5.7 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像和性質(zhì)-(人教A版2019必修第一冊(cè)) (學(xué)生版)

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像和性質(zhì)1性質(zhì)(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可用函數(shù)y=Asinωx+φ，xA是振幅，周期T=2πω，頻率f=1T=ω2π(2)A,ω,φ對(duì)f(x)=AsinA影響函數(shù)y=f(x)的最值，ω影響周期，φ影響函數(shù)水平位置.2函數(shù)的變換(1)平移變換①y=fx?y=f(x±a)(a>0)將y=f(x)圖像沿x軸向左(右)平移a個(gè)單位(左加右減②y=fx?y=fx±b(b>0)將y=f(x)圖像沿x軸向上(下)平移bPSf(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4個(gè)單位，得到的函數(shù)不是f(x)=3sin(2x+π(2)伸縮變換①y=f將y=f(x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A倍(A>1伸長(zhǎng)，A<1縮短).②y=f將y=f(x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來(lái)的1ω倍(ω>1縮短，ω<1伸長(zhǎng))問(wèn)題怎么理解呢？例：若將fx=3sinx+π解析我們把fx=3sinx+π3的圖象想象成一條彈簧，若縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來(lái)的12倍，那說(shuō)明彈簧被壓縮了，則周期變小，ω會(huì)變大(T=

【題型一】函數(shù)圖象的變換【典題1】將函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12倍，再向右平移π3個(gè)單位得到函數(shù)g(x)A．函數(shù)f(x)的最小正周期為π B．函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-2πC．函數(shù)f(x)的圖象有一條對(duì)稱軸為x=2πD．函數(shù)f(x)的圖象有一個(gè)對(duì)稱中心為(鞏固練習(xí)1(★)將函數(shù)y=cosx的圖象先左移π4，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮為原來(lái)的12，所得圖象的解析式為(A．y=sin(2x+πC．y=sin(2(★)將函數(shù)f(x)=3sin(12x-φ)(|φ|<π2)的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)A．-π4 B．-π3 C．π3(★★)為了得到函數(shù)f(x)=sin(2x+3π4)的圖象，可以將函數(shù)g(x)=cos2x的圖象A．向右平移π4個(gè)單位 B．向左平移π4C．向右平移π8個(gè)單位 D．向左平移π84(★★)已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)的兩條相鄰的對(duì)稱軸的間距為π2，現(xiàn)將y=sin(ωx+φA．3π4 B．π4 C．05(★★)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期為π，且圖象向右平移π12個(gè)單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則f(x)A．關(guān)于點(diǎn)(5π12,0)對(duì)稱 B．關(guān)于直線C．在[-π12，5π12]單調(diào)遞增 D．在6(★★★)將函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12倍，再向右平移π3A．函數(shù)f(x)的最小正周期為π B．函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-C．函數(shù)f(x)的圖象有一條對(duì)稱軸為x=2πD．函數(shù)f(x)的圖象有一個(gè)對(duì)稱中心為(【題型二】由函數(shù)y=Asin(ωx【典題1】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，下述四個(gè)結(jié)論：①ω=2；②φ=-π3；③f(x+π12)【典題2】已知函數(shù)f(x)=sin?(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(0)=f(29π)=-f(π3)，且鞏固練習(xí)1(★)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>02(★★)如圖，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P、Q、R滿足P(1,0)，∠PQR=π4，M3(★★)已知函數(shù)f(x)=2sin?(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)A0,3，B(πA．直線x=π12是f(x)B．f(x)的圖象可由g(x)=2sin2x向左平移π3個(gè)單位而得到C．f(x)的最小正周期為D．