第七章應(yīng)力應(yīng)變分析強(qiáng)度理論

第七章應(yīng)力與應(yīng)變分析

強(qiáng)度理論

§7–1應(yīng)力狀態(tài)的概念§7–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法、圖解法§7-8復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系

——（廣義胡克定律）§7-9復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度§7-10強(qiáng)度理論概述§7-11四種常用強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣的？M低碳鋼扭轉(zhuǎn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮§7-1應(yīng)力狀態(tài)的概述低碳鋼拉伸試驗(yàn)鑄鐵拉伸試驗(yàn)問(wèn)題?塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)問(wèn)題?為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45o斜截面斷開(kāi)？應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)2、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)怎樣建立強(qiáng)度條件？MPtsFstsssMt強(qiáng)度條件如何建立？簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件：彎扭組合變形強(qiáng)度條件如何建立？FF同一點(diǎn)在斜截面上時(shí)：

表明：同一點(diǎn)在不同方位截面上，它的應(yīng)力是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。

橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。應(yīng)力指明哪一個(gè)面上

哪一點(diǎn)？

哪一點(diǎn)哪個(gè)方向面？

過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱(chēng)之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

就是研究一點(diǎn)處沿各個(gè)不同方位的截面上的應(yīng)力及其變化規(guī)律。二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

三、應(yīng)力狀態(tài)的研究方法-單元體單元體：?jiǎn)卧w——圍繞被研究點(diǎn)截取一尺寸為無(wú)限小的正六面體。單元體的性質(zhì)——a、各表面上應(yīng)力均勻分布；

b、平行平面上應(yīng)力相等。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyz0應(yīng)力狀態(tài)的分類(lèi)σσττ軸向拉伸σσττ扭轉(zhuǎn)彎曲變形ττσστσσττσxσxσyσyyxyxz單元體上沒(méi)有切應(yīng)力的面稱(chēng)為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力，分別用表示，并且該單元體稱(chēng)為主單元體。四、主單元體、主應(yīng)力和主平面主單元體：各平面上切應(yīng)力均為零的單元體。三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)特例σσττ§7–2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)實(shí)例sA=sp

Dt=Ps

=pD4ts=?2N=pDlN=stls=pD2tssss二向應(yīng)力狀態(tài)三向壓縮§7-3平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析－解析法一、斜截面應(yīng)力：符號(hào)規(guī)定：α角

由x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負(fù)。正應(yīng)力拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負(fù)切應(yīng)力

使單元體或其局部順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。某單元體應(yīng)力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應(yīng)力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成300和－600角，試求此二斜面ab和bc上的應(yīng)力。例題7.1在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個(gè)垂直面上，其σ的和為一常數(shù)。例題7.2

分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說(shuō)明低碳鋼拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時(shí)，其上任意一點(diǎn)都是單向應(yīng)力狀態(tài)。低碳鋼試樣拉伸至屈服時(shí)表面沿450出現(xiàn)滑移線，是由最大切應(yīng)力引起的。例題7.3

分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)最大切應(yīng)力的作用面，說(shuō)明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。

鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)時(shí)，正是沿著最大拉應(yīng)力作用面（即450螺旋面）斷開(kāi)的。因此，可以認(rèn)為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。確定正應(yīng)力極值設(shè)α＝α0

時(shí)，，即二.主應(yīng)力和主平面即α＝α0

時(shí)，切應(yīng)力為零，正應(yīng)力為極值求導(dǎo)由上式可以確定出兩個(gè)相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：σ1σ2

σ3試求（1）斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知例題7.4解：（1）斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力、主平面主平面的方位：代入表達(dá)式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）主單元體：例題7.5

已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及彎矩M=10kNm.繪出表示1、2、3、4點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的單元體，并求出各點(diǎn)的主應(yīng)力。b=60mm,h=100mm.1、畫(huà)各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)圖2、計(jì)算各點(diǎn)主應(yīng)力1點(diǎn)2點(diǎn)(處于純剪狀態(tài))3點(diǎn)(一般平面狀態(tài))4點(diǎn)一、應(yīng)力圓的方程式§7–4

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法二.應(yīng)力圓的畫(huà)法

在τα－σα坐標(biāo)系中，標(biāo)定與微元垂直的A、D面上應(yīng)力對(duì)應(yīng)的點(diǎn)a和d

連ad交σα軸于c點(diǎn)，c即為圓心，cd為應(yīng)力圓半徑。a(sx

,txy)d(sy

,tyx)cAD３、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系

點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)——半徑旋轉(zhuǎn)方向與斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對(duì)應(yīng)——半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。ADa(sx

,tx)d(sy

,ty)c點(diǎn)面對(duì)應(yīng)caA轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)、二倍角對(duì)應(yīng)2αab例題1試用應(yīng)力圓法計(jì)算圖示單元體e--f截面上的應(yīng)力。圖中應(yīng)力的單位為MPa。

主應(yīng)力和主平面切應(yīng)力等于零的截面為主平面主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力a(sx

,tx)d(sy

,ty)c

主應(yīng)力排序：

s1s2

s3tsocadtsotso例題3構(gòu)件中某點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài)，兩斜截面上的應(yīng)力如圖所示。試用應(yīng)力圓求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力在應(yīng)力圓上量取三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)

