自動(dòng)控制理論19開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制

第五章頻率域方法5.3開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制

根據(jù)疊加原理，繪出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性分量，再將各分量的縱坐標(biāo)相加，就得到整個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性；將各環(huán)節(jié)的相頻特性分量相加，就成為系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性。例1.確定出系統(tǒng)開環(huán)增益K，并計(jì)算

。2.確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并標(biāo)注在橫軸上。

3.在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)上確定=1且縱坐標(biāo)等于20lgKdB的點(diǎn)A。過A點(diǎn)做一直線，使其斜率等于-20dB/dec。當(dāng)=0,=1,=2時(shí)，斜率分別是(0，-20，-40)/dec。

伯德圖的繪制的一般方法（無須疊加）

4.從低頻段第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率開始做斜直線，該直線的斜率等于過A點(diǎn)直線的斜率加這個(gè)環(huán)節(jié)的斜率（慣性環(huán)節(jié)加-20，振蕩環(huán)節(jié)加-40，一階微分環(huán)節(jié)加+20的斜率），這樣過每一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率都要進(jìn)行斜率的加減。例

已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)如圖所示，試做出系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖。解：

作L():(1)因此，開環(huán)增益K=10轉(zhuǎn)折頻率/s-1L()/dB0.11011002040-20-400-20dB/dec4AB-40dB/dec例例

已知一單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

試作系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻L()圖。解：

作L():/s-1L()/dB0.11011002040-20-400A-20dB/dec0.2B-40dB/decC-20dB/decD-60dB/dec123

例已知某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線如圖，試寫出該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

解：（1）低頻漸近線的斜率為-20故系統(tǒng)有且僅有一個(gè)積分環(huán)節(jié)即

（2）因低頻漸近線在處的對(duì)數(shù)幅值為15dB

（3）在處，對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率由[-20]變?yōu)閇-40]，故是慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，

（4）在處，特性曲線的斜率由[-40]變回到[-20]，則知是一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，

控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)所需解決的首要問題，頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點(diǎn)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使用方便，易于推廣。

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是其中的代表。

5-4

頻率穩(wěn)定判據(jù)

一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)令將F(s)寫成零、極點(diǎn)形式，有輔助函數(shù)F(s)具有如下特點(diǎn)：其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開環(huán)的特征根。其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同。輔助函數(shù)與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)只差常數(shù)1。

設(shè)S為復(fù)變量，F(xiàn)(S)為S的有理分式函數(shù)，對(duì)于S平面上任一變量點(diǎn)，通過復(fù)變函數(shù)F(S)的映射關(guān)系，在F(S)平面上可確定關(guān)于變量的象。

在右半S平面上任選一條不通過F(S)任何零極點(diǎn)的閉合曲線Γs，S從閉合曲線Γs上任意一點(diǎn)A起,順時(shí)針沿Γs運(yùn)動(dòng)一周,再回到A點(diǎn)，那么相應(yīng)F(S)平面上的象F(s)則從B點(diǎn)起,到B點(diǎn)止形成一條閉合曲線ΓF。1.輻角原理（柯西）

S平面上的閉合曲線Γs內(nèi)部僅有1個(gè)F(s)的零點(diǎn)，F(xiàn)(s)的其它零極點(diǎn)如圖所示。當(dāng)閉合曲線Γs上任一點(diǎn)S沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，F(xiàn)(s)總的相角增量為

上式表明，在F(s)平面，ΓF曲線從B點(diǎn)開始繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了一圈。

同理，當(dāng)s在s平面從A點(diǎn)開始繞1個(gè)F(s)的極點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在F(s)平面上，ΓF曲線從B點(diǎn)開始繞原點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)一圈。定理如下：如果封閉曲線內(nèi)有Z個(gè)F(s)的零點(diǎn)，有P個(gè)F(s)的極點(diǎn)，則s依順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在F(s)平面上，F(xiàn)(s)曲線繞原點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)的圈數(shù)R為P和Z之差，即R＝P－Z若R為負(fù),表示F(s)曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。

將Γs曲線擴(kuò)展為整個(gè)右半s平面，此時(shí)的曲線叫做奈奎斯特軌跡，則輻角原理可以用來判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為F(S)函數(shù)在s平面右半部的零點(diǎn)數(shù)Z=0即

2、奈氏判據(jù)

對(duì)于包含了整個(gè)右半s平面的Nyquist軌跡來說，Z和P分別為閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)，s沿奈氏軌跡運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)(s)在F(s)平面上繞原點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)圈數(shù)R=P-Z.

