2023年經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)材料第三篇及期末復(fù)習(xí)提要

第三篇線性代數(shù)第1章行列式(不作為考試內(nèi)容）第2章矩陣§1矩陣的概念我們知道，線性方程組的系數(shù)及常數(shù)項組成一張數(shù)表,線性方程組的解取決于這張數(shù)表。定義由個數(shù)排成行列的矩形陣表，稱為矩陣,記為當(dāng)時,稱為方陣,如，等;當(dāng)時，稱為行矩陣；當(dāng)時，稱為列矩陣;?當(dāng)時，稱為零矩陣；記為，如，等。矩陣只是一張數(shù)表,不是一個數(shù)，因此，不能展開,不能求值,也不能比較大小。如=1,<,等都是錯誤的。定義設(shè),是兩個矩陣,若(1）、、同階;（2)、則稱。例設(shè)，若,則，，,，,。例設(shè)，，且,則?！?矩陣的運算設(shè)，是兩個同階矩陣。一、加法:，(相應(yīng)元素相加)例設(shè)則＝二、減法:,(相應(yīng)元素相減）例設(shè)則=三、數(shù)乘:，（用遍乘中所有元素)例設(shè)，則例設(shè)，，且，求矩陣。解由,得=－＝=＝四、乘法:設(shè)，,則,其中的第行的第列。相乘條件：的列數(shù)=的行數(shù)。相乘結(jié)果：是一個矩陣，即：(m）(相乘結(jié)果相乘條件相乘結(jié)果相乘條件例設(shè),，求。解=例設(shè),,求，。解==從而例設(shè),,求,。解=，=矩陣乘法滿足：（1)、結(jié)合律(2)、分派律，不滿足:（1)、互換律(２)、消去律即若，且，則（3）、若，則或一般地，若、是同階方陣,且，則稱與是可互換矩陣五、乘冪:設(shè)是階方陣，定義(個）例設(shè),則====等等，一般地=。例設(shè)、是同階方陣，計算，。解一般地,一般地，六、轉(zhuǎn)置:設(shè)，則稱為的轉(zhuǎn)置矩陣。結(jié)論:（1)、的行變成的列,的列變成的行;(2）、設(shè)是矩陣，則是矩陣。例設(shè)，求，。解=＝性質(zhì):(1）、(2)、（3）、（4）、例設(shè)、都是矩陣,則下面運算可進行的是(）。、、、、例設(shè)為矩陣，為矩陣,且乘積故意義,則是（）矩陣。、、、、練習(xí)設(shè)，,則?！?幾類特殊矩陣一、對角形矩陣對角矩陣：性質(zhì)：同階對角矩陣的和差、數(shù)乘、積、轉(zhuǎn)置仍為對角矩陣；數(shù)量矩陣：性質(zhì)：同階數(shù)量矩陣的和差、數(shù)乘、積、轉(zhuǎn)置仍為數(shù)量矩陣;單位矩陣：記為，如，,等等。例設(shè),求，。解==＝,同樣可得一般地,對任意方陣,有（類似于數(shù)1)對于單位矩陣，有，等等。例下面式子是否成立?（1）（2）二、三角形矩陣上三角矩陣:下三角矩陣：性質(zhì):同階上（下）三角矩陣的和差、數(shù)乘、積仍為上（下)三角矩陣。三、對稱矩陣定義若方陣滿足，則稱為對稱矩陣例是對稱矩陣若矩陣對稱(即主對角線對稱位置上的元素必相應(yīng)相等)性質(zhì):同階對稱矩陣和、差、數(shù)乘仍為對稱矩陣。注意:兩個對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣。例設(shè),都是對稱矩陣。而=卻不是對稱矩陣。例試證對任意方陣，，均是對稱矩陣。證是對稱矩陣;是對稱矩陣。例若、均為階對稱矩陣,則也是對稱矩陣。(自己證明)例設(shè)、均為方陣,則下列結(jié)論對的的有(）。、、若，則、、若，,則§4矩陣的初等行變換一、矩陣的初等行變換（1）、非齊次線性方程；(2）、齊次線性方程,現(xiàn)討論方程組的的解法。例求解方程組設(shè)稱為系數(shù)矩陣，稱為增廣矩陣，。