第05章梁的基礎(chǔ)問題

第五章彎曲的基礎(chǔ)問題材料力學(xué)§5.1

平面彎曲的概念§5.2

梁的載荷及計(jì)算簡圖§5.3

剪力與彎矩§5.4

剪力圖與彎矩圖§5.5

剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系§5.6

純彎曲梁的正應(yīng)力§5.7

梁的切應(yīng)力第五章彎曲的基礎(chǔ)問題材料力學(xué)§5.8

梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算§5.9

梁的變形§5.10

疊加法求梁的變形§5.11

提高梁強(qiáng)度的措施§5.12

梁的剛度條件與梁的合理設(shè)計(jì)§5.13

簡單超靜定梁的解法§5.1

平面彎曲的概念一、平面彎曲的概念二、工程實(shí)例第五章彎曲的基礎(chǔ)問題一、平面彎曲的概念§5.1

平面彎曲的概念1．定義彎曲變形直線變成曲線的變形形式，簡稱彎曲。

梁——外力垂直于桿的軸線，使得桿的軸線由——以彎曲為主要變形的桿件一、平面彎曲的概念2．平面彎曲的概念平面彎曲——外力作用在梁的對稱平面內(nèi)，使梁的軸

線彎曲后仍在此對稱平面內(nèi)的彎曲變形即：平面彎曲——軸線的彎曲平面與外力的作用平面重合的彎曲形式§5.1

平面彎曲的概念§5.1

平面彎曲的概念§5.1

平面彎曲的概念二、工程實(shí)例§5.1

平面彎曲的概念1.吊車梁2.車刀3.搖臂鉆的臂4.橋梁5.立交橋梁6.跳板§5.2

梁的載荷及計(jì)算簡圖一、梁的簡化二、梁的分類第五章彎曲的基礎(chǔ)問題§5.2梁的載荷及計(jì)算簡圖固定端滑動(dòng)鉸支座固定鉸支座任何方向移動(dòng)阻止豎向移動(dòng)任何移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)一、梁的簡化2.載荷：分為集中力、分布力，集中力偶、分布力偶1.梁：用軸線表示3.支座：§5.2梁的載荷及計(jì)算簡圖二、梁的分類1.按支座情況分為：2.按支座數(shù)目分為：簡支梁靜定梁外伸梁懸臂梁超靜定梁§5.2梁的載荷及計(jì)算簡圖跨

——梁在兩支座間的部分跨長——梁在兩支座間的長度3.按跨數(shù)分為：單跨梁多跨梁§5.2梁的載荷及計(jì)算簡圖§5.3

剪力與彎矩第五章梁的基礎(chǔ)問題一、求法二、符號(hào)規(guī)定三、實(shí)用法則一、求法§5.3剪力與彎矩截面法剪力(FQ

)——與橫截面的法向垂直的內(nèi)力一、求法截面法任一橫截面上的剪力

等于該橫截面任一側(cè)所有外力的代數(shù)和§5.3剪力與彎矩

彎矩(M

)有彎斷梁的趨勢——橫截面上的內(nèi)力偶矩§5.3剪力與彎矩任一橫截面上的彎矩

等于對橫截面形心力矩的代數(shù)和該橫截面任一側(cè)所有外力§5.3剪力與彎矩二、符號(hào)規(guī)定繞研究體順時(shí)針轉(zhuǎn)為正由下轉(zhuǎn)向上為正剪力：彎矩：§5.3剪力與彎矩三、實(shí)用法則剪力：考慮橫截面左側(cè)梁段時(shí)，向上（下）的外力產(chǎn)生

+（-）剪力，（右側(cè)相反），代數(shù)和結(jié)果為+

(-)時(shí)，剪力為+

(-)彎矩：考慮橫截面左側(cè)梁段時(shí)，順（逆）針旋轉(zhuǎn)的外力矩產(chǎn)生+（-）彎矩，（右側(cè)相反），代數(shù)和結(jié)果為+

(-)時(shí)，彎矩為+

(-)注：對任一側(cè)梁段，向上（下）的外力產(chǎn)生+（-）彎矩§5.3剪力與彎矩例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M。解：1.求支反力解：2.求內(nèi)力A左鄰截面：例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M。解：2.求內(nèi)力A左鄰截面：A右鄰截面：例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M。解：2.求內(nèi)力D左鄰截面：例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M。解：2.求內(nèi)力D左鄰截面：D右鄰截面：例1試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的FQ和M?！?.4

剪力圖和彎矩圖一、剪力方程和彎矩方程二、剪力圖和彎矩圖第五章梁的基礎(chǔ)問題三、列方程法作剪力圖和彎矩圖四、疊加法作彎矩圖§5.4剪力圖和彎矩圖剪力方程一、剪力方程和彎矩方程彎矩方程——剪力隨橫截面變化的函數(shù)表達(dá)式——彎矩隨橫截面變化的函數(shù)表達(dá)式剪力圖二、剪力圖和彎矩圖彎矩圖

