12.斜率和積與四點(diǎn)共圓

雙曲線中的斜率和（積）問題例1.（2022新高考1卷）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．求的斜率.（2）若，求的面積．解法1：（設(shè)點(diǎn)解點(diǎn)）設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，消去得到，根據(jù)韋達(dá)定理，得，故，從而.因?yàn)橹本€的斜率之和為，所以直線的方程為，同理，可得：，.所以直線的斜率為解法2：設(shè)，由點(diǎn)都在雙曲線上，得，，所以，結(jié)合斜率公式，相減后變形，可得：，.因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，從而，即的斜率為.解法3：（設(shè)而不求）將點(diǎn)代入雙曲線方程得，化簡得，，故雙曲線方程為，由題顯然直線的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，，則聯(lián)立雙曲線得：，故，，，化簡得：，故，即，當(dāng)時，直線過點(diǎn)A，不合題意，舍去.,故.方法4.（同構(gòu)雙斜率）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，代入雙曲線的方程中，整理得，這是關(guān)于的一元二次方程，方程的兩根分別為直線的斜率.因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，所以，整理后分解得.因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以，從而，即的斜率為.方法5（齊次化聯(lián)立）雙曲線方程為，設(shè)，∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，故將雙曲線方程為變形為：，且設(shè)直線，由式有：,（兩邊同除以），即，而是此方程的兩根.∴，故直線斜率為?1.方法6：（曲線系）點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)直線的方程為，的方程為，的方程，則過這四條直線交點(diǎn)的二次曲線方程為.又因?yàn)殡p曲線過這些交點(diǎn)，比較的系數(shù)得.又由，所以.這樣的話，本文就展示了這道題目的6種解法，其實(shí)無所謂好壞之分，都是很好的方法，都體現(xiàn)了對運(yùn)算對象和運(yùn)算規(guī)則較為精準(zhǔn)的把握.但是，在考場時間如此緊張的條件下，又快又準(zhǔn)的解題卻是關(guān)鍵，方法1,3為通法，是多數(shù)考生的選擇，這樣的方法就是套路感強(qiáng)，我們練習(xí)的最多，但是過多的沉迷于這些方法會讓我們對解析幾何的理解就定位在“暴力運(yùn)算”，我覺得，如果時間允許，去探尋思考方法2和方法4也是不錯的選擇.方法5,6就是所謂的“秒殺神技”，但是我個人覺得這兩個方法還是有風(fēng)險的，因?yàn)樗鼈兗记尚院軓?qiáng)，可能對很多學(xué)生而言都很難想清楚這個平移坐標(biāo)系究竟是個什么“?！?，這兩個方法很多人都可能學(xué)個“四不像”，徒勞無功！所以，對解析幾何運(yùn)算的核心還在于去思考，理解運(yùn)算對象，這個板塊的特點(diǎn)就是翻譯：幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題坐標(biāo)化，不同的理解就會有不同的處理思路，我們要基于常見的二級結(jié)論，首先對問題有一個宏觀認(rèn)知，其次的關(guān)鍵就是理解，一些傳統(tǒng)的幾何問題正變著花樣出現(xiàn)，比如2020年山東卷22題.給學(xué)生多一些動手練習(xí)，思考探尋不同解法的機(jī)會，讓他們在探尋各種解法的過程中慢慢提升對解析幾何的理解和熱愛.把解析幾何理解為一門關(guān)于運(yùn)算的藝術(shù)，我想才是破解這個板塊的核心密碼！例2.（2021新高考1卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，且動點(diǎn)滿足：，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，且滿足，求直線與直線的斜率之和.解析：（1）因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，