則線性方程組的矩陣形式為：現(xiàn)討論方程組的的解法。解方程組即方程組的解為,?另解增廣矩陣=方程組的解為,矩陣的初等行變換：(1）、用一個非零數(shù)乘矩陣某行，記為（２）、把某行的倍數(shù)加到另一行中去,記為(3）、互換任意兩行的位置,記為定義若距陣滿足：(1）、零行在矩陣最下方;（2）、首非零元的列標(biāo)隨行標(biāo)的增大而增大，則稱是階梯矩陣。例、都是階梯矩陣,、不是階梯矩陣。定義若階梯矩陣滿足:（1）、非零行的首非零元都是１；(2）、首非零元所在列的其余元素都是0,則稱是行簡化階梯矩陣。例、是行簡化階梯矩陣,、不是行簡化階梯矩陣。定理:矩陣階梯矩陣行簡化階梯矩陣二、矩陣的秩定義矩陣的階梯矩陣中非零行的行數(shù)稱為的秩,記為秩（）。求法階梯矩陣,則秩(）=階梯矩陣中非零行的行數(shù)例求矩陣的秩。解秩（）例求矩陣的秩。解：秩（)練習(xí)1矩陣的秩是；矩陣的秩是；矩陣的秩是；階單位矩陣的秩是。練習(xí)2矩陣的秩是。定義:設(shè)的階方陣，若秩,則稱為滿秩矩陣;若秩,則稱為降秩矩陣；定理：(1)、對任何方陣,有秩（)＝秩()（２)、設(shè)為滿秩矩陣，則§5逆矩陣大家知道，數(shù)的運算,除法是乘法的逆運算,那么，矩陣是否也有除法運算呢?例求(）()=或()=定義:對于方陣，若存在同階方陣,使得,則稱是的逆矩陣，記為,可稱為可逆矩陣。一般地,若,則=,=例設(shè),=＝，?，均可逆，且=,=定理：矩陣可逆的充足必要條件是是滿秩矩陣，并且逆矩陣是唯一的。例矩陣不可逆矩陣不可逆矩陣可逆例設(shè)矩陣,求。解=＝，=一般地,=（其中)=(其中)性質(zhì)：（１）、(）=(2）、(）=(3)、()＝()例試證若=，且＝，則為對稱矩陣。證＝,可逆，即存在又==,即=用左乘上式得:==＝是對稱矩陣例設(shè)為階方陣，且＝,證明可逆，并求。證＝,即從而可逆，且§6逆矩陣的求法例設(shè)＝=(其中)則有＝＝=。于是有下面公式：公式：設(shè)＝，若,則可逆，且=例設(shè)，求解可逆,＝＝例設(shè)，則=。一般地,設(shè)是可逆矩陣，對施行若干次初等行變換化為,可以證明對施行同樣的初等行變換化為,于是可以得到求逆矩陣方法如下:逆矩陣求法：作一個矩陣,則例設(shè),求。解=＝例解矩陣方程（1）、,其中,（２）、，其中,解(１)、，==(2）、=＝===一般地:若(1)、（可逆），則(2)、(可逆)，則第2章綜合練習(xí)題一、填空題１、設(shè)，，則,。２、設(shè)，，則＝。３、當(dāng)時,矩陣可逆。４、設(shè),當(dāng),時，是對稱矩陣。５、設(shè)A=，則A=。6、設(shè),則秩（）＝。7、設(shè)矩陣方程，假如可逆，則。8、若，且＝，則=。二、單項選擇題１、設(shè)、是兩個階方陣，下列結(jié)論對的的是（）。、，則,、、若秩，秩，則秩、、若秩，秩，則秩2、設(shè)是矩陣,是矩陣,則下列運算故意義的是(）。、、、、3、下列矩陣中，可逆的矩陣是由于(）。、、、、4、設(shè)矩陣，則(）、4、３、2、15、設(shè)、是同階方陣，若滿足條件（）,則可逆。、、、、6、設(shè)、是同階對稱矩陣，則是（)。、零矩陣、對角矩陣、可逆矩陣、對稱矩陣7、設(shè)下面矩陣能進行乘法運算,那么（）成立。、設(shè)，且，則、設(shè),且可逆,則、可逆，則、,則有，或三、計算題1、設(shè)矩陣，,計算。2、設(shè)矩陣,，計算。３、設(shè)矩陣，，計算。4、設(shè)矩陣，求。5、設(shè)矩陣，,求解矩陣方程。四、證明題1、若為階方陣，且,試證可逆，并且。2、設(shè)階矩陣、滿足，證明可逆,并求其逆。第3章線性方程組§1線性方程組的求解方法(消元法）線性方程組有如下二種類型:Ⅰ、非齊次線性方程組矩陣形式：(其中為系數(shù)矩陣)Ⅱ、齊次線性方程組矩陣形式:(其中為系數(shù)矩陣)解法：對于非齊次線性方程組：(1）、先寫出方程組的增廣矩陣;(2）、階梯矩陣行簡化階梯矩陣;(3)、寫出方程組之解。