5.7 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像和性質(zhì)-(人教A版2019必修第一冊) (教師版)

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像和性質(zhì)1性質(zhì)(1)簡諧運動可用函數(shù)y=Asinωx+φ，xA是振幅，周期T=2πω，頻率f=1T=ω2π(2)A,ω,φ對f(x)=AsinA影響函數(shù)y=f(x)的最值，ω影響周期，φ影響函數(shù)水平位置.2函數(shù)的變換(1)平移變換①y=fx?y=f(x±a)(a>0)將y=f(x)圖像沿x軸向左(右)平移a個單位(左加右減②y=fx?y=fx±b(b>0)將y=f(x)圖像沿x軸向上(下)平移bPSf(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4個單位，得到的函數(shù)不是f(x)=3sin(2x+π(2)伸縮變換①y=f將y=f(x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的A倍(A>1伸長，A<1縮短).②y=f將y=f(x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的1ω倍(ω>1縮短，ω<1伸長)問題怎么理解呢？例：若將fx=3sinx+π解析我們把fx=3sinx+π3的圖象想象成一條彈簧，若縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的12倍，那說明彈簧被壓縮了，則周期變小，ω會變大(T=

【題型一】函數(shù)圖象的變換【典題1】將函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的圖象上的點的橫坐標(biāo)縮短為原來的12倍，再向右平移π3個單位得到函數(shù)g(x)A．函數(shù)f(x)的最小正周期為π B．函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-2πC．函數(shù)f(x)的圖象有一條對稱軸為x=2πD．函數(shù)f(x)的圖象有一個對稱中心為(【解析】函數(shù)f(x)＝Asin(ωx+π再向右平移π3個單位得到h(x)與g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=所以f(x)=2sin(x+π6)，故函數(shù)f(x)的周期為2π令2kπ-π2所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-2π3由于f(2π3)=2sin5π6∵f(2π3)≠0，∴(2π3故選：B．鞏固練習(xí)1(★)將函數(shù)y=cosx的圖象先左移π4，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮為原來的12，所得圖象的解析式為(A．y=sin(2x+πC．y=sin(【答案】D【解析】函數(shù)y=cosx=sin(x+π2)，其圖象先左移π再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮為原來的12，得函數(shù)y=sin(2x+所以函數(shù)y的解析式為y=sin(2x+3π4)2(★)將函數(shù)f(x)=3sin(12x-φ)(|φ|<π2)的圖象向左平移π3個單位長度得到函數(shù)A．-π4 B．-π3 C．π【答案】C【解析】將函數(shù)f(x)=3sin(12x-φ)(可得g(x)=3sin[12因為g(π3)=32所以π3-φ=2kπ+π因為|φ|＜π2，所以，φ=3(★★)為了得到函數(shù)f(x)=sin(2x+3π4)的圖象，可以將函數(shù)g(x)=cos2x的圖象A．向右平移π4個單位 B．向左平移π4C．向右平移π8個單位 D．向左平移π8【答案】D【解析】為了得到函數(shù)f(x)=sin(2x+3π4)的圖象，可以將函數(shù)g(x)=cos2x=sin(2x+π2)的圖象向左平移4(★★)已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)的兩條相鄰的對稱軸的間距為π2，現(xiàn)將y=sin(ωx+φA．3π4 B．π4 C．0【答案【解析】函數(shù)y=sin(ωx+φ)的兩條相鄰的對稱軸的間距為π2現(xiàn)將y=sin(2x+φ)的圖象向左平移π8則φ+π4當(dāng)k=0時，φ=π45(★★)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期為π，且圖象向右平移π12個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則f(x)A．關(guān)于點(5π12,0)對稱 B．關(guān)于直線C．在[-π12，5π12]單調(diào)遞增 D．