§7-4三向應(yīng)力狀態(tài)1.任意斜截面的應(yīng)力已知：斜截面法向的方向余弦為應(yīng)用截面法可以求出滿足以下方程組由三向應(yīng)力圓可以看出：結(jié)論：代表單元體任意斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)，必定在三個(gè)應(yīng)力圓圓周上或陰影內(nèi)。3210例１用應(yīng)力圓求主應(yīng)力，

并確定主平面的位置802060-4060--泊松比對(duì)于各向同性材料§7-8廣義胡克定律=++++體應(yīng)變與平均應(yīng)力成正比，此為體積胡克定律例題7.6

邊長(zhǎng)為20mm的鋼立方體置于鋼模中，在頂面上受力F=14kN作用。已知，ν=0.3，假設(shè)鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦可以忽略不計(jì)。試求立方體各個(gè)面上的正應(yīng)力。

某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示,當(dāng)σx,σy,σz不變,τx增大時(shí),關(guān)于εx值的說(shuō)法正確的是____.A.不變B.增大C.減小D.無(wú)法判定εx僅與正應(yīng)力有關(guān)，而與切應(yīng)力無(wú)關(guān)。所以當(dāng)切應(yīng)力增大時(shí)，線應(yīng)變不變。例題7.7例題7.8

圖示為某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，其最大切應(yīng)力τmax=_____MPa.例題7.9

一受扭圓軸,直徑d=20mm,圓軸的材料為鋼,E=200GPa,ν=0.3.現(xiàn)測(cè)得圓軸表面上與軸線成450方向的應(yīng)變?yōu)棣?5.2×10-4,試求圓軸所承受的扭矩.作業(yè)：7-3（b）（f）

§7-9

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度=體積改變能密度+畸變能密度

由前面的討論知體積改變能密度由廣義虎克定律畸變能密度：體積改變能密度：應(yīng)變能密度：一、引子：2、組合變形桿將怎樣破壞？§7－１0強(qiáng)度理論的概念強(qiáng)度理論1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？二、強(qiáng)度理論：是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效（failurebyloststrength）起因”的假說(shuō)。1、伽利略播下了第一強(qiáng)度理論的種子；三、材料的破壞形式：1.屈服；2.斷裂。2、馬里奧特關(guān)于變形過(guò)大引起破壞的論述，是第二強(qiáng)度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪應(yīng)力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來(lái)人們?cè)谒臅?shū)信出版后才知道的。強(qiáng)度理論構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式：

(1)脆性斷裂：材料無(wú)明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論：最大切應(yīng)力理論和最大畸變能密度理論

(2)塑性屈服（流動(dòng)）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論1.最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）

最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大拉應(yīng)力達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)破壞的極限值，就會(huì)發(fā)生脆性斷裂。－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力－極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得§7－１1四種常用強(qiáng)度理論斷裂破壞判據(jù)強(qiáng)度條件1.最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)應(yīng)用情況：符合脆性材料的拉斷試驗(yàn)，如鑄鐵單向拉伸和扭轉(zhuǎn)中的脆斷；但未考慮其余主應(yīng)力影響且不能用于無(wú)拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)，如單向、三向壓縮等。2.最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)破壞的極限值，就會(huì)發(fā)生脆性斷裂。－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變－極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得應(yīng)用情況：此理論對(duì)于符合表面潤(rùn)滑石料的軸向壓縮破壞，一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。強(qiáng)度條件2.最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）斷裂破壞判據(jù)即

最大切應(yīng)力是引起材料屈服的主要因素。

即認(rèn)為無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大切應(yīng)力達(dá)到了簡(jiǎn)單拉伸屈服時(shí)的極限值，材料就會(huì)發(fā)生屈服。3.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力－極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得屈服破壞判據(jù)強(qiáng)度條件3.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。局限性：

2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象，1、未考慮的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%。3.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）應(yīng)用情況：形式簡(jiǎn)單，符合實(shí)際，廣泛應(yīng)用，偏于安全。

最大畸變能密度是引起材料屈服的主要因素。即認(rèn)為無(wú)論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大畸變能密度達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸屈服時(shí)的極限值,材料就會(huì)發(fā)生屈服。4.最大畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的形狀改變比能－形狀改變比能的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得屈服判據(jù)強(qiáng)度條件4.最大畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）應(yīng)用情況：對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。

1、不論是脆性或塑性材料，在三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，均會(huì)發(fā)生脆性斷裂，宜采用最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）。

2、脆性材料：在二軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論；在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大、最小拉應(yīng)力分別為拉、壓時(shí)，由于材料的許用拉、壓應(yīng)力不等，宜采用摩爾強(qiáng)度理論。

3、塑性材料（除三軸拉伸外），宜采用形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）和最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）。

4、三軸壓縮狀態(tài)下，無(wú)論是塑性和脆性材料，均采用形狀改變比能理論。各種強(qiáng)度理論的適用范圍強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論的統(tǒng)一表達(dá)式：相當(dāng)應(yīng)力例題7.10

已知鑄鐵構(gòu)件上危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，如圖所示。若鑄鐵拉伸許用應(yīng)力為［σ］＋＝30MPa，試校核該點(diǎn)處的強(qiáng)度是否安全。231110(單位MPa)第一強(qiáng)度理論例題7.11

某結(jié)構(gòu)上危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)