對于齊次線性方程組：(1）、先寫出方程組的增廣矩陣;(2)、階梯矩陣行簡化階梯矩陣;（3)、寫出方程組之解。例解方程組解增廣矩陣=，故方程組的解為例解方程組解增廣矩陣=原方程變?yōu)椋史匠探M的一般解為（其中x為自由未知量）例解方程組解增廣矩陣＝從中最后一行可以得到，是一個矛盾方程,故原方程組無解?！欤簿€性方程組解的情況的鑒定設(shè)有：非齊次線性方程組（個方程，個未知量，為系數(shù)矩陣,為增廣矩陣）齊次線性方程組（個方程,個未知量，為系數(shù)矩陣）解的情況鑒定定理1：（1)、非齊次線性方程組有解的充要條件是：秩()=秩；（2）、齊次線性方程組一定有解。解的情況鑒定定理2:若非齊次線性方程組有解,則（1)、當(dāng)秩時,方程組有唯一解；（2）、當(dāng)秩時,方程組有無窮多組解。對于齊次線性方程組,則(1）、當(dāng)秩時，方程組只有零解（唯一解）；（2)、當(dāng)秩時,方程組有非零解(無窮多組解)。例討論為什么值時,方程組有非零解？解當(dāng)即時,秩（未知量個數(shù))從而方程組有非零解。例當(dāng)時，方程組有無窮多組解？解增廣矩陣＝當(dāng)時，秩()=秩(未知量個數(shù))，從而有無窮多組解。例判斷方程組是否有解?解增廣矩陣=故當(dāng)時,秩（）＝秩方程組有唯一解當(dāng)時，秩(）,秩,秩（）秩方程組無解例為什么值時,下列方程組有解?有解時,求出它的解。解增廣矩陣=當(dāng),即時，秩，秩（),秩秩（)方程組無解;當(dāng),即時,秩秩(未知量個數(shù)）方程組有無窮多組解;當(dāng)時,增廣矩陣方程組的一般解為(其中為自由未知量)。綜合練習(xí)題一、填空填１、方程組有解的充要條件是。2、設(shè)元齊次方程組只有零解,則秩。３、若線性方程組有唯一解，則。４、設(shè)方程組的增廣矩陣則當(dāng)時,方程組有解。方程組的增廣矩陣則當(dāng)時，方程組有唯一解。線性方程組有非零解,則=。當(dāng)=時，線性方程組無解?齊次方程組的系數(shù)矩陣，此方程組的一般解為。二、單項選擇題1、非齊次方程組有無窮多解的充要條件是（)。、、秩(）、秩秩()、秩秩()２、若非齊次方程組有唯一解,那么有（)。、秩()、秩、秩秩()、秩秩()3、齊次方程組有非零解的充足必要條件是（）。、秩、秩、秩、秩４、齊次方程組(）。、一定有非零解、一定只有零解、一定有解、也許有解5、若線性方程組只有零解,則()。、有唯一解、也許有解、有無窮多解、無解6、線性方程組解的情況是(）。、無解、只有零解、有唯一解、有無窮多解三、計算題1、解方程組其中參數(shù)為什么值時無解？為什么值時有無窮多組解？并求其一般解。2、線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換后得到如下階梯形矩陣:（1)、當(dāng)為什么值時，方程組有解？（２)、在有解的情況下，求其一般解。3、解下列線性方程組經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末復(fù)習(xí)提綱現(xiàn)將本課程的重要知識點小結(jié)如下：求函數(shù)定義域記?。喝魟t;若則；若則;若則;若則且例1函數(shù)的定義域是。例2函數(shù)的定義域是。例３函數(shù)的定義域是。2、求函數(shù)值對于，則稱為函數(shù)值。例１設(shè)函數(shù)，則（)。A、4B、0Ｃ、D、1例2設(shè)則。３、復(fù)合函數(shù)的運算己知復(fù)合函數(shù)，求本來的函數(shù),則用變量代換;己知單個函數(shù)，求其復(fù)合函數(shù)，則直接代入即可;例1若函數(shù),則。