在【答案】C【解析】∵f(x)的最小正周期為π，∴T=2π此時f(x)=sin(2x+φ圖象向右平移π12個單位后得到y(tǒng)=sin[2(x-若函數(shù)為偶函數(shù)，則φ-π6=k∵|φ|＜π2，則f(x)=sin(2x-π則f(5π12)=sin(2×5π12-f(π6)=sin(2×π當(dāng)-π12≤x≤此時函數(shù)f(x)為增函數(shù)，故C正確，當(dāng)-π12≤x≤此時函數(shù)f(x)不單調(diào)，故D錯誤，故選：C．6(★★★)將函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的圖象上的點的橫坐標(biāo)縮短為原來的12倍，再向右平移π3A．函數(shù)f(x)的最小正周期為π B．函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-C．函數(shù)f(x)的圖象有一條對稱軸為x=2πD．函數(shù)f(x)的圖象有一個對稱中心為(【答案【解析】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)與g(x)=2cos(2x+φ又由于A>0,ω>0，所以故sin(2x-π2所以：f(x)=2sin(x+π故函數(shù)f(x)的周期為2π，A令2kπ-π函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-2π由于f(2π3)=2sin5π6【題型二】由函數(shù)y=Asin(ωx【典題1】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，下述四個結(jié)論：①ω=2；②φ=-π3；③f(x+π12)【解析】由函數(shù)圖象的最值可得A=1，由34T=π6-此時fx代入(-7π12,1)∴-7π又∵0<|φ|<π2，∴f(x)=sin(2x-∴①、②正確；∵f(x+π12)=sin[2(x+π∵fx∴f(x-π12綜上知，正確的命題序號是①②④．【點撥】由函數(shù)y=Asinωx+φ+B(A>0,ω>0(1)求A,B：通過函數(shù)最值求解，由fmax=A+B(2)求ω：根據(jù)圖象求出周期T，再利用T=2πω求出(3)求φ：求出A,ω后代入函數(shù)圖象一最值點，求出φ.【典題2】已知函數(shù)f(x)=sin?(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，且f(x)在(π6,4π9【解析】對于函數(shù)fx=sin由f(0)=f(2π9)又f2π9=-f(π3)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(∴T4+kT=5π18∴ω=∵f(x)在∴T2≥4π9-∴0<又ω=2πT=34k+1∵(5π18，0)是對稱中心，∴f即sin3×5π18+φ=0∴f(x)=sin?【點撥】①對于函數(shù)y=若fa=f(b)，則x=a+b2②處理三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+鞏固練習(xí)1(★)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0【答案】f(x)=3sin(1【解析】如圖所示，A=3，T4=π，可得T=4π，所以f(x)=3sin(1因為函數(shù)過(3π2,0)得3sin(12x+φ)=0當(dāng)k=1時，φ=π4．所以f(x)=3sin(12(★★)如圖，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)與坐標(biāo)軸的三個交點P、Q、R滿足P(1,0)，∠PQR=π4，M【答案】52【解析】由∠PQR=π4，所以O(shè)Q=OR，設(shè)Q(m,0)，則又M為QR的中點，所以M(m又|PM|=342，即整理得m2－2m－15=0，解得m=5或所以R(0,－5)，所以12T=4，解得T=8，所以2πω=把P(1,0)代入f(x)=Asin(π4x+由|φ|≤把R(0,－5)代入得Asin(-π43(★★)已知函數(shù)f(x)=2sin?(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，點A0,3，B(πA．直線x=π12是f(x)B．f(x)的圖象可由g(x)=2sin2x向左平移π3個單位而得到C．f(x)的最小正周期為D．f(x)在區(qū)間(-π3，【答案】B【解析】由函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω∴2sinφ=3，∴sinφ再根據(jù)五點法作圖可得ω?