第4次課線面相對(duì)位置(相交、垂直問題)

第二章點(diǎn)、直線、平面和立體的投影§

2-4平面的投影§

2-2點(diǎn)的投影§

2-3直線的投影§

2-6換面法求線段實(shí)長(zhǎng)和平面真形§

2-5直線、平面的相對(duì)位置§2-1投影法的基本知識(shí)§

2-7立體的投影§2-5直線、平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題

直線與平面平行平面與平面平行⒈直線與平面平行定理：若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。包括

若屬于一平面的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB⒉兩平面平行1)空間分析直線與平面、平面與平面不平行就相交。直線與平面的交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)；兩平面的交線是兩個(gè)平面的共有線。因此，線面求交點(diǎn)、面面求交線實(shí)質(zhì)上是求共有點(diǎn)、共有線的投影。（一）特殊位置線面相交（二）一般位置平面與特殊位置平面相交（三）一般位置直線與一般位置平面相交二、相交問題直線與平面相交：只有一個(gè)交點(diǎn)平面與平面相交：交線是直線去線面相交

去面面相交

特殊位置線面相交，其交點(diǎn)的投影可利用直線或平面的積聚性投影直接求出

※當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到。

※

當(dāng)平面為一般位置，直線的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚性投影重合，另一個(gè)投影可利用平面上找點(diǎn)的方法在平面的另一個(gè)投影上找到。(1)一般位置直線與特殊位置平面相交，

判斷直線的可見性；

特殊位置直線與一般位置平面相交，

判斷直線的可見性（一）特殊位置線面相交abcmncnbam⑴平面為特殊位置[例1]求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性?？臻g及投影分析平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。k●1(2)作圖k●●2●1●1.一般位置直線與特殊位置平面相交bbaaccmmnn由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。kk[例2]求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。判斷直線的可見性bbaaccmmnkkn

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。[例2]求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。km(n)b●mncbaac2.特殊位置直線與一般位置平面相交空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見性點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。1(2)k●2●1●●作圖用面上取點(diǎn)法[例3]求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。

只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。（二）一般位置平面與特殊位置平面相交可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeamn空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點(diǎn)判別？能!如何判別？[例4]求兩平面的交線

MN并判別可見性。⑴bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點(diǎn)m、bc與fh的交點(diǎn)n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點(diǎn)Ⅰ在FH上，點(diǎn)Ⅱ在BC上，點(diǎn)Ⅰ在上，點(diǎn)Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n●2●n●m●1●[例5]求兩平面的交線

MN并判別可見性。cdefababcdef投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。n●m●m●k●兩平面互交k●n●[例6]求兩平面的交線

MN并判別可見性。例7以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

判別可見性

（對(duì)照書P54：圖2-43）

一般位置線、面相交，由于直線和平面的投影都沒有積聚性，求交點(diǎn)時(shí)無積聚性可利用，因此通常要采用輔助平面法求一般位置線面的交點(diǎn)。其作圖步驟如下：（1）含已知直線作特殊位置輔助平面；（2）求輔助平面（特殊位置）與已知平面的交線；（3）求交線與已知直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。（三）一般位置直線與一般位置平面相交ABCQ過EF作正垂面QFEIIIK步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。[例7]求直線EF和平ABC的交點(diǎn),判別可見性。

空間分析：12QV21kk作圖步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。[例7]求直線EF和平ABC的交點(diǎn),判別可見性。

fee利用重影點(diǎn)判別可見性124（

）kk34(

)213[例7]求直線EF和平ABC的交點(diǎn),判別可見性。

判別可見性

空間分析ⅠⅡⅢ1

(2)(4)3利用重影點(diǎn)判別可見性Ⅳ[例7]求直線EF和平面ABC的交點(diǎn),判別可見性。

若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。三、垂直問題：直線與平面垂直定理1若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。knkn定理2（逆）若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。[例題8]平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)K作平面的法線。acacnnkk[例題9]平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。efef結(jié)論:不垂直為什么?[例題10]試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。EQ分析

過已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線EF，并交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。FAK作圖21aefafe1221PV12kkEND本次作業(yè)