例2若函數(shù)，則。例3設(shè),則（)。A、B、C、D、例４若函數(shù)，則(）。A、Ｂ、C、D、４、判斷兩個函數(shù)是否相同假如兩個函數(shù)的定義域和相應(yīng)關(guān)系都相同，則這兩個函數(shù)相同;假如兩個函數(shù)的定義域和相應(yīng)關(guān)系有一不同，則這兩個函數(shù)不同。例１下列各函數(shù)對中，（）中的兩個函數(shù)相等。A、Ｂ、C、D、5、判斷函數(shù)的奇偶性若，則是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱；若，則是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱。常見的偶函數(shù)是：等;常見的奇函數(shù)是:，等。運算規(guī)律:偶偶=偶，奇奇=奇，奇偶=非奇非偶偶偶＝偶,奇奇=偶,奇偶=奇下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（）。Ａ、B、C、D、下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（）。A、B、C、D、例3函數(shù)的圖形關(guān)于對稱。6、極限概念若（常量）,則稱極限存在；若，則稱極限不存在;若,則稱極限存在；若，則稱極限不存在;若,則稱為無窮小；若(或）,則稱為無窮大。注意：（1)、有界量(或常量）無窮小=無窮??；(２)、,例如:當(dāng)時,;當(dāng)時,。例1當(dāng)時，下列變量中(）是無窮大量。Ａ、B、C、D、例2當(dāng)時，下列變量中（）是無窮小量。A、B、C、D、例3已知，當(dāng)()時,是無窮小量。Ａ、B、C、D、例4下列極限存在的是（)。A、B、Ｃ、D、7、極限計算（1)、對于,則先分解因式;（2）、對于,則先提取公因式;(3）、對于具有根式的極限,則先進行有理化;(4)、對于,則先進行通分；（5)、重要極限：例1;。例2求下列極限1）、4)、５)、8、連續(xù)概念函數(shù)在點處連續(xù)性的判別方法:若則在點處連續(xù);若則在點處間斷。例1函數(shù)在處連續(xù)，則()。A、B、C、Ｄ、例２函數(shù)在處()。A、左連續(xù)B、右連續(xù)C、連續(xù)D、左右皆不連續(xù)例3已知函數(shù)，若在內(nèi)連續(xù),則。例4函數(shù)的間斷點是。9、導(dǎo)數(shù)概念定義1：定義2：記住:可導(dǎo)連續(xù)極限存在；極限不存在不連續(xù)不可導(dǎo)?？蓪?dǎo)可微例1設(shè),則（）。A、B、Ｃ、1D、例2若在點處有極限，則結(jié)論(）對的。A、在點處可導(dǎo)B、在點處連續(xù)Ｃ、在點處有定義D、在點處也許沒有定義1０、求切線斜率及切線方程曲線在點處的切線斜率為；曲線在點處的切線方程為注意:（1)、直線的斜率為；（2)、兩直線平行，則斜率相等。例1曲線在點處的切線方程是（)。Ａ、Ｂ、C、D、例2曲線在點（０,１）處的切線斜率是（）。Ａ、Ｂ、C、D、例3曲線在點(）處的切線平行于直線。A、B、Ｃ、D、11、導(dǎo)數(shù)計算（１)、記住12個導(dǎo)數(shù)基本公式及導(dǎo)數(shù)運算法則；（2）、純熟掌握：１)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè),則2）、隱函數(shù)求導(dǎo)法：兩邊同時對求導(dǎo)(把當(dāng)作是復(fù)合函數(shù)）3)、二階導(dǎo)數(shù)：４)、微分:例1若求。例2函數(shù),則。例3設(shè),求。例４已知，求。12、單調(diào)性及極值單調(diào)性:先求駐點，分割區(qū)間,然后判斷（。