2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 等差數(shù)列（精講）（解析版）

6.1等差數(shù)列（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】（1）（2021·河南高三）在等差數(shù)列中，若，，則的公差為（）A．-2 B．2 C．-3 D．3（2）（2021·全國(guó)高三其他模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）．A．10 B．11 C．12 D．13（3）（2021·重慶一中高三月考）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）B（3）A【解析】（1）設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，從?故選：B.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以.故選:B．（3）由又,故選：A.【一隅三反】1．（2021·四川遂寧市）已知等差數(shù)列滿足，則它的前8項(xiàng)的和（）A．70 B． C． D．105【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．由，得，解得，．所以．故選：．2．（2021·河南高三）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的公差為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】由，得.又，所以.故選：B3．（2021·全國(guó)高三）等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，且，則（）A．17 B．25 C．5 D．81【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.故選：B4．（2021·全國(guó)高三三模）數(shù)列為等比數(shù)列，，公比為，且滿足，，成等差數(shù)列，則_______．【答案】【解析】由題意知，所以，即，且由知，所以．故答案為：3考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)【例2】（1）（2021·貴州貴陽(yáng)市）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，，則S5=（）A．2 B．14 C．50 D．10（2）（2021·山西太原市）在等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．（3）（2021·黑龍江哈爾濱市）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（）A．5 B．4 C．9 D．7（4）（2021·黑龍江大慶市）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，則=（）A．9 B．18 C．27 D．36（5）（2021·云南高三二模）已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.若，則（）A． B． C． D．【答案】（1）D（2）A（3）A（4）D（5）A【解析】（1）由得所以a3=2所以，故選：D（2），所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.故選：A.（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，故，故選：A.（4）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，成等差數(shù)列，所以，成等差數(shù)列，進(jìn)而得到，所以，故選：D（5）∵，∴，故選：A【一隅三反】1．（2021·山西臨汾市）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．28 B．34 C．40 D．44【答案】D【解析】因?yàn)?，所以由，可得所以，所以，故選：D2．（2021·河南洛陽(yáng)市）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)，得：，，也成等差數(shù)列，即，又因，，則解得，因此.故選：C.3．（2021·林芝市第二高級(jí)中學(xué)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)等差數(shù)列公式及性質(zhì)可得，所以，所以.故選：D4．（2021·江蘇高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若對(duì)于任意的自然數(shù)，都有，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得.故選：B5．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，則A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，所以可設(shè)，，所以，，所以.故選：A考法三等差數(shù)列的最值問題【例3】（1）（2021·吉林長(zhǎng)春市）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則取最大值時(shí)的為（）A． B． C． D．（2）（2021·浙江高三）在等差數(shù)列中，若，且它的前項(xiàng)和有最小值，則當(dāng)時(shí)，的最小值為A． B． C． D．【答案】（1）A（2）C【解析】由題可知，則，又，則，則因此，故取最大值時(shí)的n值為7故選：A.（2）∵數(shù)列是等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和有最小值∴公差，首項(xiàng)，為遞增數(shù)列∵∴，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，.∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為16．故選C.【一隅三反】1．（2021·新疆烏魯木齊市）等差數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則最大時(shí)，（）A．10 B．11 C．10或11 D．11或12【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，∴，由，可得，∴前10或11項(xiàng)和最大，故選：C2．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）若公差為負(fù)的等差數(shù)列中的兩項(xiàng)是方程的兩個(gè)根，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)最大時(shí)，的值為（）A．5 B．9或10 C．10 D．9【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，解得，.因?yàn)?，取整?shù)時(shí)，最大.故選:D.3．（2021·通遼新城第一中學(xué)高三）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．與均為的最小值【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由可得，A選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由可得，且，，，所以，當(dāng)且時(shí)，，且，則與均為的最小值，D選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)，，所以，，B選項(xiàng)正確.故選：C.4．（2021·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)高三三模）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，則數(shù)列的最大項(xiàng)為.對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，且數(shù)列為遞增數(shù)列，此時(shí)無最大項(xiàng)，A選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，B選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，，數(shù)列為遞增數(shù)列且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無最大項(xiàng)，C選項(xiàng)不滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，D選項(xiàng)滿足條件.故選：D.考法四等差數(shù)列的證明與判斷【例4】（2021·全國(guó)高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，滿足，∴的通項(xiàng)公式為，∴∴是等差數(shù)列.【一隅三反】1．（2021·黑龍江大慶市）在數(shù)列中，，是1與的等差中項(xiàng)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】證明見解析，；【解析】由題意知是1與的等差中項(xiàng)，可得，可得，則，可得，又由，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，可得，解得，即的通項(xiàng)公式.2．（2021·浙江溫州市·高三三模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且對(duì)任意的正整數(shù)n，是和的等差中項(xiàng)，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】證明見解析；【解析】證明：由題知，即有，所以是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合題意，所以，又，所以：；3．（2021·全國(guó)高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)可得又，，故，即，即所以為等差數(shù)列，故.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)?，所以考法五?shí)際生活中的等差數(shù)列【例5】（2021·遼寧葫蘆島市·高三二模）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，據(jù)書中記載，中國(guó)古代諸侯的等級(jí)從低到高分為五級(jí)：男?子?伯?侯?公.現(xiàn)有每個(gè)級(jí)別的諸侯各一人，共5人，要把80個(gè)橘子分完且每人都要分到橘子，級(jí)別每高一級(jí)就多分個(gè)(為正整數(shù))，若按這種方法分橘子，“子”恰好分得13個(gè)橘子的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)男?子?伯?侯?公各分得個(gè)橘子，∴由題意有：，即，又且為正整數(shù)，∴，若“子”恰好分得13個(gè)橘子，則，即.∴“子”恰好分得13個(gè)橘子的概率為.故選：B【一隅三反】1．（2021·江蘇南通市）《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計(jì)算?各種等差數(shù)列問題的解決?某些不定方程問題求解等.書中記載如下問題：“今有女子善織，日增等尺，初日織五尺，三十日共織390尺，問日增幾何？”那么此女子每日織布增長(zhǎng)（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】C【解析】設(shè)每日織布增長(zhǎng)x尺，則，即，解得.故選：C.2．（2021·全國(guó)高三）我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個(gè)問題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫【答案】A【解析】依次記甲?乙?丙?丁?戊五個(gè)人所得錢數(shù)為a1，a2，a3，a4，a5，由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可記公差為d，依題意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得錢數(shù)為30.8貫.故選：A.3．（2021·吉林高三月考（文））中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子作盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”其意思為：“996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女作旅費(fèi)，從第一個(gè)開始，以后每人依次多17斤，使孝順子女的美德外傳，試求各人應(yīng)分得多少斤．”則第3個(gè)子女分得棉花（）A．65斤 B．82斤 C．99斤 D．106斤【答案】C【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，由題意可得：，，則，解得，所以，即第3個(gè)子女分得棉花99斤．故選：C．4．（2021·山西高三三模（文））《九章算術(shù)》卷七“盈不足”有這樣一段話：“今有良馬與弩馬發(fā)長(zhǎng)安至齊．齊去長(zhǎng)安三千里，良馬初日行一百九十三里．日增十三里，駑馬初日行九十七里，日減半里．”意思是：今有良馬與弩馬從長(zhǎng)安出發(fā)到齊國(guó)，齊國(guó)