2.正值畫在上方，負(fù)值畫在下方。做法：

1.橫軸表示橫截面位置，縱軸表示剪力或彎矩；；§5.4剪力圖和彎矩圖——剪力隨橫截面的變化曲線——彎矩隨橫截面的變化曲線作剪力圖和彎矩圖的方法：二、剪力圖和彎矩圖

1.列方程法

2.疊加法

3.控制點(diǎn)法§5.4剪力圖和彎矩圖三、列方程法作剪力圖和彎矩圖§5.4剪力圖和彎矩圖2.列內(nèi)力方程例2

作圖示梁的內(nèi)力圖。解：3.作內(nèi)力圖1.求支反力例3

作圖示梁的內(nèi)力圖。內(nèi)力圖特點(diǎn)：解：2.列內(nèi)力方程3.作內(nèi)力圖1.求支反力FQ圖突變，突變值等于集中力大小，

M圖轉(zhuǎn)折。集中力作用截面，例4

作圖示梁的內(nèi)力圖。集中力偶作用截面，M圖突變，突變值等內(nèi)力圖特點(diǎn)：解：2.列內(nèi)力方程3.作內(nèi)力圖1.求支反力于集中力偶大小，F(xiàn)Q圖不變。四、疊加法作彎矩圖可見：

剪力方程和彎矩方程都是載荷F、q和Me的線性函數(shù)§5.4剪力圖和彎矩圖四、疊加法作彎矩圖疊加原理：

由幾個(gè)外力同時(shí)作用時(shí)所引起的構(gòu)件內(nèi)的某一參數(shù)

（內(nèi)力、應(yīng)力或位移等）

由各個(gè)外力單獨(dú)作用時(shí)所引起的構(gòu)件內(nèi)的該一參數(shù)

的矢量和或代數(shù)和適用條件：小變形情況§5.4剪力圖和彎矩圖例5

試用疊加法作圖示簡支梁的彎矩圖解：

1.作出F單獨(dú)作用時(shí)的彎矩圖

2.作出Me單獨(dú)作用時(shí)的彎矩圖

3.疊加上述兩圖，得到F和Me同時(shí)作用時(shí)的彎矩圖例6

試用疊加法作圖示簡支梁的彎矩圖解：

1.作出q單獨(dú)作用時(shí)的彎矩圖

2.作出Me單獨(dú)作用時(shí)的彎矩圖

3.疊加上述兩圖第五章梁的基礎(chǔ)問題§5.5

剪力、彎矩和分布載荷集度間

的微分關(guān)系一、FQ、M和q之間的微分關(guān)系二、突變條件三、控制點(diǎn)法作剪力圖和彎矩圖一、FQ、M和q之間的微分關(guān)系§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系規(guī)定：q↑為

+取微段dx為研究對象由Fy

=0：得到由MC=0：忽略二階微量，得到§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系一、FQ、M和q之間的微分關(guān)系即：彎矩二分布載荷集度彎矩一力剪

由此得到

x截面上的剪力對x的一階導(dǎo)數(shù)

x截面上的分布載荷集度§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系一、FQ、M和q之間的微分關(guān)系

彎矩圖凹凸性取決于該截面處的分布載荷集度彎矩圖切線斜率力剪

剪力圖上x截面處的切線斜率

該截面處的分布載荷集度即：由此得到§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系一、FQ、M和q之間的微分關(guān)系微分關(guān)系對應(yīng)表§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系二、突變條件§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系突變條件對應(yīng)表三、控制點(diǎn)法作剪力圖和彎矩圖§5.5剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系例7

試作圖示外伸梁的FQ和M圖。解：1.求支反力2.作FQ圖3.作M圖解：4.求AD段的極值彎矩(1)求極值彎矩的位置解析法：令得到幾何法：由剪力圖：得到例7

試作圖示外伸梁的FQ和M圖。解：(2)求極值彎矩的數(shù)值例7

試作圖示外伸梁的FQ和M圖。4.求AD段的極值彎矩解：5.求梁的和例7

試作圖示外伸梁的FQ和M圖?！?.6

純彎曲梁的正應(yīng)力第五章梁的基礎(chǔ)問題一、純彎曲與橫力彎曲的概念二、純彎曲梁的正應(yīng)力三、橫力彎曲梁的正應(yīng)力純彎曲橫力彎曲——橫截面上只有M、沒有FQ的彎曲——橫截面上既有M、又有FQ的彎曲剪切彎曲一、純彎曲與橫力彎曲的概念§5.6

純彎曲梁的正應(yīng)力1.實(shí)驗(yàn)分析縱向線:變形現(xiàn)象：上層纖維縮短，下層纖維伸長仍為直線，相對旋轉(zhuǎn)了一角度彎成了相互平行的弧線，仍與橫向線垂直二、純彎曲梁的正應(yīng)力§5.6