極值：先求出函數(shù)的可疑極值點，若函數(shù)在附近先升后降，則為極大：先降后升,則為極小。例１下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增長的是()。A、Ｂ、C、D、例2函數(shù)的駐點是。例３函數(shù)在區(qū)間內(nèi)()。A.單調(diào)增長B。單調(diào)減少C。先增長后減少Ｄ。先減少后增長例４下列結(jié)論中對的的有()。A、是的極值點,且存在，則必有；B、是的極值點，則必是的駐點,;C、若,則必是的極值點;D、使不存在的點，一定是的極值點。例5下列結(jié)論中（)不對的。A、在點處連續(xù)，則一定在點處可微；Ｂ、在點處不連續(xù),則一定在點處不可導(dǎo);C、可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定發(fā)生在其駐點上；D、若在區(qū)間內(nèi)恒有，則在內(nèi)函數(shù)是單調(diào)減少的。13、需求函數(shù)設(shè)需求函數(shù)為,則需求彈性設(shè)需求函數(shù)為,則需求彈性經(jīng)濟意義:當(dāng)價格為時,再提價1％,則需求量將變動％。若需求量對價格的函數(shù)為,則需求彈性。已知需求函數(shù)為,當(dāng)時,需求彈性為（）。Ａ、Ｂ、C、D、若需求量對價格的函數(shù)為，則需求彈性（）。A、B、Ｃ、D、14、極值應(yīng)用題記?。喝粜枨蠛瘮?shù)為：，則價格函數(shù)為：成本函數(shù)為：（),平均成本函數(shù)為:收入函數(shù)為：（，平均收入函數(shù)為:利潤函數(shù)為：,平均利潤函數(shù)為:注意：由需求函數(shù)可求出價格函數(shù),從而可求出收入函數(shù)。例１設(shè)某商品的需求函數(shù)為,則其收入函數(shù)為。例２某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品件的成本函數(shù),則生產(chǎn)20件該產(chǎn)品時,每件產(chǎn)品的平均成本為。例３某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品的固定成本為20２３元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本增長60元。對這種產(chǎn)品需求規(guī)律為，其中為價格，為需求量，試求：（１)、成本函數(shù)，收入函數(shù);（2)、產(chǎn)量為多少噸時利潤最大？例4某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件時的總成本函數(shù)（元),單位銷售價格為（元/件）,問產(chǎn)量為多少時利潤最大？并求最大利潤。例5某廠天天生產(chǎn)某種產(chǎn)品件時的成本函數(shù)（元），為使平均成本最低，天天產(chǎn)量應(yīng)為多少?此時,每件產(chǎn)品平均成本為多少？15、不定積分與定積分的概念記住:(1)、若，則稱為的一個原函數(shù)（原函數(shù)有無窮多個，一般記為）（2）、若，則稱為不定積分,不定積分與導(dǎo)數(shù)是互逆運算,于是有例1設(shè)的一個原函數(shù)是,則。例2函數(shù)的原函數(shù)是。例３若，則。例4若，則(）。Ａ、Ｂ、C、D、例５;。例６，(3）、定積分是一個常數(shù)。于是有例8。例9計算:1）2）16、積分計算（1)、湊微分法若,則例1若,則(）。A、B、C、D、例2()。Ａ、B、C、D、例3下列等式成立的是（）。