π3+π3=令x=π12，求得故直線x=π12是f(x)圖象的一條對稱軸，故把g(x)=2sin2x向左平移π3個單位，可得y=2sin(2x+2π3)f(x)=2sin(2x+π3)的最小正周期為2π2在區(qū)間(-π3,π12)上，4(★★★)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心坐標(biāo)；(3)將f(x)的圖象向左平移π6個單位，再講橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，最后將圖象向上平移1個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)在x∈[0,【答案】1f(2)單調(diào)遞增區(qū)間kπ-5π12,kπ+3最小值【解析】(1)由圖象可知A+B=1-A+B=-3，可得：A=2，B=－又由于T2=7π12-π由圖象及五點法作圖可知：2×π12所以f(x)=2sin(2x+π3)－(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+π令2kπ-π得kπ-5π12所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-5π令2x+π3=kπ，k所以f(x)的對稱中心的坐標(biāo)為(kπ2-π(3)由已知的圖象變換過程可得：g(x)=2sin(x+2π3因為0≤x≤7π所以當(dāng)x+2π3=3π2，得x=5π當(dāng)x+2π3=2π3，即x=0時，g(x)5(★★★)如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分圖象，M、N是它與x軸的兩個不同交點，D是M、N(1)求函數(shù)f(x)的解析式及[π,2π]上的單調(diào)增區(qū)間；(2)若x∈[-π12,5π12]時，函數(shù)【答案】1f【解析】(1)取MN的中點為H，則DH⊥因為F為DM的中點，且F在y軸上，則OF//DH且OF=1所以D(π4,2)，M(T=2πω所以f(x)=2sin(x+φ由f(π4)=2由0<φ<π即f(x)=2sin(x+π4)令-π2+又x∈所以函數(shù)f(x)在[π,2π](2)因為-π12≤所以12≤sin(x+令t=f(x)，則t∈則g(t)=t2①當(dāng)a2≤1，即a≤2時，g②當(dāng)1<a2<2，即2<a<4時，gtmin③當(dāng)a2≥2即a≥4時，gt綜合①②③得實數(shù)a的值為32．【題型三】三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用一【典題1】已知函數(shù)f(x)=si(1)求f(x)的最小值并寫出此時x的取值集合；(2)若x∈[0,π]【解析】(1)由于f=1-cos2x=1-cos2x2=12-(=1令2x+π6=2kπ+π可得f(x)的最小值為-32，此時x的取值集合為{x|x=(2)由2kπ-π可得kπ-π所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ-π因為x∈[0,π]，當(dāng)當(dāng)k=1時，減區(qū)間為[2π綜上，x∈[0,π]時的單調(diào)減區(qū)間為[0,【點撥】①解析式的化簡中用積化和差公式sinx+②本題通過各種公式(兩角和差公式、倍角公式、積化和差公式等)轉(zhuǎn)化，最終把函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為fx=Asinωx+φ+B或f【典題2】已知函數(shù)f(x)=4si(1)求f(x)的對稱中心；(2)設(shè)常數(shù)ω>0，若函數(shù)y=f(ωx)在區(qū)間(3)若函數(shù)g(x)=12[f(2x)+af(x)-af(π2-x)-a]-1在區(qū)間【解析】(1)(函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為fx=Asinf(x)=2[1-=sinx(2+2sinx)+1-所以對稱中心kπ(2)∵f(ωx)=2sin解得-π∴f(ωx)∵f(ωx)([-π2,2π3]∴當(dāng)k=0時，有[-∴ω>0-π∴ω的取值范圍是(0,(3)g(x)=2(注意sinx-cosx2令sinx-則t=sinx-∵x∈[-π而sin2x=1-則y=1-(問題轉(zhuǎn)化為動軸定區(qū)間最值問題，分對稱軸t=a2在區(qū)間①當(dāng)a2<-2時，即a<令-2a-a2-2=2，解得②當(dāng)-2≤a2≤1令a24-a2=2，解得a=③當(dāng)a2>1時，即a>2時，在t=1處，由a2-1=2，解得綜上所述a=－2或6【典題3】已知函數(shù)f(x)=sin(1)當(dāng)a=0時，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)設(shè)方程fx-asin2x-1=0在(0,π2)(3)若對任意實數(shù)x，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)【解析】(1)f=sin=1-當(dāng)a=0時，f(x)=1-(函數(shù)化為fx由2kπ≤4x≤π∴當(dāng)a=0時，函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ2,(2)(將問題逐步等價轉(zhuǎn)化，化成“最簡問題”)方程fx-asin2x-1=0即1-12sin也就是sin22x+asin2x=0在(當(dāng)x∈(0,π2即a=-sin2x在(0,(數(shù)形結(jié)合，y=a與y=-sin2x在易得y=-sin2x在(0,π即－1<a<0，此時x(3)若對任意實數(shù)x，f(x)≥則1-即sin22x