第14章LMI工具箱的應(yīng)用

第14章LMI工具箱的應(yīng)用14.1線性矩陣不等式的建立14.2線性矩陣不等式求解器

LMI(linearmatrixinequality)本來是指數(shù)學(xué)中的線性矩陣不等式，但近年來主要應(yīng)用在控制理論中，廣泛應(yīng)用于解決系統(tǒng)與控制中的一系列問題。這些問題的解決一般是根據(jù)控制理論建立線性矩陣不等式，然后再用Matlab中的LMI工具箱求解（LMI工具箱中的函數(shù)一般只能處理固定形式的線性矩陣不等式）。因此，LMI既可以指線性矩陣不等式，更多是是指Matlab中的LMI工具箱。隨著解決線LMI內(nèi)點(diǎn)法的提出以及Matlab中LMI控制工具箱的推廣，LMI這一工具已經(jīng)受到人重視。LMI控制工具箱已經(jīng)成為了從控制工程到系統(tǒng)識(shí)別設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等諸多領(lǐng)域的一個(gè)強(qiáng)大的設(shè)計(jì)工具。由于許多控制問題都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)LMI

系統(tǒng)的可行性問題，或者是一個(gè)具有LMI約束大的凸優(yōu)化問題，應(yīng)用LMI來解決系統(tǒng)和控制問題已經(jīng)成為這些領(lǐng)域中的一大研究熱點(diǎn)。

LMI控制工具箱，采用內(nèi)點(diǎn)法的LMI求解器，這些求解器比經(jīng)典的凸優(yōu)化算法速度有了顯著提高。另方方面，它采用了有效的LMI結(jié)構(gòu)化表示，在求解和計(jì)算領(lǐng)域做出了重大貢獻(xiàn)。

一個(gè)線性矩陣不等式就是具有以下一般形式的矩陣不等式：（1）其中：是給定的對(duì)稱常數(shù)矩陣。是未知的決策變量。但是，線性矩陣不等式更通常的一般形式為：通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算，上式可變?yōu)椋?）式。

14.1線性矩陣不等式的建立1）setlmis和getlmis

一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的描述以setlmis開始，以getlmis結(jié)束。當(dāng)要建立一個(gè)新系統(tǒng)時(shí)，輸入：

Setlmis[]

當(dāng)一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)建好后，輸入：

lmisys=getlmis2）lmivar

用來描述矩陣變量，主要是描述該變量的結(jié)構(gòu)，形式如下：

X=lmivar(type,struct)Type=1:描述的X變量具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

Type=2:描述的X變量具有長(zhǎng)方結(jié)構(gòu)。

例如：

X1=lmivar(1,[31])描述的是X1變量為3X3的對(duì)稱矩陣。

X2=lmivar(2,[21])描述的是X2變量為2X1的長(zhǎng)方矩陣。3）lmiterm

當(dāng)定義好矩陣變量的結(jié)構(gòu)之后，用lmiterm定義一個(gè)線性矩陣不等式的內(nèi)容。考慮以下實(shí)例：假設(shè)X是對(duì)稱變量，G、S是對(duì)稱正定矩陣變量，Y適當(dāng)維數(shù)的變量矩陣，其余均為給定的常量。lmiterm([111X],1,A’,’s’)lmiterm([112X],B,1)lmiterm([112-Y],1,1)lmiterm([1130],C)lmiterm([122G],-1,1)lmiterm([1230],0)lmiterm([1320],1)lmiterm([2110],1)lmiterm([-211S],1,1)或者采取以下方法：FF=newlmilmiterm([FF11X],1,A’,’s’)lmiterm([FF12X],B,1)lmiterm([FF12-Y],1,1)lmiterm([FF130],C)lmiterm([FF22G],-1,1)lmiterm([FF230],0)lmiterm([FF320],1)Fg=newlmilmiterm([Fg110],1)lmiterm([-Fg11S],1,1)

14.2線性矩陣不等式求解器1）可行性問題尋找變量矩陣，使得滿足線性矩陣不等式系統(tǒng)：采用求解器feasp。其一般的表達(dá)式為：

[tmin,xfeas]=feasp(lmisys,option,target)

該求解器實(shí)際上是通過求解如下的一個(gè)輔助凸優(yōu)化問題的可行解：如果在求解過程中，存在tmin<0，則系統(tǒng)lmisys是可行的。當(dāng)系統(tǒng)是可行的，求解器feasp輸出的第二個(gè)分量xfeas給出了該矩陣不等式系統(tǒng)變量的解。該解可用dec2mat提取得到。