純彎曲梁的正應(yīng)力橫向線:假設(shè)：(2)縱向纖維處于簡單拉伸或壓縮狀態(tài)(1)橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于軸線(3)同一高度上的纖維的變形相同——橫截面上只有正應(yīng)力——橫截面上同一高度的正應(yīng)力相等——平面假設(shè)§5.6

純彎曲梁的正應(yīng)力中性層中性軸——既不伸長、也不縮短的纖維層橫截面各橫截面繞中性軸旋轉(zhuǎn)§5.6

純彎曲梁的正應(yīng)力中性軸——橫截面與中性層的交線兩個(gè)名詞：中性層2.公式推導(dǎo)(1)變形幾何學(xué)方面(2)物理學(xué)方面§5.6

純彎曲梁的正應(yīng)力(3)靜力學(xué)方面z軸必須通過橫截面的形心自然滿足§5.6

純彎曲梁的正應(yīng)力EIz——梁的抗彎剛度，反映梁抵抗彎曲變形的能力或橫截面上的正應(yīng)力與橫截面的形狀和尺寸有關(guān)，單位：m3抗彎截面系數(shù)§5.6

純彎曲梁的正應(yīng)力最大正應(yīng)力§5.6

純彎曲梁的正應(yīng)力常用截面Wz：三、橫力彎曲梁的正應(yīng)力§5.3

橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力在橫力彎曲情況下：

橫截面上既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力可按純彎曲梁的正應(yīng)力公式計(jì)算橫力彎曲梁的正應(yīng)力

橫截面將發(fā)生翹曲，不再保持為平面精確的分析表明：當(dāng)時(shí)§5.7

梁的切應(yīng)力第五章梁的基礎(chǔ)問題一、矩形截面梁二、工字形截面梁三、圓形截面梁四、橫力彎曲時(shí)橫截面的翹曲變形實(shí)踐表明：§5.7

梁的切應(yīng)力

有些梁

是

因正應(yīng)力達(dá)到抗拉或抗壓強(qiáng)度而破壞

跨度小、截面高的木梁

有些梁則是因切應(yīng)力達(dá)到抗切強(qiáng)度而破壞(1)梁端橫截面上的剪力較大例如：破壞原因：(2)木梁沿木紋方向的抗切能力較弱實(shí)驗(yàn)研究和理論分析表明：

梁的切應(yīng)力分布規(guī)律與橫截面的形狀有關(guān)以下介紹幾種常用截面上的切應(yīng)力§5.7

梁的切應(yīng)力一、矩形截面梁1.兩個(gè)假設(shè)(1)切應(yīng)力方向與橫截面的側(cè)邊平行，與剪力同向；(2)切應(yīng)力沿橫截面寬度均勻分布。§5.7

梁的切應(yīng)力2.公式推導(dǎo)(1)

取微段dx§5.7

梁的切應(yīng)力(2)

在微段dx中取研究體§5.7

梁的切應(yīng)力(3)

求研究體各面上的合力§5.7

梁的切應(yīng)力(4)

考慮研究體的平衡§5.7

梁的切應(yīng)力由切應(yīng)力互等定理：式中

——所求切應(yīng)力點(diǎn)一側(cè)面

積對中性軸的靜矩§5.7

梁的切應(yīng)力3.切應(yīng)力分布規(guī)律§5.7

梁的切應(yīng)力腹板中的切應(yīng)力翼緣二、工字形截面梁腹板

矩形截面上切應(yīng)力分布的兩個(gè)假設(shè)仍然適用§5.7

梁的切應(yīng)力故1.假設(shè)三、圓形截面梁(1)水平弦AB上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向交于一點(diǎn)(2)水平弦AB上各點(diǎn)的切應(yīng)力

垂直分量相等§5.7

梁的切應(yīng)力

垂直分量2.切應(yīng)力公式3.最大切應(yīng)力§5.7

梁的切應(yīng)力四、橫力彎曲梁橫截面的翹曲變形矩形截面梁切應(yīng)變：切應(yīng)變沿高度按拋物線變化，使得橫截面發(fā)生翹曲切應(yīng)力：§5.7

梁的切應(yīng)力例8

求1-1截面上的D與E點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力以及梁的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。解：1.D與E點(diǎn)的應(yīng)力例8

求1-1截面上的D與E點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力以及梁的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。解：2.梁的最大應(yīng)力§5.8

梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算第五章梁的基礎(chǔ)問題一、正應(yīng)力強(qiáng)度條件二、切應(yīng)力強(qiáng)度條件三、強(qiáng)度計(jì)算的三類問題一、正應(yīng)力強(qiáng)度條件§5.8

梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算注意：1.對于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料(如低碳鋼)要求：絕對值最大的正應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力2.對于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料(如灰鑄鐵)要求：最大拉應(yīng)力不超過材料的許用拉應(yīng)力最大壓應(yīng)力不超過材料的許用壓應(yīng)力二、切應(yīng)力強(qiáng)度條件式中

——中性軸一側(cè)的橫截面面積對中性軸的靜矩

b

——橫截面在中性軸處的寬度§5.8

梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算三、強(qiáng)度計(jì)算的三類問題(2)

選擇截面(1)

校核強(qiáng)度(3)

確定許用載荷§5.8

梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算例

9

已知校核梁的強(qiáng)度。1.求幾何參數(shù)解：例

9

已知校核梁的強(qiáng)度。2.求支反力解：3.作M圖，求危險(xiǎn)截面4.強(qiáng)度校核例

9

已知校核梁的強(qiáng)度。解：∴梁安全例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，選擇槽鋼型號(hào)。解：1.求支反力2.作FQ、M圖3.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面對于一根槽鋼查表取：[

No.36c，其例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，選擇槽鋼型號(hào)。解：4.校核切應(yīng)力強(qiáng)度查表得：例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，選擇槽鋼型號(hào)。解：每根槽鋼承受的最大剪力為：

∴安全4.校核切應(yīng)力強(qiáng)度查表得：例10

已知[]=170MPa，[]=100MPa，選擇槽鋼型號(hào)。解：§5.9

梁的變形第五章梁的基礎(chǔ)問題一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角二、撓曲線近似微分方程三、積分法求梁的變形四、位移條件§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角若忽略剪力的影響，橫截面繞其自身中性軸旋轉(zhuǎn)撓曲線——梁在受力變形后的軸線，又稱為彈性曲線撓度（y）——

橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移稱為該點(diǎn)（橫截面的形心）的撓度向上為正，向下為負(fù)§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角（）——

橫截面繞其中性軸旋轉(zhuǎn)的角度稱為該橫截面的轉(zhuǎn)角順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)撓度與轉(zhuǎn)角是度量梁的變形的兩個(gè)基本量§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角——撓曲線方程§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角即：在小變形下：——轉(zhuǎn)角方程任一橫截面的轉(zhuǎn)角=撓曲線在該截面形心處切線的斜率求梁變形的關(guān)鍵是求撓曲線方程§5.9

梁的變形一、梁的變形度量——撓度與轉(zhuǎn)角二、撓曲線近似微分方程CD段：純彎曲1.力學(xué)方面AC段：橫力彎曲（忽略剪力的影響）§5.9

梁的變形二、撓曲線近似微分方程1.力學(xué)方面2.數(shù)學(xué)方面3.撓曲線近似微分方程§5.9

梁的變形二、撓曲線近似微分方程符號(hào)處理：y"與M(x)恒異號(hào)在小變形情況下，通常<1，而tan1=0.017，y'2<<1——撓曲線近似微分方程§5.9

梁的變形——撓曲線微分方程三、積分法求梁的變形對于等直桿轉(zhuǎn)角方程：撓曲線方程：§5.9

梁的變形四、位移條件2.位移連續(xù)條件1.已知位移條件撓度連續(xù)——連續(xù)性條件轉(zhuǎn)角連續(xù)——光滑性條件§5.9

梁的變形1.約束條件例11

求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。EI為常量。解：1.列微分方程并積分2.確定積分常數(shù)由由例11

求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。EI為常量。解：3.求ymax由=0，可見：yC與ymax相差很小，兩者相差不到y(tǒng)max的3%。對于簡支梁，只要撓曲線上無拐點(diǎn)，總可以用跨中撓度代替最大撓度，并且不會(huì)引起很大誤差。工程上通常采用中點(diǎn)的撓度值作為設(shè)計(jì)依據(jù)例11

求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。EI為常量。解：4.畫撓曲線的大致形狀例12

求圖示梁的彎曲變形邊界條件：連續(xù)條件：解：AC段：CB段：§5.10

疊加法求梁的變形第五章梁的基礎(chǔ)問題基本原理轉(zhuǎn)角和撓度§5.10

疊加法求梁的變形由幾個(gè)外力同時(shí)作用時(shí)所引起的梁的變形等于由各個(gè)外力單獨(dú)作用時(shí)所引起的梁的變形的代數(shù)和例13

求B和yB解：2.F單獨(dú)作用時(shí)3.Me和F共同作用時(shí)1.Me單獨(dú)作用時(shí)§5.11

提高梁強(qiáng)度的措施第五章梁的基礎(chǔ)問題一、選擇合理截面形狀二、采用等強(qiáng)度梁或變截面梁三、改善梁的受力情況一、選擇合理截面形狀三、改善梁的受力情況二、采用等強(qiáng)度梁或變截面梁——提高Wz——降低