莊楚強(qiáng) 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)二

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念1、設(shè)為0—1分布的一個(gè)樣本，問：（1）求樣本均值的期望與方差；（2）求修正樣本方差的期望；（3）試證。解：由于，所以，（1）（2）（3）由于，所以，故，得證。2、設(shè)總體，為其樣本，問：（1）求樣本方差的分布密度；（2）求樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布密度。解：（1）由于，所以根據(jù)定理，，而的分布密度為：，所以樣本方差的分布密度為：同理，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布密度為：3、設(shè)，而，求的分布密度。解：由于，所以的分布密度為：根據(jù)題意，，所以，且，所以，所以的分布密度為：整理得：4、某半導(dǎo)體廠生產(chǎn)的某種零件厚度，為保證質(zhì)量，規(guī)定當(dāng)時(shí)，認(rèn)為生產(chǎn)過程處于良好控制狀態(tài)。為此，每隔一定時(shí)間抽一個(gè)零件測(cè)量它的厚度，共抽取20個(gè)零件作為一個(gè)樣本，并計(jì)算樣本方差。若（此時(shí)用），則認(rèn)為生產(chǎn)過程失去控制，必須停產(chǎn)檢查，問：（1）為何值時(shí)，的概率才小于或等于0.01？（2）若取得的一個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，生產(chǎn)過程是否處于良好的控制狀態(tài)？解：（1）由定理可知：，即，所確定的失去良好控制的標(biāo)準(zhǔn)，即。由分布表，查得，故，即。（2）根據(jù)題意，得：，所以，解得：，因此生產(chǎn)過程處于失控的狀態(tài)。5、設(shè)總體的密度函數(shù)為，取出容量為4的樣本；（3），求：（1）順序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)；（2）的分布函數(shù)。解：根據(jù)題意，總體的分布函數(shù)為函數(shù)，當(dāng)時(shí)，順序統(tǒng)計(jì)量的密度，即：。，所以的分布函數(shù)。第三章參數(shù)估計(jì)1、設(shè)總體的密度函數(shù)為，為其樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量，現(xiàn)得到樣本值為0.1，0.2，0.9，0.8、0.7、0.7，求參數(shù)的估計(jì)值。解：（1）根據(jù)題意，。解得，，所以參數(shù)的矩估計(jì)量，代入樣本均值，得：。（2）根據(jù)題意，似然函數(shù)，取對(duì)數(shù)得：。令，解得：，所以參數(shù)的極大似然估計(jì)量，代入樣本值，計(jì)算得：。2、已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機(jī)抽取10只，測(cè)得其壽命（單位：小時(shí)）為：1067、919、1196、785、1126、936、918、1156、920、948，設(shè)總體參數(shù)均為未知，試用極大似然估計(jì)法估計(jì)這星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時(shí)以上的概率。解：由于，所以其似然函數(shù)，取對(duì)數(shù)得：令，解得：根據(jù)定理，由于，所以，故所求概率為：，計(jì)算得，，代入上式中計(jì)算得：3、設(shè)是總體的一個(gè)樣本，試選擇合適的常數(shù)，使為的無偏估計(jì)量。解：由于，，且彼此相互獨(dú)立，故，，于是，從而，所以，解得：。4、隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚，測(cè)得其長度（以厘米計(jì)）為：2.14、2.10、2.13、2.15、2.13、2.12、2.13、2.10、2.15、2.12、2.14、2.10、2.13、2.11、2.14、2.11，設(shè)釘長分布為正態(tài)的，試求總體均值的90%置信區(qū)間：當(dāng)（1）若已知；（2）若為未知。解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)為已知時(shí)，總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為：其中，，，查表得，，代入上式中得：的置信區(qū)間為：，即：總體均值的90%置信區(qū)間為。（2）根據(jù)題意，當(dāng)為已知時(shí)，總體均值的置信水平為其中，得：，，查表得，，，代入上式中，即：總體均值的90%置信區(qū)間為。5、隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根，B批導(dǎo)線中抽取5根，測(cè)得其電阻（）為，A批導(dǎo)線：0.143、0.142、0.143、0.137；B批導(dǎo)線：0.140、0.142、0.136、0.138、0.140，設(shè)測(cè)試數(shù)據(jù)分別服從正態(tài)分布和，并且相互獨(dú)立，又均為未知，試求的95%的置信區(qū)間。解：根據(jù)題意，的置信水平為的置信區(qū)間為：其中，，，，查表得，，，，，所以，代入上式中得：，即：的95%的置信區(qū)間為。6、某自動(dòng)機(jī)床加工同類型套筒，假設(shè)套筒的直徑服從正態(tài)分布，現(xiàn)在從兩個(gè)不同班次的產(chǎn)品中各抽驗(yàn)了5個(gè)套筒，測(cè)定它們的直徑，得如下數(shù)據(jù)，A班：2.066、2.063、2.068、2.060、2.067；B班：2.058、2.057、2.063、2.059、2.060，試求兩班次所加工的套筒直徑的方差之比的90%的置信區(qū)間。