-asin2x令t=sin2x(-1≤可得(-1)∴實數(shù)a的取值范圍是[-1,1]鞏固練習(xí)1(★★)已知函數(shù)fx=(1)求函數(shù)(2)求函數(shù)(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,【答案】(1)π(2)[-π3+kπ,【解析】f(x)==3=sin(2x+π(1)最小正周期T=2π(2)令-π2+2kπ≤2x+故單調(diào)增區(qū)間為：[-π3(3)當(dāng)x∈[0,π2]所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]2(★★)已知函數(shù)f(x)=sin(π-ωx)cosωx-(1)求f(x)圖象的對稱軸方程；(2)將f(x)圖象向右平移π6個單位長度后，得到函數(shù)g(x)，求函數(shù)g(x)在[【答案】(1)x=kπ2+π【解析】(1)f(x)=sin(π-由于函數(shù)的最小正周期為π，故ω=2，所以f(x)=sin2x令2x=kπ+π2，整理得故函數(shù)的對稱軸方程為x=kπ(2)由于g(x)=sin(2x-由于x∈[0,π故g(x)∈3(★★★)已知函數(shù)f(x)=12cos2x+sinxcosx(1)求使f(x)≥12(2)若函數(shù)g(x)=22sin(2x+3π4)，且對任意的【答案】(1)[kπ,kπ+π【解析】(1)f(x)=1f(x)≥12所以2kπ+π4≤2x+π即使f(x)≥12的x的取值范圍是[kπ,k(2)令F(x)=f(x)=2因為對任意的0≤x1所以當(dāng)x∈[0,t]時，所以2t≤π2，解得t≤π4，所以實數(shù)t4(★★★★)已知函數(shù)f(x)=3sin(2ωx+φ)+1(ω>0，-π2<φ<(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)將函數(shù)y=f(x)圖象上所有的點向下平移1個單位長度，再函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖象上所有的點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?33倍，得到函數(shù)y=h(x)圖象，令函數(shù)g(x)=h(x)+1，區(qū)間[a,b](a,b∈R且a<b)滿足：y=g(x)在(3)若m[1+3(f(x8-π【答案】(1)f(x)=3sin(4x+π3)+1(2)【解析】(1)∵f(x)=又函數(shù)f(x)的最小正周期為π2，∴2π2ω∴f(x)=又函數(shù)f(x)經(jīng)過點(-π12于是(因為-π2<?<故f(x)=3sin(4x+π(2)由題意，h(x)=2sin(2x+令g(x)=0得：sin(2x+∴2x+π3=2kπ+解得：x=kπ+5π12∴相鄰兩個零點之間的距離為π3或2π若b－a最小，則a,b均為此時在區(qū)間[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ∴在區(qū)間[a,14π+a]恰有∴(14∴b-(檢驗可知，在[5π12,5π12+∴b－a的最小值為43π(3)由題意得m(3sinx∵x∈[0,2∴sin設(shè)t=3sinx2+1，t設(shè)y=3則y=3?19∴當(dāng)t=1時，ymin=故實數(shù)m的取值范圍是(－∞,－【題型四】三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用二【典題1】如圖，一個水輪的半徑為6m，水輪軸心O距離水面的高度為3m，已知水輪按逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時的起始(圖中點P0)開始計時，記f(t)為點P距離水面的高度關(guān)于時間t(s)的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(A．f(3)=9BC．若f(t)≥6，則t∈[2+12k,5+12k](k∈ND．不論t為何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值【解析】方法一幾何法圖中PB⊥水面，OA⊥PB，(由圖ft=PA=PA+3，則需了解PA與t∵每分鐘轉(zhuǎn)動5圈∴OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度為5×2π60=π則t秒轉(zhuǎn)過的角度π6t如上圖依題意可知∠P0OA=π在Rt?POA中，PA=OPsin∴ft對于A，f(3)=6sin(π6×3-對于B，f(1)=6sin(π6×1-π6(或確定x=1+7對于C，因為f(t)≥6，所以6sin(π6t-所以π6解得t∈[2+12k,6+12k],k∈對于D，f=6sin(π=6sin(π=6[sin(π因為sinπ6t-所以f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，即D正確．故選：BD．