實(shí)驗(yàn)5 非線性方程求根及其MATLAB實(shí)現(xiàn)

分類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之方程求近似實(shí)根問題、高射炮的控制區(qū)域問題對(duì)應(yīng)書本的第二章數(shù)值計(jì)算問題的2.1及2.4考慮方程f(x)=0⑴求根分為兩步：（１）先確定某個(gè)根的近似值；（２）再將初始近似值加工成滿足精度要求的結(jié)果。１.兩分法迭代（理論基礎(chǔ)：零點(diǎn)定理）設(shè)f(x)∈C[a,b]，f(a)·f(b)<0。區(qū)間(a,b)就是方程⑴根的存在區(qū)間，再用下面的方法改善根的精度。方程求根數(shù)值算法的基本思想取[a,b]的中點(diǎn)x0=(a+b)/2，若f(x0)=0，則x0即是根；否則，f(a)·f(x0)<0，令a1=a，b1=x0(取[a,b]的左半部)；

f(x0)·f(b)<0，令a1=x0，b1=b(取[a,b]的右半部)。

abf(a)f((a+b)/2)f(b)f(x)xy將上述做法重復(fù)n次，得到n個(gè)小區(qū)間，且

bn-an=(b-a)/2n

，[a,b]經(jīng)過一次這樣對(duì)原區(qū)間[a,b]的處理，得到了一個(gè)新的有根區(qū)間[a1,b1]，且

b1-a1=(b-a)/2，[a,b][a1,b1]。１.兩分法迭代當(dāng)n足夠大時(shí)即可達(dá)到滿意的精度σ。[a1,b1]…[an

,bn]。需要的迭代次數(shù)為：例1求方程

x

3+1.1x

2+0.9x–1.4=0的一個(gè)實(shí)根。使誤差不超過10-3１.兩分法迭代解：（１）首先觀測(cè)圖形，作f(x)的圖像:ezplot('x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4')x=-1:0.01:1;y=x.^3+1.1.*x.^2+0.9.*x-1.4;%函數(shù)表達(dá)式figure;plot(x,y,'LineWidth',2)%畫出圖形holdon;y1=zeros(size(x));%y1＝0plot(x,y1,'r','LineWidth',4);先繪制其圖形觀察一下：bisect.m（２）按兩分法的思想，進(jìn)行迭代求根。為了使得程序具有通用性，將方程的表達(dá)式寫成一個(gè)函數(shù)：functiony=myequation(x);y=x.^3+1.1.*x.^2+0.9.*x-1.4;這樣修改y的表達(dá)式，即可求出其他方程的實(shí)根。（3）運(yùn)行二分法的程序：(該程序在matlab中打開)x0=-1;x1=2;%初始值根始終在x0和x1之間i=0;delt=10e-5;%精度N=ceil((log(x1-x0)-log(delt))/log(2));%理論迭代次數(shù)whileabs(x1-x0)>delt%達(dá)不到我們需要的精度y0=myequation(x0);y1=myequation(x1);%求兩個(gè)初始點(diǎn)處的y值x2=(x0+x1)./2;%二分y2=myequation(x2);%求在中點(diǎn)處的值ify2==0%恰好是方程的根x0=x2;x1=x2;elseify0*y2<0%方程的根落在x0和x2之間x1=x2;%新的兩個(gè)端點(diǎn)為：x0=x0;x1=x2。else%方程的根落在y1和y2之間x0=x2;%新的兩個(gè)端點(diǎn)為：x0=x2;x1=x1。endi=i+1;enddisp(‘方程的根為：x=’);x0disp(‘實(shí)際迭代次數(shù)為：i=');idisp('理論迭代次數(shù)為：N=');Nbisect.m兩分法迭代的加速：abf(a)f((a+b)/2)f(b)f(x)xyc以f(a),f(b)的連線在x軸的交點(diǎn)c作為新的出發(fā)點(diǎn)。程序：fastbisect.m注：此方法不一定能加速!!!減速舉例：abf(a)f(b)f(x)xyc程序：fastbisect.mf((a+b)/2)加速情況舉例：２.不動(dòng)點(diǎn)迭代稱滿足方程f(x)=x的點(diǎn)x為函數(shù)f的不動(dòng)點(diǎn).求函數(shù)f的不動(dòng)點(diǎn)?？梢詮囊粋€(gè)初始點(diǎn)x0出發(fā)，以格式xn+1=f(xn)進(jìn)行迭代；

x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xk+1=f(xk)，…

得到x0,x1,x2,……,xn,…..如果該數(shù)列是收斂的，則將方程f(x)=0⑴化為等價(jià)方程x=φ(x)（2）取某個(gè)定數(shù)x0，做數(shù)列{xn}，其中，

x1=φ(x0)，x2=φ(x1)，…，xk+1=φ(xk)，…（3）設(shè)φ(x)連續(xù)，且a就是方程f(x)=0的根。a就是函數(shù)φ的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即

a=φ(a)等價(jià)于f(a)=0求根原理：y=f(x)x0f(x0)x1=f(x0)f(x1)x2=f(x1)y=xx收斂的迭代：觀察動(dòng)態(tài)演示：發(fā)散的迭代：觀察動(dòng)態(tài)演示：x0由以上圖形可以看出，序列的收斂速度，取決于曲線在根附近的斜率所以在根x*附近，’(x)恒小于1，則此迭代序列收斂，若’(x)1,則此序列發(fā)散。２.不動(dòng)點(diǎn)迭代例2求方程在x=3附近的近似實(shí)根。解：可將方程寫成下三種形式：

x=14–x

2,functionf=iterfun(x)%f=14-x.^2;%f=14./(x+1);f=x-(x.^2+x-14)./(2*x+1);(1)將三種迭代形式寫成函數(shù)存起來：(2)演示程序使用的程序：iter.m２.不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂性蛛網(wǎng)圖一般地，若函數(shù)φ(x)在含不動(dòng)點(diǎn)ξ的某鄰域內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且