解：根據(jù)題意，的置信水平為的置信區(qū)間為：其中，，，查表得，，，，代入上式中得：，即：兩班次所加工的套筒直徑的方差之比的90%的置信區(qū)間為。第四章假設(shè)檢驗(yàn)1、兩位化驗(yàn)員A、B對(duì)一種礦砂的含鐵量各自獨(dú)立地用同一種方法做了5次分析，得到修正樣本方差分別為0.4322和0.5006，若A、B測(cè)定值的總體都服從正態(tài)分布，其方差分別為0.05下檢驗(yàn)方差齊性，假設(shè)、，試在顯著性水平。解：根據(jù)題意，在顯著性水平下，檢驗(yàn)方差齊性，即檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋浩渲校?，，查表得，，。因?yàn)椋越邮?，即認(rèn)為在顯著性水平0.05下方差具有齊性。2、甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一型號(hào)的滾珠，由過去的經(jīng)驗(yàn)知道，滾珠的直徑服從正態(tài)分布，其期望值等于設(shè)計(jì)值?，F(xiàn)從這兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品中抽取8個(gè)和9個(gè)，測(cè)得滾珠的直徑如下，甲機(jī)床：15、14.5、15.2、15.5、14.8、15.1、15.2、14.8；乙機(jī)床：15.2、15、14.8、15.2、15、15、14.8、15.1、14.8，問：乙機(jī)床的加工精度是否比甲機(jī)床的高？（）解：根據(jù)題意，在顯著性水平下，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋?，其中因?yàn)?，，，查表得。，，，，所以接受，即認(rèn)為在顯著性水平0.05下，乙機(jī)床的加工精度比甲機(jī)床的高。3、從總體中抽取容量為80的樣本，頻數(shù)分布如下表，試問在顯著性水平下，總體的分布密度是否可信。區(qū)間頻數(shù)6182036解：根據(jù)題意，在顯著性水平下，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋嚎傮w的分布函數(shù)為，其中，，，查表得，的值列表計(jì)算于下表，區(qū)間實(shí)際頻數(shù)理論概率理論頻數(shù)65130.20.611820361525-5135800.0291.8291因?yàn)椋越邮?，即認(rèn)為在顯著性水平0.025下，總體的分布函數(shù)為可信，即總體的分布密度可信。4、下表為某種藥治療感冒效果的列表，試問療效與年齡是否無關(guān)？（）年齡療效兒童成年老年顯著一般較差5828384432451491128117552318109100300解：根據(jù)題意，在顯著性水平下，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋涸摲N感冒藥的療效與年齡相互獨(dú)立，其中，，查表得，。因?yàn)椋跃芙^，即認(rèn)為在顯著性水平0.05下，該種感冒藥的療效與年齡有關(guān)。5、甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，要比較這種產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)情況，從這兩個(gè)車間連續(xù)13天取得反映波動(dòng)大小的數(shù)據(jù)如下，甲車間：1,13、1.26、1.16、1.41、0.86、1.39、1.21、1.22、1.20、0.62、1.18、1.34、1.57；乙車間：1.21、1.31、0.99、1.59、1.41、1.48、1.31、1.12、1.60、1.38、1.60、1.84、1.95。在的分布重合”。下，用符號(hào)檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)“這兩個(gè)車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)性情況解：根據(jù)題意，在顯著性水平下，檢驗(yàn)重合，這兩個(gè)車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)性情況的分布的拒絕域?yàn)椋浩渲?，，查表得，的值列表?jì)算如下表：甲車間乙車間符號(hào)1.131.21-1.261.31-1.161.411.59-0.861.41-1.391.48-1.211.31-1.221.12+1.201.60-0.621.38-1.181.60-1.341.84-1.571.95-0.99+因?yàn)?，所以拒絕，即認(rèn)為在顯著性水平0.05下，這兩個(gè)車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)性情況的分布不重合。6、容量，的樣品，描述兩個(gè)班的勞動(dòng)生產(chǎn)率如下，第一班：28、33、39、40、41、42、45、46、47；第二班：34、40、41、42、43、44、46、48、49、52，在顯著性水平下，兩個(gè)班的勞動(dòng)生產(chǎn)率是否相同？解：根據(jù)題意，在顯著性水平下，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋簝蓚€(gè)班的勞動(dòng)生產(chǎn)率相同，其中，，，，查表得，的值列表計(jì)算如下表：秩第一班第二班12345678910451146461247134814491552283339404041414242344344因?yàn)椋杂?jì)算因?yàn)?，所以拒絕，即認(rèn)為在顯著性水平0.05下，兩個(gè)班的勞動(dòng)生產(chǎn)率不相同，存在顯著性差異。