三點(diǎn)共線.6．（2021·江蘇高三）已知拋物線，為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交拋物線于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn).（1）若，設(shè)的面積為，的面積為，求的值；（2）若，求證：的垂心在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)，，由得，所以，所以直線的斜率為.∴直線的方程為，整理得①同理可得的方程為②∵，均過，∴∴直線既過，也過，∴直線的方程為：設(shè)與軸交于點(diǎn)，則，所以，在①式中令，∴，同理∴，∴.（2）仿照（1）知方程為，，，，，由∴.∵為的垂心設(shè)，，，由∴∴，故的垂心在定直線上.【題組四最值（范圍）】1．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高三月考（理））已知橢圓的短軸長為，過下焦點(diǎn)且與軸平行的弦長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若、分別為橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值及此時(shí)的值.【答案】（1）；（2）四邊形的面積的最大值為，此時(shí).【解析】（1）由題意可得，則，將代入橢圓方程可得，則，得，由題意可得，所以，，因此，橢圓的方程為；（2）易知點(diǎn)、，直線的方程為，即.不妨設(shè)、且，，，則，設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，四邊形的面積的最大值為，此時(shí).2．（2021·上海市控江中學(xué)高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，點(diǎn)，，為上的兩點(diǎn)，在第一象限，滿足.（1）求證：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為上的動點(diǎn)，求的取值范圍；（3）記△的面積為，△的面積為，求的最小值.【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】（1）令，則，由知：，又，，∴，則，設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線方程整理得：，則，∴，故直線為，即直線過定點(diǎn).（2）設(shè)，則，，∴，令，∴且，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴.（3）由（1），直線為，聯(lián)立拋物線整理得：，∴，，有，由在第一象限，則，即，∴，可得.，又到的距離，∴，而，∴，∴，整理得，∴，即，又，得：.∴的最小值為.3．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學(xué)附中高三月考）已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)是.（1）求橢圓的方程；（2）過原點(diǎn)的直線與線段AB相交（不含端點(diǎn)）且交橢圓于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直線與x軸交于點(diǎn)，所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)是，設(shè)，則，且，又，作差可得，則，得又，所以，因此橢圓的方程為.（2）由（1）聯(lián)立，解得或，不妨令，易知直線l的斜率存在，設(shè)直線，代入，得，解得或，設(shè)，則，