2022年江西省南昌市新建區(qū)第一中學高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國宋代數(shù)學家秦九韶（1202-1261）在《數(shù)書九章》（1247）一書中提出“三斜求積術”，即：以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.其實質是根據(jù)三角形的三邊長，，求三角形面積，即.若的面積，，，則等于（）A． B． C．或 D．或2．已知集合，，則集合的真子集的個數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．33．已知等比數(shù)列的前項和為，若，且公比為2，則與的關系正確的是（）A． B．C． D．4．若函數(shù)在時取得最小值，則（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．26．若復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，關于x的方程f（x）＝a存在四個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）8．某校為提高新入聘教師的教學水平，實行“老帶新”的師徒結對指導形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師都有一位老教師指導，現(xiàn)選出3位老教師負責指導5位新入聘教師，則不同的師徒結對方式共有（）種.A．360 B．240 C．150 D．1209．已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．10．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知，函數(shù)在區(qū)間內沒有最值，給出下列四個結論：①在上單調遞增；②③在上沒有零點；④在上只有一個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④12．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)滿足則點構成的區(qū)域的面積為____，的最大值為_________14．如果復數(shù)滿足，那么______（為虛數(shù)單位）.15．如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，若，，則雙曲線的離心率是______.16．的展開式中，常數(shù)項為______；系數(shù)最大的項是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin（θ+）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MON的面積.18．（12分）數(shù)列的前項和為，且.數(shù)列滿足，其前項和為.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知函數(shù).（1）設，若存在兩個極值點，，且，求證：；（2）設，在不單調，且恒成立，求的取值范圍.（為自然對數(shù)的底數(shù)）.20．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）設，求證：；（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．22．（10分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下：等級不合格合格得分頻數(shù)624（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

將，，，代入，解得，再分類討論，利用余弦弦定理求，再用平方關系求解.【詳解】已知，，，代入，得，即，解得，當時，由余弦弦定理得：，.當時，由余弦弦定理得：，.故選：C【點睛】本題主要考查余弦定理和平方關系，還考查了對數(shù)學史的理解能力，屬于基礎題.2．D【解析】

轉化條件得，利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個數(shù)為個.故選：D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算，考查了集合真子集個數(shù)問題，屬于基礎題.3．C【解析】

在等比數(shù)列中，由即可表示之間的關系.【詳解】由題可知，等比數(shù)列中，且公比為2，故故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應用，屬于基礎題.4．D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應用，屬于基礎題．5．B【解析】

求出圓心，代入漸近線方程，找到的關系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線，故選：B【點睛】利用的關系求雙曲線的離心率，是基礎題.6．B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎題.7．D【解析】

原問題轉化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當t＜2時，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減．由，可得，即a＜2．∴實數(shù)a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題，關鍵在于等價轉化，將問題轉化為通過導函數(shù)討論函數(shù)單調性解決問題.8．C【解析】

可分成兩類，一類是3個新教師與一個老教師結對，其他一新一老結對，第二類兩個老教師各帶兩個新教師，一個老教師帶一個新教師，分別計算后相加即可．【詳解】分成兩類，一類是3個新教師與同一個老教師結對，有種結對結對方式，第二類兩個老教師各帶兩個新教師，有．∴共有結對方式60＋90＝150種．故選：C．【點睛】本題考查排列組合的綜合應用．解題關鍵確定怎樣完成新老教師結對這個事情，是先分類還是先分步，確定方法后再計數(shù)．本題中有一個平均分組問題．計數(shù)時容易出錯．兩組中每組中人數(shù)都是2，因此方法數(shù)為．9．A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標系內畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結合進行求解即可.【詳解】當時，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點坐標為.在同一直角坐標系內畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用數(shù)形結合思想解決不等式恒成立問題，考查了導數(shù)的應用，屬于中檔題.10．A【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵．11．A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調性和零點情況得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間內沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調遞減.當時，，且，所以在上只有一個零點.所以正確結論的編號②④故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12．B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．811【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：數(shù)形結合可知，可行域為三角形，且底邊長，高為，故區(qū)域面積；令，變?yōu)?，顯然直線過時，z最大，故.故答案為：；11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎題.14．【解析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用復數(shù)模的計算公式求解.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)的模的求法，屬于基礎題.15．【解析】