第五章回歸分析1、合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)有關(guān)，測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，問：（1）求對(duì)的回歸xiyi2.01.32.52.52.72.53.52.74.03.54.54.25.25.06.36.47.16.38.07.09.08.010.08.1直線；（2）檢驗(yàn)回歸直線的顯著性（度為0.95）。）；（3）求時(shí)，的預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)區(qū)間（置信解：經(jīng)計(jì)算得，，，，，，，（1）于是得：，，從而得到對(duì)的回歸直線為：。（2）在顯著性水平下，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋浩渲?，，，查表得，回歸平方和，殘差平方和。，因?yàn)椋跃芙^，即認(rèn)為在顯著性水平0.05下，直線的回歸性顯著。（3）時(shí)，的回歸值為，計(jì)算預(yù)測(cè)半徑，得：，所以的預(yù)測(cè)區(qū)間為，即的預(yù)測(cè)區(qū)間為。2、某公司在15個(gè)地區(qū)的某種商品的銷售額和各地區(qū)的人口數(shù)以及平均每戶總收入數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料如下表，求：（1）對(duì)、的回歸平面方程；（2）對(duì)所得的回歸方程進(jìn)行274180375205862659833019553430372236157370xi1xi2245032543802283823473782300824502137256040204427266020882605顯著性檢驗(yàn)（）；（3）對(duì)、的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)（）。解：經(jīng)計(jì)算得，，，，，，，，，，，（1）采用Matlab軟件計(jì)算矩陣的逆矩陣，得：，于是得，，從而得到對(duì)、的回歸平面方程為。（2）在顯著性水平下，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋浩渲?，，，，查表得，回歸平方和，殘差平方和，。因?yàn)椋跃芙^，即認(rèn)為在顯著性水平0.05下，回歸平面方程的回歸性顯著。（3）在顯著性水平下，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋浩渲校?，，，查表得，，所以，。因?yàn)?，，所以拒絕，即認(rèn)為在顯著性水平0.05下，各地區(qū)的人口數(shù)以及平均每戶總收入數(shù)對(duì)某種商品的銷售額的線性影響都是顯著的。3、某礦脈中13個(gè)相鄰樣本點(diǎn)處某種金屬的含量與樣本點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的距離有如下實(shí)測(cè)值：xiyi23457810111415161819106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49110.59110.60110.90110.76111.00111.20分別按（1），（2），（3）建立對(duì)的回歸方程，并用相關(guān)系數(shù)指出其中哪一種相關(guān)最大。解：將上表作如下變換：xi234578101114151618191.41421.73212.00002.23612.64582.82843.16233.31663.74173.87304.00004.24264.35890.69311.09861.38631.60941.94592.07942.30262.39792.63912.70812.77262.89042.94440.50000.33330.25000.20000.14290.12500.10000.09090.07140.06670.06250.05560.0526yi106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49110.59110.60110.90110.76111.00111.20記，，。所以，經(jīng)計(jì)算得：；，，，，，，；，，，。，，。（1）于是得：，，從而得到對(duì)的回歸直線為：相關(guān)系數(shù)。（2）于是得：，，從而得到對(duì)的回歸直線為：相關(guān)系數(shù)。（3）于是得：，，從而得到對(duì)的回歸直線為：相關(guān)系數(shù)。，為最大。第六章方差分析及正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)1、由三位教師對(duì)同一個(gè)班的作文試卷評(píng)分，分?jǐn)?shù)記錄如下，給定顯著性水平，試A1A2A3738868897880824855439193805472738571657487627742475061957868606553777679961580分析由三位教師給出的平均分?jǐn)?shù)有無顯著性差異。解：根據(jù)題意，在顯著性水平下，檢驗(yàn)由三位教師給出的平均分?jǐn)?shù)無顯著性差異，的拒絕域?yàn)椋浩渲校?，，查表得，，，所以，。因?yàn)?，所以接受，即認(rèn)為在顯著性水平0.05下，由三位教師給出的平均分?jǐn)?shù)無顯著性差異。2、在化工生產(chǎn)中為了提高得率，選了三種不同濃度和四種不同溫度情況做試驗(yàn)。為了考慮濃度與溫度的交互作用，在濃度與溫度的每一種組合下各做兩次試驗(yàn)，其得率數(shù)據(jù)如下面的表所示（數(shù)據(jù)均已減去75）：溫度B1B2B3B4濃度A1A2A314，109，75，1111，1110，813，1413，97，1112，1310，126，1014，10試在的顯著性水平下，檢驗(yàn)不同濃度，不同溫度以及它們的相互作用對(duì)得率有無顯著影響。解：根據(jù)題意，在顯著性水平下，檢驗(yàn)響，不同濃度，不同溫度以及它們的相互作用對(duì)得率無顯著影的拒絕域?yàn)椋旱?/p>