則存在一個(gè)鄰域Δ：|ξ-x|<δ，對(duì)任何的x0∈Δ，其迭代序列必收斂。同時(shí)我們還提供一個(gè)高級(jí)程序：zhuwang.m，繪制出迭代格式為的蛛網(wǎng)圖。此處用到一個(gè)函數(shù):quiver,畫出矢量方向。quiver(x,y,u,v):畫出在(x,y)處，方向?yàn)閡,v的矢量供學(xué)有余力的、感興趣的同學(xué)們好好體會(huì)學(xué)習(xí)，體會(huì)Matlab繪圖的精妙。3.牛頓迭代法記[a,b]為方程f(x)=0的根的存在區(qū)間，f(a)與f(b)異號(hào)，且對(duì)于每個(gè)x∈[a,b]，f'(x)≠0,f"(x)保持符號(hào)不變。取x0∈[a,b]，對(duì)f(x)用微分中值定理，近似地，有f(x)≈p(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)令p(x)=0，得到f(x)=0的近似根

記為x1=為改善根的精確程度，反復(fù)實(shí)施這一過程，得到牛頓迭代公式:xk+1就是從線性方程

f(xk)+f'(xk)(x–xk)=0(1)中解得的根x.以點(diǎn)(xk

,f(xk))為切點(diǎn)，曲線y=f(x)的切線方程恰為：

y=f(xk)+f'(xk)(x–xk)(2)方程（2）與y=0相聯(lián)立，得到與x軸的交點(diǎn)，該交點(diǎn)即xk+1x*x0x0,f(x0)x1x1,f(x1)x2例3求方程在x0=2附近的近似實(shí)根。準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后4位數(shù)字解：迭代公式為：計(jì)算步驟如下：（1）選x0=2,按照迭代公式計(jì)算x1；（2）若|x1-x0|<=0.00001,終止迭代；否則，x0=x1;轉(zhuǎn)（1）；（3）輸出迭代次數(shù)和近似根編程步驟如下：（1）寫函數(shù)：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-3*x-1;%求原函數(shù)的值dfun=3*x^2-3;%求一階導(dǎo)數(shù)的值；（2）寫牛頓迭代法的程序：x0=2;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;whileabs(x1-x0)>0.00001x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('thesolutionisx1=')x1disp('theitertimeis')inewtuniter.m第二部分：高射炮的控制區(qū)域問題問題描述：高射炮發(fā)射的炮彈在空中呼嘯而過劃出一條拋射線。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為發(fā)射點(diǎn)，x(t)和y(t)分別是高射炮在t時(shí)刻的空間坐標(biāo)。用v0為炮彈出膛時(shí)的初速度，α為高射炮發(fā)射角度，g是重力加速度。問：（1）試推高射炮拋射的彈道曲線的參數(shù)方程；（2）當(dāng)炮彈出膛速度v0確定時(shí)，它的最遠(yuǎn)射程？（3）當(dāng)炮擊目標(biāo)確定后，如何調(diào)整發(fā)射角度，使炮彈能準(zhǔn)確地落在目標(biāo)位置處爆炸？（4）一門高射炮可以控制什么樣的空間區(qū)域？第二部分：高射炮的控制區(qū)域問題問題描述：高射炮發(fā)射的炮彈在空中呼嘯而過劃出一條拋射線，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為發(fā)射點(diǎn)，拋射的彈道曲線的參數(shù)方程為：?jiǎn)栴}：（1）當(dāng)炮彈出膛速度v0確定時(shí)，它的最遠(yuǎn)射程？（2）當(dāng)炮擊目標(biāo)確定后，如何調(diào)整發(fā)射角度，使炮彈能準(zhǔn)確地落在目標(biāo)位置處爆炸？（3）一門高射炮可以控制什么樣的空間區(qū)域？其中v0為炮彈出膛時(shí)的初速度，α為高射炮發(fā)射角度，g是重力加速度。初值條件：即可導(dǎo)出彈道曲線的參數(shù)方程為(1)模型建立與分析消去參數(shù)t，可以得到彈道曲線的直角坐標(biāo)的表達(dá)式：這是我們十分熟悉的拋物線。（1）（2）就形成一族拋物線段.所以，（1）或（2）可以看作是帶有參數(shù)α的平面曲線族。當(dāng)發(fā)射角變化時(shí)，取，相應(yīng)的彈道曲線(2)控制區(qū)與包絡(luò)線包絡(luò)曲線：如果一條曲線的每一點(diǎn)都與曲線簇中的某一曲線相切，則稱這條曲線為該曲線簇的包絡(luò)。對(duì)曲線簇F(x,y,c)=0中，對(duì)參數(shù)c求導(dǎo)，與它自己聯(lián)立得到方程組：由這個(gè)方程組確定的曲線x=x(c)即y=y(c)稱為單參數(shù)曲線簇F(x,y,c)的包絡(luò)。包絡(luò)曲線與x=0及y=0所形成的區(qū)域，即高射炮的控制區(qū)域。(額外知識(shí)：)

如果曲線族的參數(shù)方程形式已給出，則類似可推出其包絡(luò)線應(yīng)滿足的判別方程組為：（由于此部分超出同學(xué)們知識(shí)范圍，過程略）(額外知識(shí)：)可得包絡(luò)曲線的表