A、B、C、D、例4計算：1)、2)、3)、(2）、分部積分法記住分部積分公式：不定積分定積分應(yīng)用：對于形如的積分，分別用湊微分；對于形如的積分,則用湊微分。例5計算：1)、2）、３)、4）、（3）、運用對稱性求積分若是偶函數(shù)，則若是奇函數(shù),則例1。例2下列積分中的定積分值為0的是（)。A、Ｂ、C、D、17、廣義積分記住:(1)、；（2）、廣義積分:當(dāng)時收斂；當(dāng)時發(fā)散。（3)、廣義積分:當(dāng)時發(fā)散；當(dāng)時收斂。（4）、廣義積分:當(dāng)時發(fā)散;當(dāng)時收斂。例1若,則。例2廣義積分是（判斷其斂散性)。例3下列廣義積分中，()是收斂的。A、B、C、D、18、已知切線斜率，求曲線方程設(shè)所求的曲線方程為,則有已知切線斜率,然后兩邊積分并把已知點代入即可。例1在切線斜率為的積分曲線族中，通過點的曲線方程為(）。A、B、C、D、１9、已知邊際經(jīng)濟函數(shù)，求經(jīng)濟函數(shù)成本函數(shù)當(dāng)產(chǎn)量從增至?xí)r,成本的增量為收入函數(shù)當(dāng)產(chǎn)量從增至?xí)r,收入的增量為利潤函數(shù)當(dāng)產(chǎn)量從增至?xí)r,利潤的增量為例1投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36萬元，且邊際成本為(萬元/百臺），試求產(chǎn)量由４百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達成最大？例2已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元),其中為產(chǎn)量，單位為百噸,邊際收入為（萬元/百噸）,求:（1)、利潤最大時的產(chǎn)量;(2）、從利潤最大時的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再增產(chǎn)1百噸,利潤會發(fā)生什么變化?例3設(shè)邊際收入函數(shù)為,則平均收入函數(shù)為。2０、矩陣的概念及運算（1）、矩陣運算設(shè),則加減;；數(shù)乘:乘積：可乘條件:列數(shù)=的行數(shù)注意以下式子不成立:1)、2)、且;或3）、；轉(zhuǎn)置：設(shè)，則注意:1)、若是矩陣，則是矩陣。2)、，，（2）、特殊矩陣對角矩陣:，數(shù)量矩陣：，單位矩陣：注意：對稱矩陣:若，則稱是對稱矩陣。(3)、初等變換矩陣的初等行變換:(1)、用一個非零數(shù)乘矩陣某行;(2)、把某行的倍數(shù)加到另一行中去；(３）、互換任意兩行的位置。矩陣階梯矩陣行簡化階梯矩陣矩陣求秩：定義：矩陣的階梯矩陣中非零行的行數(shù)稱為的秩,記為秩(）。求法:階梯矩陣,則秩（)=階梯矩陣中非零行的行數(shù)矩陣求逆；定義:若，則性質(zhì):(1）、()＝（2）、()=（3）、()=（)求法:（1)、（2）、(４）、矩陣方程1）、若（可逆）,則2)、若（可逆),則重點掌握:矩陣求逆、矩陣乘積、矩陣轉(zhuǎn)置、矩陣求秩。例１設(shè)矩陣,,,計算。例2設(shè)矩陣,,計算。例3設(shè)矩陣，求。解矩陣方程例5設(shè)矩陣，，求解矩陣方程。例６設(shè)是矩陣，是矩陣,則下列運算故意義的是(）。A、B、C、Ｄ、例７設(shè),是同階可逆矩陣,則下列等式成立的是(）。A、若，則必有或B、C、秩秩秩D、例8設(shè)，均為階方陣,在下列情況下能推出是單位矩陣的是()。Ａ、B、Ｃ、D、例９設(shè)，是單位矩陣,則)。Ａ、B、C、D、例１０計算矩陣乘積。例１1設(shè)，當(dāng)時，是對稱矩陣。例12設(shè)為階可逆矩陣,則。例13若矩陣，則。21、線性方程組解的情況鑒定設(shè)有非