方法二待定系數(shù)法可知f(x)符合三角函數(shù)模型，設(shè)f(t)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)，依題意可知f(t)的最大值為9，最小為-3，∴A+B=9，且-A+B=-3，可得A=6，B=3∵每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，∴1圈要12秒，即T=12s則ω=2πT=(也可由OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度為5×2π60=π依題意可知f(0)=0，得sinφ=-12，取φ=-π6，(故所求的函數(shù)解析式為f(t)=6sin(π接下來如同方法一.【點撥】①方法一利用幾何性質(zhì)求出f(t)(即圖中的PB)與t之間的關(guān)系；②方法二是根據(jù)題意確定符合三角函數(shù)模型，則用待定系數(shù)法設(shè)函數(shù)f(t)=Asin(ωx+φ)+B，根據(jù)題意由最大值和最小值求出A,B的值，根據(jù)周期性由T=2πω求出ω，注意一個特殊情況代入一個點求出【典題2】某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設(shè)計如圖所示，該工藝品由直角△ABC和以BC為直徑的半圓拼接而成，點P為半圈上一點(異于B,C)，點H在線段AB上，且滿足CH⊥AB．已知∠ACB=90°，(1)為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足∠ABC=∠PCB，且CA+CP(2)為了工藝禮品達到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足∠PBA=60°，且CH+CP達到最大．當(dāng)θ為何值時，CH+CP取得最大值，并求該最大值．【解析】依題意∠ABC=∠PCB=θ，則在直角△ABC中，AC=sinθ,BC=cosθ在直角△PBC中，PC=BC?cosθ=cos2(用變量θ表示CA+CP，利用函數(shù)最值方法求解)(1)AC+CP=sinθ+=-sin2θ所以當(dāng)sinθ=12，即θ=π6，(2)在直角△ABC中，由S△ABC=12可得CH=sinθ?cosθ在直角△PBCPC=BC?sinπ所以CH+CP==14sin2θ+(函數(shù)化為fx=A所以當(dāng)θ=π12，CH+CP達到最大，最大值為【點撥】①利用直角三角形等幾何性質(zhì)用θ表示各線段長度；②題目中體現(xiàn)了函數(shù)思想，在求解實際問題中，特別要注意自變量θ的取值范圍.鞏固練習(xí)1(★★)水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A(33,-3)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒．經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y)，其縱坐標(biāo)滿足y=f(t)=Rsin(ωt+A．R=6,ω=πB．當(dāng)t∈[35,55]時，點P到x軸的距離的最大值為C．當(dāng)t∈[10,25]時，函數(shù)y=f(t)D．當(dāng)t=20時，|PA|=63【答案】C【解析】由題意，R=27+9=6，T=60=2π點A(33,－3)代入可得－3=6sinφ，f(t)=6sin(π30t-π6∴點P到x軸的距離的最大值為6，正確；當(dāng)t∈[10,25]時，π30當(dāng)t=20時，π30t-π6=π2，P的縱坐標(biāo)為62(★★)某游樂場中半徑為30米的摩天輪逆時針(固定從一側(cè)觀察)勻速旋轉(zhuǎn)，每5分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點離底面5米，如果以你從最低點登上摩天輪的時刻開始計時，那么你與底面的距離高度y(米)隨時間t(秒)變化的關(guān)系式為.【答案】y=30sin(π【解析】設(shè)y=Asin(ω由題意可得A=30，ω=2π300=π150代入可得5=30sinφ+35，φ=-π2+2kπ，k=0∴y=30sin(π1503(★★)如圖，已知扇形AOB的半徑為1，中心角為60°，四邊形PQRS是扇形的內(nèi)接矩形，P為AB上一動點，問：點P在怎樣的位置時，矩形PQRS的面積最大？并求出這個最大值．【答案】當(dāng)P為AB中點時，矩形PQRS的面積取到最大值36【解析】如圖，在Rt△OPS中，設(shè)∠POS=α，則OS=cos在Rt△ORQ中，QROR∴RS=OS設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=(cosα=1由于0<α<π3，所以當(dāng)2α因此，當(dāng)α=π6時，矩形PQRS的面積最大，最大面積為34(★★★)如圖，某正方形公園ABCD，在ABD區(qū)域內(nèi)準(zhǔn)備修建三角形花園BMN，滿足MN與AB平行(點N在BD上)，且AB=AD=BM=2(單位：百米)．設(shè)∠ABM=θ，△BMN的面積為S(單位：百米平方(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)解析式(2)求