根據(jù)三角形中位線證得，結合判斷出垂直平分，由此求得的值，結合求得的值.【詳解】∵，∴為中點，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即.故答案為：【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.16．【解析】

求出二項展開式的通項，令指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入可得出展開式中的常數(shù)項；求出項的系數(shù)，利用作商法可求出系數(shù)最大的項.【詳解】的展開式的通項為，令，得，所以，展開式中的常數(shù)項為；令，令，即，解得，，，因此，展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為：；.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解，同時也考查了系數(shù)最大項的求解，涉及展開式通項的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)直線l的普通方程為x＋y－4＝0.曲線C的直角坐標方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)4【解析】

（1）將直線l參數(shù)方程中的消去，即可得直線l的普通方程，對曲線C的極坐標方程兩邊同時乘以，利用可得曲線C的直角坐標方程；（2）求出點到直線的距離，再求出的弦長，從而得出△MON的面積．【詳解】解：(1)由題意有，得，x＋y＝4，直線l的普通方程為x＋y－4＝0.因為ρ＝4sin所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，兩邊同時乘以得，ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，因為，所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，∴曲線C的直角坐標方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)∵原點O到直線l的距離直線l過圓C的圓心(，1)，∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面積S＝|MN|×d＝4.【點睛】本題考查了直線與圓的極坐標方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知識，解題的關鍵是正確使用這一轉化公式，還考查了直線與圓的位置關系等知識.18．（1），；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令，由得出，兩式相減可推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式，再利用對數(shù)的運算性質可得出數(shù)列的通項公式；（2）運用等差數(shù)列的求和公式，運用數(shù)列的分組求和和裂項相消求和，化簡可得.【詳解】（1）當時，，所以；當時，，得，即，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，.；（2）由（1）知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，.，.所以.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運用，注意結合等比數(shù)列的定義和通項公式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和法和裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．19．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）先求出，又由可判斷出在上單調遞減，故，令，記，利用導數(shù)求出的最小值即可；（2）由在上不單調轉化為在上有解，可得，令，分類討論求的最大值，再求解即可.【詳解】（1）已知，，由可得，又由,知在上單調遞減，令，記，則在上單調遞增；，在上單調遞增；，（2），，在上不單調，在上有正有負，在上有解，，，恒成立，記，則，記，，在上單調增，在上單調減.于是知（i）當即時，恒成立，在上單調增，，，.（ii）當時，，故不滿足題意.綜上所述，【點睛】本題主要考查了導數(shù)的綜合應用，考查了分類討論，轉化與化歸的思想，考查了學生的運算求解能力.20．（1）或；（2）.【解析】

（1）利用絕對值的幾何意義，將不等式，轉化為不等式或或求解.（2）根據(jù)-2在R上恒成立，由絕對值三角不等式求得的最小值即可.【詳解】（1）原不等式等價于或或，解得：或，∴不等式的解集為或.（2）因為-2在R上恒成立，而，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法和不等式恒成立問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.21．（Ⅰ）函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用二次求導可得，所以在上為增函數(shù)，進而可得函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ）利用導數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進而可證；（Ⅲ）條件等價于對于恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)可得的單調性，即可得到的最小值為，再次構造函數(shù)（a），，利用導數(shù)得其單調區(qū)間，進而求得最大值．【詳解】（Ⅰ）當時，，則，所以，又因為，所以在上為增函數(shù)，因為，所以當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，即函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ），則令，則（1），，所以在區(qū)間上存在唯一零點，設零點為，則，且，當時，，當，，，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，，由，得，所以，由于，，從而；（Ⅲ）因為對于恒