求解器輸入量options是一個(gè)5維的向量，控制迭代過程的迭代次數(shù)、可行域的半徑、精度等。一般可不寫，取默認(rèn)值。輸入量target為tmin設(shè)置了目標(biāo)值，只要tmin<target，則迭代計(jì)算結(jié)束。例：求滿足的對(duì)稱矩陣，使得：clcclearA1=[-12;1-3];A2=[-0.81.5;1.3-2.7];A3=[-1.40.9;0.7-2.0];setlmis([]);P=lmivar(1,[2,1]);BR=newlmi;lmiterm([BR11P],1,A1,'s');BR=newlmi;lmiterm([BR11P],1,A2,'s');BR=newlmi;lmiterm([BR11P],1,A3,'s');BR=newlmi;lmiterm([BR110],1);lmiterm([-BR11P],1,1);lmisys=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(lmisys);P=dec2mat(lmisys,xfeas,P)

結(jié)果：

SolverforLMIfeasibilityproblemsL(x)<R(x)ThissolverminimizestsubjecttoL(x)<R(x)+t*IThebestvalueoftshouldbenegativeforfeasibilityIteration:Bestvalueoftsofar

10.97271820.8704603-3.136305Result:bestvalueoft:-3.136305f-radiussaturation:0.000%ofR=1.00e+009

P=270.8553126.3999126.3999155.1336

2）具有線性矩陣不等式約束的線性目標(biāo)函數(shù)的最小化問題相應(yīng)的求解器是mincx，其一般形式為：

[copt,xopt]=mincx(lmisys,c,options,xinit,target)

返回目標(biāo)函數(shù)cTx的最優(yōu)解copt和決策變量的最優(yōu)解xopt。而最優(yōu)解xopt可以從dec2mat中得到。

cTx<=target，求解過程停止。

options設(shè)置迭代次數(shù)、精度等。

xinit是xopt

的一個(gè)初始猜測(cè)。

mincx中后面三個(gè)輸入可省略，采用默認(rèn)值。例：求解以下優(yōu)化問題其中：是一個(gè)對(duì)稱的矩陣變量，clcclearA=[-1-21;321;1-2-1];B=[1;0;1];Q=[1-10;-1-3-12;0-12-36];c=[101001];setlmis([]);X=lmivar(1,[3,1]);BR=newlmi;lmiterm([BR11X],A',1,'s');lmiterm([BR110],Q);lmiterm([BR12X],1,B);lmiterm([BR220],-1);本題中對(duì)稱矩陣X的決策變量有6個(gè)按順序排為：a—>b—>c—>d—>e—>f。求Trace(X)相當(dāng)于a+c+f，因此c=[101001]。lmisys=getlmis;options=[1e-5,0,0,0,0];[copt,xopt]=mincx(lmisys,c,options);X=dec2mat(lmisys,xopt,X)coptxoptX=-6.3542-5.88952.2046-5.8895-6.28552.22012.20462.2201-6.0771copt=-18.7167xopt=-6.3542-5.8895-6.28552.20462.2201-6.0771

3)廣義特征值的最小化問題相應(yīng)的求解器為gevp。其一般表達(dá)式如下：[Lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)

nlcf表示含不等式的個(gè)數(shù)，必須寫正確。

target時(shí)，迭代結(jié)束。在調(diào)用gevp時(shí)，必須遵循：（1）確定包含的線性矩陣不等式：（注意沒有）（2）總是把放在線性矩陣不等式系統(tǒng)的最后。（3）要求。

例：clcclearA1=[-12;1-3];A2=[-0.81.5;1.3-2.7];A3=[-1.40.9;0.7-2.0];setlmis([]);P=lmivar(1,[2,1]);BR=newlmi;lmiterm([BR110],1);lmiterm([-BR11P],1,1);

BR=newlmi;lmiterm([BR11P],1,A1,'s');lmiterm([-BR11P],1,1);BR=newlmi;lmiterm([BR11P],1,A2,'s');lmiterm([-BR11P],1,1);BR=newlmi;lmiterm([BR11P],1,A3,'s');lmiterm([-BR11P],1,1);lmisys=getlmis;[alpha,xopt]=gevp(lmisys,3);alphaP=dec2mat(lmisys,xopt,P)結(jié)果：Result:feasiblesolutionofrequiredaccuracybestvalueoft:-0.122107guaranteedabsoluteaccuracy:9.90e-004f-radiussaturation:0.000%ofR=1.00e+008alpha=-0.1221P=5.5789-8.3503-8.350318.6443例：求解系列各參數(shù)矩陣以及參數(shù)的最小值：clcclearA=[01;0-0.1];B=[0;0.1];C=[-0.10;0-0.1];setlmis([]);X=lmivar(1,[2,1]);Q=lmivar(1,[2,1]);R=lmivar(1,[2,1]);M=lmivar(2,[1,2]);lmiterm([-111X],1,1);lmiterm([-211Q],1,1);lmiterm([-311R],1,1);lmiterm([-411X],-1,A','s');lmiterm([-411Q],-1,1);lmiterm([-411X],2,1);lmiterm([-411R],-1,1);lmiterm([-412X],-C,1);