F(s)與G(s)H(s)相差常數(shù)1，顯然F(s)在F(s)平面上繞原點(diǎn)等效于在G(s)H(s)平面上繞(-1,j0)點(diǎn)，而G(s)H(s)平面上的函數(shù)通過s=jw替代就是開環(huán)幅相頻率特性曲線.

G(s)H(s)=F(s)-1F(s)平面G(s)H(s)平面

定理如下：若開環(huán)傳函在s的右半平面有p個(gè)極點(diǎn)，為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)從變化時(shí)，的軌跡必反時(shí)針包圍GH平面上的(-1,j0)點(diǎn)P次。即z—閉環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。（的零點(diǎn)數(shù)）p—開環(huán)傳函在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。R—繞(-1,j0)點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)的次數(shù)。若為順時(shí)針轉(zhuǎn)需注意符號(hào)。

例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別K=0.5和K=2時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。分別作出K=0.5和K=2時(shí)開環(huán)幅相特性曲線K=0.5時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。K=2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)肗yquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

已知

由圖知，則有2個(gè)閉環(huán)右極點(diǎn)系統(tǒng)不穩(wěn)定

例某Ⅱ型系統(tǒng)在s右半平面無開環(huán)極點(diǎn)，已知其開環(huán)特性如圖所示，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：已知P=0，由圖知R=-2，則P≠R，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。其位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為

考慮到開環(huán)幅相頻率特性曲線具有對(duì)稱性例

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)肗yquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

已知

由圖知，則例某Ⅱ型系統(tǒng)在s右半平面無開環(huán)極點(diǎn)，已知其開環(huán)特性如圖所示，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：已知P=0，由圖知N=-1，則P≠2N，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。其位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為

例設(shè)某Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)特性如圖所示。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上沒有極點(diǎn)，試用Nyquist判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：已知P=0，由圖可知N=0，則Z＝0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

*G(S)H(S)包含積分環(huán)節(jié)的處理辦法穿越法判斷包圍圈數(shù)

設(shè)N為開環(huán)幅相頻率特性曲線穿越（－1，j0）點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，N＋表示正穿越的次數(shù)（從上往下穿越），N－表示負(fù)穿越的次數(shù)（從下往上穿越），則例

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)肗yquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

已知

由圖知二、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

在極坐標(biāo)圖上應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)，（－1,j0）點(diǎn)是個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線是否圍繞它，怎樣圍繞它，圍繞幾圈，掌握這些信息后，就可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

（－1，j0）點(diǎn)表示成幅角形式是而A(ω)＝1對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)幅頻坐標(biāo)圖上L(ω)＝0的水平線；則對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻坐標(biāo)圖上－180°的水平線。因此可以進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。

在極坐標(biāo)圖上，G(jω)H(jω)曲線每包圍（－1,j0）點(diǎn)一次，必然是G(jω)H(jω)在A(ω)＞1的條件下穿越負(fù)實(shí)軸(－∞，－1)區(qū)段一次。若G(jω)H(jω)曲線逆時(shí)針包圍（－1,j0）點(diǎn)一圈，意味著G(jω)H(jω)曲線在(－∞，－1)區(qū)段有一次正穿越；相反，若G(jω)H(jω)曲線順時(shí)針包圍（－1,j0）點(diǎn)一圈，意味著有一次負(fù)穿越。

這種正負(fù)穿越在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的L(ω)

＞0dB的范圍內(nèi)，當(dāng)ω增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過－180°相位線為正穿越，反之為負(fù)穿越。

根據(jù)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上頻率特性的穿越情況，可將對(duì)數(shù)頻率判據(jù)陳述如下：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性