f(x)在區(qū)間(-π3，4(★★★)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心坐標(biāo)；(3)將f(x)的圖象向左平移π6個(gè)單位，再講橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，最后將圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)在x∈[0,5(★★★)如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分圖象，M、N是它與x軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)，D是M、N(1)求函數(shù)f(x)的解析式及[π,2π]上的單調(diào)增區(qū)間；(2)若x∈[-π12,5π12]時(shí)，函數(shù)【題型三】三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用一【典題1】已知函數(shù)f(x)=si(1)求f(x)的最小值并寫出此時(shí)x的取值集合；(2)若x∈[0,π]【典題2】已知函數(shù)f(x)=4si(1)求f(x)的對(duì)稱中心；(2)設(shè)常數(shù)ω>0，若函數(shù)y=f(ωx)在區(qū)間(3)若函數(shù)g(x)=12[f(2x)+af(x)-af(π2-x)-a]-1在區(qū)間【典題3】已知函數(shù)f(x)=sin(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)設(shè)方程fx-asin2x-1=0在(0,π2)(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)鞏固練習(xí)1(★★)已知函數(shù)fx=(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)2(★★)已知函數(shù)f(x)=sin(π-ωx)cosωx-(1)求f(x)圖象的對(duì)稱軸方程；(2)將f(x)圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)，求函數(shù)g(x)在[3(★★★)已知函數(shù)f(x)=12cos2x+sinxcosx(1)求使f(x)≥12(2)若函數(shù)g(x)=22sin(2x+3π4)，且對(duì)任意的4(★★★★)已知函數(shù)f(x)=3sin(2ωx+φ)+1(ω>0，-π2<φ<(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)將函數(shù)y=f(x)圖象上所有的點(diǎn)向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的233倍，得到函數(shù)y=h(x)圖象，令函數(shù)g(x)=h(x)+1，區(qū)間[a,b](a,b∈R且a<b)滿足：y=g(x)在(3)若m[1+3(f(x8-π【題型四】三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用二【典題1】如圖，一個(gè)水輪的半徑為6m，水輪軸心O距離水面的高度為3m，已知水輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)的起始(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)時(shí)，記f(t)為點(diǎn)P距離水面的高度關(guān)于時(shí)間t(s)的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(3)=9BC．若f(t)≥6，則t∈[2+12k,5+12k](k∈ND．不論t為何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值【典題2】某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費(fèi)者，工藝品的平面設(shè)計(jì)如圖所示，該工藝品由直角△ABC和以BC為直徑的半圓拼接而成，點(diǎn)P為半圈上一點(diǎn)(異于B,C)，點(diǎn)H在線段AB上，且滿足CH⊥AB．已知∠ACB=90°，(1)為了使工藝禮品達(dá)到最佳觀賞效果，需滿足∠ABC=∠PCB，且CA+CP(2)為了工藝禮品達(dá)到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足∠PBA=60°，且CH+CP達(dá)到最大．當(dāng)θ為何值時(shí)，CH+CP取得最大值，并求該最大值．鞏固練習(xí)1(★★)水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)A(33,-3)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒．經(jīng)過(guò)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y)，其縱坐標(biāo)滿足y=f(t)=Rsin(ωt+A．R=6,ω=πB．當(dāng)t∈[35,55]時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為C．當(dāng)t∈[10,25]時(shí)，函數(shù)y=f(t)D．當(dāng)t=20時(shí)，|PA|=632(★★)某游樂(lè)場(chǎng)中半徑為30米的摩天輪逆時(shí)針(固定從一側(cè)觀察)勻速旋轉(zhuǎn)，每5分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面5米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，那么你與底面的距離高度y(米)隨時(shí)間t(秒)變化的關(guān)系式為.3(★★)如圖，已知扇形AOB的半徑為1，中心角為60°，四邊形PQRS是扇形的內(nèi)接矩形，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)P在怎樣的位置時(shí)，矩形PQRS的面積最大？并求出這個(gè)最大值．4(★★★)如圖，某正方形公園ABCD，在ABD區(qū)域內(nèi)準(zhǔn)備修建三角形花園BMN，滿足MN與AB平行(點(diǎn)N在BD上)，且AB=AD=BM=2(單位：百米)．設(shè)∠ABM=θ，△BMN的面積為S(單位：百米平方(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)解析式(2)求S(θ)5(★★★)某農(nóng)場(chǎng)有一塊扇形農(nóng)田，如圖所示．已知扇形OAB的圓心角為π4，半徑為80米，點(diǎn)P在AB上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．現(xiàn)要在△OPC和△OPD區(qū)域中